Ответы к теме 5.3. Многочлены стандартного вида

Задание 254

а) Какой многочлен называют многочленом стандартного вида? Приведите примеры.
б) Что называют двучленом, трехчленом? Приведите примеры.
в) Любой ли многочлен можно привести к стандартному виду?
г) Что нужно сделать для того, чтобы привести многочлен к стандартному виду?
д) Что называют степенью ненулевого многочлена стандартного вида?
е) Определена ли степень нулевого многочлена?

Решение

а) Многочленом стандартного вида называется такой многочлен, все члены которого записаны в стандартном виде и среди них нет подобных.
Например:
$x^2 - 2y$;
$\frac{1}{2}ab - b$.

б) Двучлен − это многочлен стандартного вида, состоящий из двух членов.
Например:
$x^2 - 2y$
Трехчлен − это многочлен стандартного вида, состоящий из трех членов.
Например:
$x^2 - 2y + 5$

в) Любой многочлен можно привести к стандартному виду.

г) Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно каждый его член привести к стандартному виду и привести подобные слагаемые.

д) Степенью ненулевого многочлена стандартного вида называется наибольшая из степеней одночленов, входящих в этот многочлен.

е) Степень нулевого многочлена не определена.

Задание 255

Имеет ли многочлен стандартный вид:
а) m − 3n + 2m;
б) $a * 2b - 3a^2 + b$;
в) 3xy − 3yx + 1;
г) $a^2 + ab + b^2 + ab$;
д) $x^5 - 2x^4 + 3x^3 - 1$;
е) $ba - a^2b - a^3b$;
ж) $a^3b + ab^3 - a^2b^2 + 2bab^2$

Решение

а) m − 3n + 2m − нестандартный вид

б) $a * 2b - 3a^2 + b$ − нестандартный вид

в) 3xy − 3yx + 1 − нестандартный вид

г) $a^2 + ab + b^2 + ab$ − нестандартный вид

д) $x^5 - 2x^4 + 3x^3 - 1$ − стандартный вид

е) $ba - a^2b - a^3b$ − нестандартный вид

ж) $a^3b + ab^3 - a^2b^2 + 2bab^2$ − стандартный вид

Задание 256

Приведите многочлен к стандартному виду, определите коэффициенты и степени его членов:
а) b + b + ac + ac + ac;
б) $2a^2 - 3b + b - 7a^2 - b$;
в) xx + xx + x − 2x;
г) $2a^3 + 4a^3 - 5a^2 + 5a^2$.

Решение

а) b + b + ac + ac + ac = 2b + 3ac
2b − коэффициент 2, степень 1;
3ac − коэффициент 3, степень 2.

б) $2a^2 - 3b + b - 7a^2 - b = -5a^2 - 3b$
$-5a^2$ − коэффициент −5, степень 2;
−3b − коэффициент −3, степень 1.

в) $xx + xx + x - 2x = 2x^2 - x$
$2x^2$ − коэффициент 2, степень 2;
−x − коэффициент −1, степень 1.

г) $2a^3 + 4a^3 - 5a^2 + 5a^2 = 6a^3$
$6a^3$ − коэффициент 6, степень 3.

Задание 257

Приведите многочлен к стандартному виду, определите его степень:
а) $4a^2b + 5b^2a + baa + 3aba$;
б) $5a^3 - 7ax^3 - 2ax^3 - a^3x - ax^3$;
в) $3ax^2 - 3a^2x + 2a^2x^2 - 7a^2x^2 - a^2x$;
г) $6n^3 - 8p^2n^3 + p^2n^3 + 12n^3p^2 + 2n^3$;
д) $7a^3 - 8aba^2 + 3a^2 - 4b$;
е) $x^5 - 7y^2 + 3xyx^4 + 2x - 1$;
ж) $ac + 2abc - 7a^2 + 3ca - 3cab$.

Решение

а) $4a^2b + 5b^2a + baa + 3aba = 4a^2b + 5b^2a + a^2b + 3a^2b = 8a^2b + 5b^2a$
степень = 3

б) $5a^3 - 7ax^3 - 2ax^3 - a^3x - ax^3 = 5a^3 - 10ax^3 - a^3x$
степень = 4

в) $3ax^2 - 3a^2x + 2a^2x^2 - 7a^2x^2 - a^2x = 3ax^2 - 4a^2x - 5a^2x^2$
степень = 4

г) $6n^3 - 8p^2n^3 + p^2n^3 + 12n^3p^2 + 2n^3 = 8n^3 - 7p^2n^3 + 12n^3p^2$
степень = 5

д) $7a^3 - 8aba^2 + 3a^2 - 4b = 7a^3 - 8a^3b + 3a^2 - 4b$
степень = 4

е) $x^5 - 7y^2 + 3xyx^4 + 2x - 1 = x^5 - 7y^2 + 3x^5y + 2x - 1$
степень = 6

ж) $ac + 2abc - 7a^2 + 3ca - 3cab = ac + 2abc - 7a^2 + 3ac - 3abc = 4ac - abc - 7a^2$
степень = 3

Задание 258

Упростите выражение:
а) $2aa + a * 3a + a^2$;
б) $2x^2 * 3xy - 4x * 5x^2y$;
в) $y^2 * 2x - 3x^2 * 2y + 2xy * 2y - xy * (-4x)$;
г) $xx * (-2x) - y * 3xy + 7x^2 * (-2x) - 4y^2 * 2x$.

Решение

а) $2aa + a * 3a + a^2 = 2a^2 + 3a^2 + a^2 = 6a^2$

б) $2x^2 * 3xy - 4x * 5x^2y = 6x^3y - 20x^3y = -14x^3y$

в) $y^2 * 2x - 3x^2 * 2y + 2xy * 2y - xy * (-4x) = 2xy^2 - 6x^2y + 4xy^2 + 4x^2y = 6xy^2 - 2x^2y$

г) $xx * (-2x) - y * 3xy + 7x^2 * (-2x) - 4y^2 * 2x = -2x^3 - 3xy^2 - 14x^3 - 8xy^2 = -16x^3 - 11xy^2$

Задание 259

Вместо букв C и D подберите одночлены так, чтобы выполнялось равенство:
а) 2a + C + a + 5b = 3a + 8b;
б) 3x + C + y + D = 11x + 5y;
в) C − 2a + 3b − D = 10a − 4b;
г) C + D + x = 25x + 17y.

Решение

а) 2a + C + a + 5b = 3a + 8b
C + 3a + 5b = 3a + 8b
C = 3a + 8b − 3a − 5b
C = 3b
Ответ:
2a + 3b + a + 5b = 3a + 8b

б) 3x + C + y + D = 11x + 5y
3x + C = 11x
C = 11x − 3x
C = 8x
y + D = 5y
D = 5y − y
D = 4y
Ответ:
3x + 8x + y + 4y = 11x + 5y

в) C − 2a + 3b − D = 10a − 4b
C − 2a = 10a
C = 10a + 2a
C = 12a
3b − D = −4b
D = 3b + 4b
D = 7b
Ответ:
12a − 2a + 3b − 7b = 10a − 4b

г) C + D + x = 25x + 17y
C + x = 25x
C = 25x − x
C = 24x
D = 17y
Ответ:
24x + 17y + x = 25x + 17y

Звезда не активнаЗвезда не активнаЗвезда не активнаЗвезда не активнаЗвезда не активна
 

© Копирование допустимо только с прямой активной ссылкой на страницу с оригиналом статьи.
При любых заболеваниях не занимайтесь диагностикой и лечением самостоятельно, необходимо обязательно обратиться к врачу - специалисту.
Изображения обложек учебной литературы приведены на страницах сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса РФ)