Ответы к теме 5.5. Произведение одночлена и многочлена

Задание 276

а) По какому правилу умножают одночлен на многочлен?
б) Какие многочлены называют противоположными?
в) Каким свойством обладают противоположные многочлены?
г) Каким свойством обладает разность многочленов?
д) Изменится ли многочлен, если его умножить на 1?

Решение

а) Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно одночлен умножить на каждый член многочлена и результат записать в виде многочлена.

б) Данный многочлен и многочлен, полученный умножением его на число (−1), называют противоположными многочленами.

в) Сумма противоположных многочленов равна нулю.

г) Разность многочленов есть сумма уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому.

д) Если многочлен умножить на 1, то он не изменится.

Задание 277

Найдите многочлен, равный произведению одночлена и многочлена:
а) 3 и (a + b);
б) x и (a − b);
в) (x + 1) и 5;
г) (a − b) и x.

Решение

а) 3(a + b) = 3a + 3b

б) x(a − b) = xa − xb

в) (x + 1) * 5 = 5x + 5

г) (a − b) * x = ax − bx

Задание 278

Найдите многочлен, равный произведению одночлена и многочлена:
а) (a + 3)7;
б) (x − y)10;
в) a(x − y);
г) a(a + b);
д) (a + b − c)2;
е) (a − b)(−6).

Решение

а) (a + 3)7 = 7a + 21

б) (x − y)10 = 10x − 10y

в) a(x − y) = ax − ay

г) $a(a + b) = a^2 + ab$

д) (a + b − c)2 = 2a + 2b − 2c

е) (a − b)(−6) = −6a + 6b

Задание 279

Найдите многочлен, равный произведению одночлена и многочлена:
а) (−2)(x + y);
б) $(7 + 3y - x^2y)(-2xy)$;
в) $3ab(a^2 - 2a + 1)$;
г) 2a(x + y);
д) $(x^2 + 2xy + y^2)(-12xy^3)$;
е) $21a^2b^5(a^3 - 4ab^2 - b^2)$;
ж) (−abc)(ab + ac + bc);
з) −ac(a + 2c).

Решение

а) (−2)(x + y) = −2x − 2y

б) $(7 + 3y - x^2y)(-2xy) = -14xy - 6xy^2 + 2x^3y^2$

в) $3ab(a^2 - 2a + 1) = 3a^3b - 6a^2b + 3ab$

г) 2a(x + y) = 2ax + 2ay

д) $(x^2 + 2xy + y^2)(-12xy^3) = -12x^3y^3 - 24x^2y^4 - 12xy^5$

е) $21a^2b^5(a^3 - 4ab^2 - b^2) = 21a^5b^5 - 84a^3b^7 - 21a^2b^7$

ж) $(-abc)(ab + ac + bc) = -a^2b^2c - a^2bc^2 - ab^2c^2$

з) $-ac(a + 2c) = -a^2c - 2ac^2$

Задание 280

Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
а) 2(a + b) + 4(a + b);
б) 4(x − y) + 7(x − y);
в) 4 − 2(x + 1);
г) 2a − 3(b − a);
д) 2(a − b) − 3(a + b);
е) a(x − y) − b(x + y);
ж) $3a^2 - a(3a - 4b) - 2(b - 4a)$;
з) $2ab(a + 2b) - 3ab^2(a - 4)$.

Решение

а) 2(a + b) + 4(a + b) = 2a + 2b + 4a + 4b = 6a + 6b

б) 4(x − y) + 7(x − y) = 4x − 4y + 7x − 7y = 11x − 11y

в) 4 − 2(x + 1) = 4 − 2x − 2 = −2x + 2

г) 2a − 3(b − a) = 2a − 3b + 3a = 5a − 3b

д) 2(a − b) − 3(a + b) = 2a − 2b − 3a − 3b = −a − 5b

е) a(x − y) − b(x + y) = ax − ay − bx − by

ж) $3a^2 - a(3a - 4b) - 2(b - 4a) = 3a^2 - 3a^2 + 4ab - 2b + 8a = 4ab - 2b + 8a$

з) $2ab(a + 2b) - 3ab^2(a - 4) = 2a^2b + 4ab^2 - 3a^2b^2 + 12ab^2 = 2a^2b - 3a^2b^2 + 16ab^2$

Задание 281

Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
а) a(b − c) + b(c − a) + c(a − b);
б) a(b + c − bc) − b(c + a − ac) + c(b − a).

Решение

а) a(b − c) + b(c − a) + c(a − b) = ab − ac + bc − ab + ac − bc = 0

б) a(b + c − bc) − b(c + a − ac) + c(b − a) = ab + ac − abc − bc − ab + abc = 0

Задание 282

Пользуясь рисунком 11, докажите, что для a > 0, b > 0, c > 0, d > 0 верно равенство:
а) a(b + c) = ab + ac (рис.11,а);
б) a(b + c + d) = ab + ac + ad (рис.11,б).

Решение

а) a(b + c) − площадь всего прямоугольника;
    ab − площадь левого прямоугольника;
    ac − площадь правого прямоугольника;
    a(b + c) = ab + ac − площадь всего прямоугольника равна сумме площадей входящих в него прямоугольников.

б) a(b + c + d) − площадь всего прямоугольника;
    ab − площадь левого прямоугольника;
    ac − площадь среднего прямоугольника;
    ad − площадь правого прямоугольника.
    a(b + c + d) = ab + ac + ad − площадь всего прямоугольника равна сумме площадей входящих в него прямоугольников.

Звезда не активнаЗвезда не активнаЗвезда не активнаЗвезда не активнаЗвезда не активна
 

© Копирование допустимо только с прямой активной ссылкой на страницу с оригиналом статьи.
При любых заболеваниях не занимайтесь диагностикой и лечением самостоятельно, необходимо обязательно обратиться к врачу - специалисту.
Изображения обложек учебной литературы приведены на страницах сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса РФ)