Ответы к теме 5.9. Тождественное равенство целых выражений

Задание 333

а) Что называют тождеством?
б) Является ли тождеством верное равенство между целыми выражениями?
в) Приведите примеры тождественно равных целых выражений.
г) Приведите примеры многочленов, тождественно равных нулю.

Ответ

а) Тождество − это равенство между буквенными выражениями, если оно превращается в верное числовое равенство при подстановке в него вместо букв любых чисел.

б) Верное равенство между целыми выражениями является тождеством.

в) $5a + 3b = 3b + 5a$;
$x + 8y = 8y + x$.

г) $5a^2 - 2a^2 - 3a^2$;
$2x^2 + 5y - x^2 - x^2 - 5y$.

Задание 334

Являются ли следующие выражения тождественно равными (объясните почему):
а) (x + y) и (y + x);
б) c(3xy) и 3cxy;
в) (2a + 7 + a) и (3a + 7);
г) x(3x − 8) и $(3x^2 - 8x)$;
д) (3m − 2n) и (m − 2n + m);
е) (2x − 3) и (3x + 5);
ж) (x + 1)(x − 1) и $x^2 - 1$;
з) (x + 2)(x − 2) и $x^2 - 4$;
и) (1 + y)(1 − y) и $1 - y^2$;
к) (3 + y)(3 − y) и $9 - y^2$;
л) (2x + 1)(2x − 1) и $4x^2 - 1$;
м) (x + y)(x − y) и $x^2 - y^2$?

Решение

а) (x + y) = (y + x) − являются тождественно равными на основании переместительного свойства сложения.

б) c(3xy) = 3cxy − являются тождественно равными на основании переместительного свойства умножения.

в) (2a + 7 + a) = (3a + 7) − являются тождественно равными, т.к. 2a + a = 3a

г) x(3x − 8) = $(3x^2 - 8x)$ − являются тождественно равными на основании правила умножения одночлена на многочлен

д) (3m − 2n) = (m − 2n + m) − не являются тождественно равными, так как
m − 2n + m = 2m − 2n

е) (2x − 3) = (3x + 5) − не являются тождественно равными

ж) $(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$ − являются тождественно равными, так как:
$(x + 1)(x - 1) = x^2 + x - x - 1 = x^2 - 1$

з) $(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4$ − являются тождественно равными, так как:
$(x + 2)(x - 2) = x^2 + 2x - 2x - 4 = x^2 - 4$

и) $(1 + y)(1 - y) = 1 - y^2$ − являются тождественно равными, так как:
$(1 + y)(1 - y) = 1 + y - y - y^2 = 1 - y^2$

к) $(3 + y)(3 - y) = 9 - y^2$ − являются тождественно равными, так как:
$(3 + y)(3 - y) = 9 + 3y - 3y - y^2 = 9 - y^2$

л) $(2x + 1)(2x - 1) = 4x^2 - 1$ − являются тождественно равными, так как:
$(2x + 1)(2x - 1) = 4x^2 + 2x - 2x - 1 = 4x^2 - 1$

м) $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$ − являются тождественно равными, так как:
$(x + y)(x - y) = x^2 + xy - xy - y^2 = x^2 - y^2$

Задание 335

Являются ли следующие выражения тождественно равными (объясните почему):
а) 2 + x и x + 2;
б) 2a + 5 и a − 1 + a + 6;
в) $x^2 - x + 3$ и $3 - x + x^2$;
г) 2(3x − 1) и 6x − 2;
д) x + y − 2x + 3y и 4y − x;
е) 2a − b3 + 3b и 2a;
ж) 3x + 4x + 5x + 1 и 12x + 1;
з) 5x − 2y + x и −2y + 6x;
и) $x^2 + 2y$ и $2(x^2 + y) - x^2$;
к) 3x(x − y) и 3y(y − x);
л) (x − y)y и (x − y)x;
м) (x + y)x и (x − y)x?

Решение

а) 2 + x = x + 2 − являются тождественно равными на основании переместительного свойства сложения.

б) 2a + 5 = a − 1 + a + 6 − являются тождественно равными, так как:
a − 1 + a + 6 = (a + a) + (6 − 1) = 2a + 5

в) $x^2 - x + 3 = 3 - x + x^2$ − являются тождественно равными, на основании переместительного и сочетательного свойства сложения.

г) 2(3x − 1) = 6x − 2 − являются тождественно равными на основании распределительного свойства сложения.

д) x + y − 2x + 3y = 4y − x − являются тождественно равными, так как:
x + y − 2x + 3y = x − 2x + y + 3y = 4y − x

е) 2a − b3 + 3b = 2a − являются тождественно равными, так как:
2a − b3 + 3b = 2a − 3b + 3b = 2a

ж) 3x + 4x + 5x + 1 = 12x + 1 − являются тождественно равными, так как:
3x + 4x + 5x + 1 = (3 + 4 + 5)x + 1 = 12x + 1

з) 5x − 2y + x = −2y + 6x − являются тождественно равными, так как:
5x − 2y + x = 5x + x − 2y = 6x − 2y = −2y + 6x

и) $x^2 + 2y = 2(x^2 + y) - x^2$ − являются тождественно равными, так как:
$2(x^2 + y) - x^2 = 2x^2 + 2y - x^2 = 2x^2 - x^2 + 2y = x^2 + 2y$

к) 3x(x − y) ≠ 3y(y − x) − не являются тождественно равными, так как:
$3x(x - y) = 3x^2 - 3xy$
$3y(y - x) = 3y^2 - 3xy$
$3x^2 - 3xy ≠ 3y^2 - 3xy$

л) (x − y)y ≠ (x − y)x − не являются тождественно равными, так как:
$(x - y)y = xy - y^2$
$(x - y)x = x^2 - xy$
$xy - y^2 ≠ x^2 - xy$

м) (x + y)x ≠ (x − y)x − не являются тождественно равными, так как:
$(x + y)x = x^2 + xy$
$(x - y)x = x^2 - xy$
$x^2 + xy = x^2 - xy$

Задание 336

Докажите тождество:
а) a − b = −(b − a);
б) $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$;
в) $(a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$;
г) $(a - b)(a - b) = a^2 - 2ab + b^2$;
д) $(m - n)(m^2 + mn + n^2) = m^3 - n^3$;
е) $(m + n)(m^2 - mn + n^2) = m^3 + n^3$;
ж) $(p + 1)(p + 1)(p + 1) = p^3 + 3p^2 + 3p + 1$;
з) $(q - 1)(q - 1)(q - 1) = q^3 - 3q^2 + 3q - 1$.

Решение

а) a − b = −(b − a)
−(b − a) = −b + a = a − b
тождество доказано

б) $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$
$(x - y)(x + y) = x^2 - xy + xy + y^2 = x^2 - y^2$
тождество доказано

в) $(a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$
$(a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$
тождество доказано

г) $(a - b)(a - b) = a^2 - 2ab + b^2$
$(a - b)(a - b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$
тождество доказано

д) $(m - n)(m^2 + mn + n^2) = m^3 - n^3$
$(m - n)(m^2 + mn + n^2) = m^3 + m^2n + mn^2 - m^2n - mn^2 - n^3 = m^3 - n^3$
тождество доказано

е) $(m + n)(m^2 - mn + n^2) = m^3 + n^3$
$(m + n)(m^2 - mn + n^2) = m^3 - m^2n + mn^2 + m^2n - mn^2 + n^3 = m^3 + n^3$
тождество доказано

ж) $(p + 1)(p + 1)(p + 1) = p^3 + 3p^2 + 3p + 1$
$(p + 1)(p + 1)(p + 1) = (p^2 + p + p + 1)(p + 1) = (p^2 + 2p + 1)(p + 1) = p^3 + 2p^2 + p + p^2 + 2p + 1 = p^3 + 3p^2 + 3p + 1$
тождество доказано

з) $(q - 1)(q - 1)(q - 1) = q^3 - 3q^2 + 3q - 1$
$(q - 1)(q - 1)(q - 1) = (q^2 - q - q + 1)(q - 1) = (q^2 - 2q + 1)(q - 1) = q^3 - 2q^2 + q - q^2 + 2q - 1 = q^3 - 3q^2 + 3q - 1$
тождество доказано

Задание 337

Докажите тождество:
а) a(b − c) + b(c − a) + c(a − b) = 0;
б) ab(c − d) − cd(a − b) − ac(b − d) − bd(c − a) = 0;
в) $(m - n)(2m + 3n)(m - 7) + 7(2m^2 + 2mn - 3n^2) = m(2m^2 + mn - 3n^2 + 7n)$;
г) $(a^3b - b^2)(a^2 - 2b)(a - 3b) + 3a^2b^2(a^3 - 2ab - b) + 2b^2(a^4 - ab + 3b^2) = a^3b(a^3 - b)$;
д) $(a^2 - 4a + 4)(a^2 + 4a + 4) - a^2(a^2 - 8) = 16$;
е) $(4a^2 + 4a + 1)(4a^2 - 4a + 1) - 8a^2(2a^2 - 1) = 1$;
ж) $(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1) - a^8 = -1$;
з) $(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)(a^4 + 16) - a^8 = -256$.

Решение

а) a(b − c) + b(c − a) + c(a − b) = 0
Преобразуем левую часть:
a(b − c) + b(c − a) + c(a − b) = ab − ac + bc − ab + ac − bc = 0
Левая и правая части тождества равны. Тождество доказано.

б) ab(c − d) − cd(a − b) − ac(b − d) − bd(c − a) = 0
Преобразуем левую часть:
ab(c − d) − cd(a − b) − ac(b − d) − bd(c − a) = abc − abd − acd + bcd − abc + acd − bcd + abd = 0
Левая и правая части тождества равны. Тождество доказано.

в) $(m - n)(2m + 3n)(m - 7) + 7(2m^2 + 2mn - 3n^2) = m(2m^2 + mn - 3n^2 + 7n)$
Преобразуем левую часть:
$(m - n)(2m + 3n)(m - 7) + 7(2m^2 + 2mn - 3n^2) = (2m^2 - 2mn + 3mn - 3n^2)(m - 7) + 14m^2 + 14mn - 21n^2 = (2m^2 + mn - 3n^2)(m - 7) + 14m^2 + 14mn - 21n^2 = 2m^3 + m^2n - 3mn^2 - 14m^2 - 7mn + 21n^2 + 14m^2 + 14mn - 21n^2 = 2m^3 + m^2n - 3mn^2 + 7mn$
Преобразуем правую часть:
$m(2m^2 + mn - 3n^2 + 7n) = 2m^3 + m^2n - 3mn^2 + 7mn$
Левая и правая части тождества равны. Тождество доказано.

г) $(a^3b - b^2)(a^2 - 2b)(a - 3b) + 3a^2b^2(a^3 - 2ab - b) + 2b^2(a^4 - ab + 3b^2) = a^3b(a^3 - b)$
Преобразуем левую часть:
$(a^3b - b^2)(a^2 - 2b)(a - 3b) + 3a^2b^2(a^3 - 2ab - b) + 2b^2(a^4 - ab + 3b^2) = (a^5b - a^2b^2 - 2a^3b^2 + 2b^3)(a - 3b) + 3a^5b^2 - 6a^3b^3 - 3a^2b^3 + 2a^4b^2 - 2ab^3 + 6b^4 = a^6b - a^3b^2 - 2a^4b^2 + 2ab^3 - 3a^5b^2 + 3a^2b^3 + 6a^3b^3 - 6b^4 + 3a^5b^2 - 6a^3b^3 - 3a^2b^3 + 2a^4b^2 - 2ab^3 + 6b^4 = a^6b - a^3b^2$
Преобразуем правую часть:
$a^3b(a^3 - b) = a^6b - a^3b^2$
Левая и правая части тождества равны. Тождество доказано.

д) $(a^2 - 4a + 4)(a^2 + 4a + 4) - a^2(a^2 - 8) = 16$
Преобразуем левую часть:
$(a^2 - 4a + 4)(a^2 + 4a + 4) - a^2(a^2 - 8) = a^4 - 4a^3 + 4a^2 + 4a^3 - 16a^2 + 16a + 4a^2 - 16a + 16 - a^4 + 8a^2 = 16$
Левая и правая части тождества равны. Тождество доказано.

е) $(4a^2 + 4a + 1)(4a^2 - 4a + 1) - 8a^2(2a^2 - 1) = 1$
Преобразуем левую часть:
$(4a^2 + 4a + 1)(4a^2 - 4a + 1) - 8a^2(2a^2 - 1) = 16a^4 + 16a^3 + 4a^2 - 16a^3 - 16a^2 + 4a + 4a^2 - 4a + 1 - 16a^4 + 8a^2 = 1$
Левая и правая части тождества равны. Тождество доказано.

ж) $(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1) - a^8 = -1$
Преобразуем левую часть:
$(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1) - a^8 = (a^2 - a + a - 1)(a^6 + a^4 + a^2 + 1) - a^8 = (a^2 - 1)(a^6 + a^4 + a^2 + 1) - a^8 = a^8 + a^6 + a^4 + a^2 - a^6 - a^4 - a^2 - 1 - a^8 = -1$
Левая и правая части тождества равны. Тождество доказано.

з) $(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)(a^4 + 16) - a^8 = -256$
Преобразуем левую часть:
$(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)(a^4 + 16) - a^8 = (a^2 - 2a + 2a - 4)(a^6 + 4a^4 + 16a^2 + 64) - a^8 = (a^2 - 4)(a^6 + 4a^4 + 16a^2 + 64) - a^8 = a^8 + 4a^6 + 16a^4 + 64a^2 - 4a^6 - 16a^4 - 64a^2 - 256 - a^8 = -256$
Левая и правая части тождества равны. Тождество доказано.

Звезда не активнаЗвезда не активнаЗвезда не активнаЗвезда не активнаЗвезда не активна
 

© Копирование допустимо только с прямой активной ссылкой на страницу с оригиналом статьи.
При любых заболеваниях не занимайтесь диагностикой и лечением самостоятельно, необходимо обязательно обратиться к врачу - специалисту.
Изображения обложек учебной литературы приведены на страницах сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса РФ)