Задание 305
Разложите многочлен на множители:
а) 2x + 2y;
б) 6a − 3;
в) ax − ab;
г) 2a + 6ab;
д) $a^2 + a$;
е) $3x^3y - xy^2$;
ж) ax + bx + cx;
з) $5a^3 + 10a^2 + 15a$.
Решение
а) 2x + 2y = 2(x + y)
б) 6a − 3 = 3(2a − 1)
в) ax − ab = a(x − b)
г) 2a + 6ab = 2a(1 + 3b)
д) $a^2 + a = a(a + 1)$
е) $3x^3y - xy^2 = xy(3x^2 - y)$
ж) ax + bx + cx = x(a + b + c)
з) $5a^3 + 10a^2 + 15a = 5a(a^2 + 2a + 3)$
Задание 306
Составьте два многочлена, каждый из которых можно разложить на множители вынесением общего множителя 2x за скобки.
Решение
1) $8x^3 + 12x^2y + 2xy = 2x(4x^2 + 6xy + y)$;
2) $14x^2y + 8xy^2 + 2x = 2x(7xy + 4y^2 + 1)$.
Задание 307
Разложите многочлен на множители:
а) 2a + 4b;
б) ba − b;
в) 6x − 2;
г) yx + 2y;
д) 3a − 12b;
е) 7x − 28xy.
Решение
а) 2a + 4b = 2(a + 2b)
б) ba − b = b(a − 1)
в) 6x − 2 = 2(3x − 1)
г) yx + 2y = y(x + 2)
д) 3a − 12b = 3(a − 4b)
е) 7x − 28xy = 7x(1 − 4y)
Задание 308
Разложите многочлен на множители:
а) x(a + b) + y(a + b);
б) (a + b)a − b(a + b);
в) m(n − 3) + 2(n − 3);
г) (x + y)3 − a(x + y);
д) 2a(1 − b) − 3(1 − b);
е) a(b + 3) − b(3 + b);
ж) 7x(x + 2y) − 2(2y + x);
з) a(a + b) + (a + b);
и) 2x(x + 2y) + 3y(x + 2y);
к) 2x(a − 1) − (a − 1).
Решение
а) x(a + b) + y(a + b) = (a + b)(x + y)
б) (a + b)a − b(a + b) = (a + b)(a − b)
в) m(n − 3) + 2(n − 3) = (n − 3)(m + 2)
г) (x + y)3 − a(x + y) = (x + y)(3 − a)
д) 2a(1 − b) − 3(1 − b) = (1 − b)(2a − 3)
е) a(b + 3) − b(3 + b) = (b + 3)(a − b)
ж) 7x(x + 2y) − 2(2y + x) = 7x(x + 2y) − 2(x + 2y) = (x + 2y)(7x − 2)
з) a(a + b) + (a + b) = (a + b)(a + 1)
и) 2x(x + 2y) + 3y(x + 2y) = (x + 2y)(2x + 3y)
к) 2x(a − 1) − (a − 1) = (a − 1)(2x − 1)
Задание 309
При преобразованиях бывает необходимо изменять знаки членов многочлена на противоположные, например:
(a + b) = (−1)(−a − b) = −(−a − b)
или
(a − b) = (−1)(−a + b) = −(b − a)
Используя этот прием, разложите на множители:
а) a(x − y) + b(y − x);
б) x(a − b) + y(b − a);
в) 3(m − n) − a(n − m);
г) 7a(a − b) − 5(b − a);
д) a(a − b) + 4(b − a);
е) 6(x − 1) − x(1 − x);
ж) p(1 − p) − 3(p − 1);
з) $x^2(y - 3) + 7(3 - y)$.
Решение
а) a(x − y) + b(y − x) = a(x − y) − b(x − y) = (x − y)(a − b)
б) x(a − b) + y(b − a) = x(a − b) − y(a − b) = (x − y)
в) 3(m − n) − a(n − m) = 3(m − n) + a(m − n) = (m − n)(3 + a)
г) 7a(a − b) − 5(b − a) = 7a(a − b) + 5(a − b) = (a − b)(7a + 5)
д) a(a − b) + 4(b − a) = a(a − b) − 4(a − b) = (a − b)(a − 4)
е) 6(x − 1) − x(1 − x) = 6(x − 1) + x(x − 1) = (x − 1)(6 + x)
ж) p(1 − p) − 3(p − 1) = p(1 − p) + 3(1 − p) = (1 − p)(p + 3)
з) $x^2(y - 3) + 7(3 - y) = x^2(y - 3) - 7(y - 3) = (y - 3)(x^2 - 7)$
Задание 310
Разложите на множители:
а) a(b − 1) − (1 − b);
б) (a + b) + 3a(a + b);
в) 2x(a − b) − (b − a);
г) 3 + a + a(3 + a);
д) (m − 2n) − x(2n − m);
е) a − b − x(b − a);
ж) $(x - 1)^2 + x(x - 1)$;
з) $(x + 2)^2 - (x + 2)(x - 1)$;
и) $(2x - 1)^2 - x(2x - 1)$;
к) $(3x - 1)^2 + (x + 2)(3x - 1)$;
л) (x − 1)(x + 1) + (x − 3)(x + 1);
м) (x − 2)(x + 2) − (x + 2)(x − 1);
н) (x − 3)(2x + 3) − (3 − x)(x + 1).
Решение
а) a(b − 1) − (1 − b) = a(b − 1) + (b − 1) = (b − 1)(a + 1)
б) (a + b) + 3a(a + b) = (a + b)(1 + 3a)
в) 2x(a − b) − (b − a) = 2x(a − b) + (a − b) = (a − b)(2x + 1)
г) 3 + a + a(3 + a) = (3 + a) + a(3 + a) = (3 + a)(1 + a)
д) (m − 2n) − x(2n − m) = (m − 2n) + x(m − 2n) = (m − 2n)(1 + x)
е) a − b − x(b − a) = (a − b) + x(a − b) = (a − b)(1 + x)
ж) $(x - 1)^2 + x(x - 1) = (x - 1)(x - 1 + x) = (x - 1)(2x - 1)$
з) $(x + 2)^2 - (x + 2)(x - 1) = (x + 2)(x + 2 - (x - 1)) = (x + 2)(x + 2 - x + 1) = 3(x + 2)$
и) $(2x - 1)^2 - x(2x - 1) = (2x - 1)(2x - 1 - x) = (2x - 1)(x - 1)$
к) $(3x - 1)^2 + (x + 2)(3x - 1) = (3x - 1)(3x - 1 + x + 2) = (3x - 1)(4x + 1)$
л) (x − 1)(x + 1) + (x − 3)(x + 1) = (x + 1)(x − 1 + x − 3) = (x + 1)(2x − 4) = 2(x + 1)(x − 2)
м) (x − 2)(x + 2) − (x + 2)(x − 1) = (x + 2)(x − 2 − (x − 1)) = (x + 2)(x − 2 − x + 1) = (x + 2)(x − 2 − x + 1) = −(x + 2)
н) (x − 3)(2x + 3) − (3 − x)(x + 1) = (x − 3)(2x + 3) + (x − 3)(x + 1) = (x − 3)(2x + 3 + x + 1) = (x − 3)(3x + 4)
Задание 311
Упростите выражение:
а) $(2x - 2a)(3a^2 - 4a + 5)$;
б) $(7x^2 - 2x + 4 - x^2)(2x - x - 1)$;
в) $(x^2 + 3x - 2)(2x^2 - x + 4)$;
г) $(2m^3 - 7m^2 + 4m)(3 - 8m + m^2)$;
д) (2a + 1)(3 + a)(5a + 2);
е) (x − 3)(2x − 1)(7 + 2x);
ж) (2m − n)(3n + 2m)(m − 5n);
з) (p − 8q)(4q − p)(p + 8q).
Решение
а) $(2x - 2a)(3a^2 - 4a + 5) = 6a^2x - 6a^3 - 8ax + 8a^2 + 10x - 10a$
б) $(7x^2 - 2x + 4 - x^2)(2x - x - 1) = (6x^2 - 2x + 4)(x - 1) = (6x^2 - 2x + 4)(x - 1) = 6x^3 - 8x^2 + 6x - 4$
в) $(x^2 + 3x - 2)(2x^2 - x + 4) = 2x^4 + 6x^3 - 4x^2 - x^3 - 3x^2 + 2x + 4x^2 + 12x - 8 = 2x^4 + 5x^3 - 3x^2 + 14x - 8$
г) $(2m^3 - 7m^2 + 4m)(3 - 8m + m^2) = 6m^3 - 21m^2 + 12m - 16m^4 + 56m^3 - 32m^2 + 2m^5 - 7m^4 + 4m^3 = 2m^5 - 23m^4 + 66m^3 - 53m^2 + 12m$
д) $(2a + 1)(3 + a)(5a + 2) = (6a + 3 + 2a^2 + a)(5a + 2) = 30a^2 + 15a + 10a^3 + 5a^2 + 12a + 6 + 4a^2 + 2a = 10a^3 + 39a^2 + 29a + 6$
е) $(x - 3)(2x - 1)(7 + 2x) = (2x^2 - 6x - x + 3)(7 + 2x) = 14x^2 - 42x - 7x + 21 + 4x^3 - 12x^2 - 2x^2 + 6x = 4x^3 - 43x + 21$
ж) $(2m - n)(3n + 2m)(m - 5n) = (6mn - 3n^2 + 4m^2 - 2mn)(m - 5n) = 6m^2n - 3mn^2 + 4m^3 - 2m^2n - 30mn^2 + 15n^3 - 20m^2n + 10mn^2 = 4m^3 - 16m^2n - 23mn^2 + 15n^3$
з) $(p - 8q)(4q - p)(p + 8q) = (4pq - 32q^2 - p^2 + 8pq)(p + 8q) = 4p^2q - 32pq^2 - p^3 + 8p^2q + 32pq^2 - 256q^3 - 8p^2q + 64pq^2 = 4p^2q + 64pq^2 - p^3 - 256q^3$
