Задание 74 (учебник 2019 года)

Один работник может выполнить задание за 45 ч, а другому для этого надо в 1 1/2 раза меньше времени, чем первому. За сколько часов они выполнят это задание, работая вместе? Какую часть задания при этом выполнит каждый из них?

Решение

$45:1\frac12=45:\frac32=45\ast\frac23=15\ast2=30$ часов необходимо второму работнику на выполнение задания.
Пусть все задание равно 1, тогда:
$\frac1{45}$ задания выполнит первый работник за 1 час;
$\frac1{30}$ задания выполнит второй работник за 1 час;
$\frac1{45}+\frac1{30}=\frac2{90}+\frac3{90}=\frac5{90}=\frac1{18}$ задания выполнят совместно оба работника за 1 час;
$1:\frac1{18}=18$ часов потребуется на выполнение задания двум работникам при совместной работе, при этом:
$\frac1{45}\ast18=\frac{18}{45}=\frac25$ задания выполнит первый работник;
$\frac1{30}\ast18=\frac{18}{30}=\frac35$ задания выполнит второй работник.

Задание 75 (учебник 2018 года)

За первый день Вася прочел 8/15 страниц книги, за второй − 5/12 страниц книги и за третий день − оставшиеся 12 страниц. Сколько страниц в этой книге?

Решение

Пусть в книге x страниц, тогда:
$\frac8{15}x$ страниц прочитал Вася в первый день;
$\frac5{12}x$ страниц прочитал Вася во второй день.
Так как после двух дней осталось прочитать 12 страниц, то:
$x-\frac8{15}x-\frac5{12}x=12$
$\frac{60}{60}-\frac{32}{60}x-\frac{25}{60}x=12$
$\frac3{60}x=12$
$\frac1{20}x=12$
$x=12:\frac1{20}$
x = 12 * 20 = 240 страниц в книге.

Задание 75

(Из книги Об индийском счёте и аль-Хорезми) Если из числа вычесть его треть и его четверть, то получится 8. Найдите число.

Решение

Пусть х - искомое число
Составляем уравнение:
х - 1/3х - 1/4х = 8
х - (1/3х + 1/4х) = 8
х - (7/12х) = 8
5/12х = 8
х = 8 : 5/12
х = 96/5
х = 19,2
Проверка:
1/3 * 19,2 = 6,4
1/4 * 19,2 = 4,8
19,2 - 6,4 - 4,8 = 8

Задание 76

Известно, что n − натуральное число. Каким числом, четным или нечетным, является значение выражения:
1) 4n;
2) 2n − 1;
3) n(n + 1)?

Решение

1) 4n − четное число, так как любое число, умноженное на четное число, будет четным.

2) 2n − 1 − нечетное число, так как 2n − четное число, а при вычитании единицы, получаем нечетное число.

3) n(n + 1) − четное, так как:
1) если n − четное число, то n + 1 − нечетное число, а любое число, умноженное на четное число, будет четным;
2) если n − нечетное число, то n + 1 − четное число, а любое число, умноженное на четное число, будет четным.

Задание 77

Верно ли, что при любом значении a:
1) 2a > a;
2) 2|a| > |a|?

Решение

1) 2a > a
верно при любом a > 0;
не верно при любом a < 0;
не верно при a = 0.

2) 2|a| > |a|
верно при любом a > 0;
верно при любом a < 0;
не верно при a = 0.

Задание 78

Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?

Решение

1.
Найдем сколько всего шестизначных чисел:
наибольшее шестизначное число равно 999999;
наибольшее пятизначное число равно 999999, тогда:
999999 − 99999 = 900000 шестизначных чисел всего.
2.
Каждая цифра шестизначного числа может иметь 5 нечетных значений: 1, 3, 5, 7, 9, поэтому чтобы найти все комбинации, которые не содержат четные числа, необходимо перемножить количество нечетных чисел для каждой цифры шестизначного числа, то есть:
5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 15625 шестизначных чисел не содержат в себе ни одной четной цифры.
3.
900000 − 15625 = 884375 шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра.