Задание 61

При каком значении a уравнение:
1) ax = 6;
2) (3 − a)x = 4;
3) (a − 2)x = a + 2 не имеет корней?

Решение

1) при a = 0 уравнение не имеет корней, так как:
ax = 6
0x = 6
0 ≠ 6

2) при a = 3 уравнение не имеет корней, так как:
(3 − a)x = 4
(3 − 3)x = 4
0 ≠ 4

3) при a = 2 уравнение не имеет корней, так как:
(a − 2)x = a + 2
(2 − 2)x = 2 + 2
0 ≠ 4

Задание 62

При каком значении a любое число является корнем уравнения:
1) ax = a;
2) (a − 2)x = 2 − a;
3) a(a + 5)x = a + 5?

Решение

1) при a = 0 любое число является корнем уравнения, так как:
ax = a
0x = 0
0 = 0

2) при a = 2 любое число является корнем уравнения, так как:
(a − 2)x = 2 − a
(2 − 2)x = 2 − 2
0 = 0

3) при a = −5 любое число является корнем уравнения, так как:
a(a + 5)x = a + 5
−5(−5 + 5)x = −5 + 5
−5 * 0 = 0
0 = 0

Задание 63

При каких значениях a уравнение:
1) (a − 5)x = 6;
2) (a + 7)x = a + 7 имеет единственный корень?

Решение

1) При любых значениях a, кроме a = 5 уравнение имеет единственный корень.

2) При любых значениях a, кроме a = −7 уравнение имеет единственный корень.

Задание 64

Решите уравнение:
1) (b + 1)x = 9;
2) $(b^2+1)x=-4$.

Решение

1) (b + 1)x = 9
при b = −1, уравнение не имеет корней, в остальных случаях:
$x=\frac9{b+1}$

2) $(b^2+1)x=-4$
$x=-\frac4{b^2+1}$

Задание 65

Решите уравнение (m + 8)x = m + 8.

Решение

(m + 8)x = m + 8
При m = −8 корнем уравнения может быть любое число, так как:
(−8 + 8)x = −8 + 8
0 = 0, в остальных случаях:
$x=\frac{m+8}{m+8}$
x = 1

Задание 66

Каким выражением можно заменить звездочку в равенстве 6x + 8 = 4x + *, чтобы получилось уравнение:
1) не имеющее корней;
2) имеющее бесконечно много корней;
3) имеющее один корень?

Решение

1) * = 2x, тогда:
6x + 8 = 4x + 2x
6x − 4x − 2x = −8
0x = −8
0 ≠ −8, нет корней уравнения.

2) * = 2x + 8 тогда:
6x + 8 = 4x + 2x + 8
6x − 4x − 2x = 8 − 8
0 = 0, уравнение имеет бесконечно много корней.

3) * = 10x тогда:
6x + 8 = 4x + 10x
6x − 4x − 10x = −8
−8x = −8
x = −8 : −8
x = 1, уравнение имеет один корень.

Задание 67

В равенстве 2(1,5x − 0,5) = 7x + * замените звездочку таким выражением, чтобы получившееся уравнение:
1) не имело корней;
2) имело бесконечно много корней;
3) имело один корень.

Решение

1) 2(1,5x − 0,5) = 7x + *
3x − 1 = 7x + *
* = 3 − 4x, тогда:
3x − 1 = 7x + 3 − 4x
3x − 7x + 4x = 3 + 1
0x = 4
0 ≠ 4, , нет корней уравнения.

2) 2(1,5x − 0,5) = 7x + *
3x − 1 = 7x + *
* = −1 − 4x, тогда:
3x − 1 = 7x − 1 − 4x
3x − 7x + 4x = −1 + 1
0x = 0
0 = 0, уравнение имеет бесконечно много корней.

3) 2(1,5x − 0,5) = 7x + *
3x − 1 = 7x + *
* = 1 − 2x, тогда:
3x − 1 = 7x + 1 − 2x
3x − 7x − 4x = 1 + 1
−2x = 2
x = 2 : −2
x = −1, уравнение имеет один корень.

Задание 68

Решите уравнение:
1) |x| + 3x = 12;
2) |x| − 4x = 9;
3) 2(x − 5) − 6|x| = −18.

Решение

1) |x| + 3x = 12
x > 0:
x + 3x = 12
4x = 12
x = 12 : 4
x = 3;
x < 0:
−x + 3x = 12
2x = 12
x = 12 : 2
x = 6.

2) |x| − 4x = 9
x > 0:
x − 4x = 9
−3x = 9
x = 9 : −3
x = −3
x < 0:
−x − 4x = 9
−5x = 9
$x=-\frac95$
$x=-1\frac45$

3) 2(x − 5) − 6|x| = −18
x > 0:
2x − 10 − 6x = −18
2x − 6x = −18 + 10
−4x = −8
x = −8 : −4
x = 2
x < 0:
2x − 10 + 6x = −18
2x + 6x = −18 + 10
8x = −8
x = −8 : 8
x = −1

Задание 69

Решите уравнение:
1) 2x − |x| = −1;
2) 7|x| − 3(x + 2) = −10.

Решение

1) 2x − |x| = −1
x > 0:
2x − x = −1
x = −1;
x < 0:
2x + x = −1
3x = −1
$x=-\frac13$.

2) 7|x| − 3(x + 2) = −10
x > 0:
7x − 3x − 6 = −10
7x − 3x = −10 + 6
4x = −4
x = −4 : 4
x = −1;
x < 0:
−7x − 3x − 6 = −10
−7x − 3x = −10 + 6
−10x = −4
x = −4 : −10
x = 0,4.

Задание 70

При каких целых значениях a корень уравнения:
1) x − 2 = a;
2) x + 7a = 9;
3) 2x − a = 4;
4) x + 2a = 3 является целым числом, которое делится нацело на 2?

Решение

1) при a = 2, так как:
x − 2 = a
x − 2 = 2
x = 2 + 2
x = 4 − является целым числом, которое делится нацело на 2.

2) при a = −3, так как:
x + 7a = 9
x + 7 * (−3) = 9
x − 21 = 9
x = 9 + 21
x = 30 − является целым числом, которое делится нацело на 2.

3) при a = 8, так как:
2x − a = 4
2x − 8 = 4
2x = 4 + 8
2x = 12
x = 12 : 2
x = 6 − является целым числом, которое делится нацело на 2.

4) при $a=\frac12$, так как:
x + 2a = 3
$x+2\ast\frac12=3$
x + 1 = 3
x = 3 − 1
x = 2 − является целым числом, которое делится нацело на 2.

Задание 71

При каких целых значениях b корень уравнения:
1) x + 3 = b;
2) x − 2 = b;
3) x − 3b = 8 является целым числом, которое делится нацело на 3?

Решение

1) при b = 9, так как:
x + 3 = b
x + 3 = 9
x = 9 − 3
x = 6 − является целым числом, которое делится нацело на 3.

2) при b = 7, так как:
x − 2 = b
x − 2 = 7
x = 7 + 2
x = 9 − является целым числом, которое делится нацело на 3.

3) при $b=\frac13$, так как:
x − 3b = 8
$x-3\ast\frac13=8$
x − 1 = 8
x = 8 + 1
x = 9 − является целым числом, которое делится нацело на 3.

Задание 72

При каких целых значениях b корень уравнения меньше, чем b:
1) 3x = b;
2) x = 2b?

Решение

1) 3x = b
$x=\frac b3$, следовательно при любом b > 0, корень уравнения будет меньше, чем b.

2) x = 2b, следовательно при любом b < 0, корень уравнения будет меньше, чем b.

Задание 73

При каких целых значениях d корень уравнения больше, чем d:
1) 4x = d;
2) 1/5 x = d?

Решение

1) 4x = d
$x=\frac d4$, следовательно при любом d < 0, корень уравнения будет больше, чем b.

2) $\frac15x=d$
$x=d:\frac15$
x = 5d, следовательно при любом d > 0, корень уравнения будет больше, чем b.