Задание 50

При каком значении переменной:
1) выражения 6 − (2x − 9) и (18 + 2x) − 3(x − 3) принимают равные значения;
2) значение выражения −4(2y − 0,9) на 2,4 меньше значения выражения 5,6 − 10y?

Решение

1) 6 − (2x − 9) = (18 + 2x) − 3(x − 3)
6 − 2x + 9 = 18 + 2x − 3x + 9
−2x − 2x + 3x = 18 + 9 − 9 − 6
−x = 12
x = −12

2) (5,6 − 10y) − (−4(2y − 0,9)) = 2,4
5,6 − 10y − (−8y − 3,6) = 2,4
5,6 − 10y + 8y − 3,6 = 2,4
−10y + 8y = 2,4 − 5,6 + 3,6
−2y = 0,4
y = 0,4 : −2
y = −0,2

Задание 51

Решите уравнение:
1) |x| + 6 = 13;
2) |x| − 7 = −12;
3) 7|x| − 3 = 0;
4) |x − 5| = 4;
5) |9 + x| = 0;
6) |x − 4| = −2;
7) |3x + 4| = 2;
8) |2x + 1| + 13 = 14;
9) ||x| − 3| = 5.

Решение

1) |x| + 6 = 13
x > 0:
x + 6 = 13
x = 13 − 6
x = 7;
x < 0:
−x + 6 = 13
−x = 13 − 6
x = −7.

2) |x| − 7 = −12
x > 0:
x − 7 = −12
x = −12 + 7
x = −5;
x < 0:
−x − 7 = −12
−x = −12 + 7
−x = −5
x = 5.

3) 7|x| − 3 = 0
x > 0:
7x − 3 = 0
7x = 3
x=3/7;
x < 0:
7 * (−x) − 3 = 0
−7x = 3
x=−3/7.

4) |x − 5| = 4
x − 5 > 0:
x − 5 = 4
x = 4 + 5
x = 9;
x − 5 < 0:
−x + 5 = 4
−x = 4 − 5
−x = −1
x = 1.

5) |9 + x| = 0
9 + x > 0:
9 + x = 0
x = 0 − 9
x = −9;
9 + x < 0:
−9 − x = 0
−x = 9
x = −9.

6) |x − 4| = −2
−2 − модуль не может быть отрицательным, поэтому уравнение не имеет решений.

7) |3x + 4| = 2
3x + 4 > 0:
3x + 4 = 2
3x = 2 − 4
3x = −2
$x=-\frac23$;
3x + 4 < 0:
−3x − 4 = 2
−3x = 2 + 4
x = 6 : (−3)
x = −2

8) |2x + 1| + 13 = 14
2x + 1 > 0:
2x + 1 + 13 = 14
2x = 14 − 13 − 1
2x = 0
x = 0;
2x + 1 < 0:
−2x − 1 + 13 = 14
−2x = 14 − 13 + 1
−2x = 2
x = 2 : −2
x = −1

9) ||x| − 3| = 5
|x| − 3 > 0:
|x| − 3 = 5
|x| = 5 + 3
|x| = 8;
x1 = 8;
x2 = −8;
|x| − 3 < 0:
−|x| + 3 = 5
−|x| = 5 − 3
−|x| = 2
|x| = −2
−2 − модуль не может быть отрицательным, поэтому уравнение не имеет решений.

Задание 52

Решите уравнение:
1) |x| − 8 = −5;
2) |x| + 5 = 2;
3) |x + 12| = 3;
4) |8 − 0,2x| = 12;
5) |10x − 7| − 32 = −16;
6) ||x| − 2| = 2.

Решение

1) |x| − 8 = −5
x > 0:
x − 8 = −5
x = −5 + 8
x = 3;
x < 0:
−x − 8 = −5
−x = −5 + 8
−x = 3
x = −3.

2) |x| + 5 = 2
x > 0:
x + 5 = 2
x = 2 − 5
x = −3;
x < 0:
−x + 5 = 2
−x = 2 − 5
−x = −3
x = 3.

3) |x + 12| = 3
x + 12 > 0:
x + 12 = 3
x = 3 − 12
x = −9;
x + 12 < 0:
−x − 12 = 3
−x = 3 + 12
−x = 15
x = −15.

4) |8 − 0,2x| = 12
8 − 0,2x > 0:
8 − 0,2x = 12
−0,2x = 12 − 8
x = 4 : −0,2
x = −20
8 − 0,2x < 0:
−8 + 0,2x = 12
0,2x = 12 + 8
x = 20 : 0,2
x = 100.

5) |10x − 7| − 32 = −16
10x − 7 > 0:
10x − 7 − 32 = −16
10x = −16 + 7 + 32
10x = 23
x = 23 : 10
x = 2,3
10x − 7 < 0:
−10x + 7 − 32 = −16
−10x = −16 − 7 + 32
−10x = 9
x = 9 : −10
x = −0,9.

6) ||x| − 2| = 2
||x| − 2| > 0:
|x| − 2 = 2
|x| = 2 + 2
|x| = 4
x1 = 4;
x2 = −4;
||x| − 2| < 0:
−|x| + 2 = 2
−|x| = 2 − 2
−|x| = 0
|x| = 0
x = 0.

Задание 53

При каком значении a уравнение:
1) 5ax = −45 имеет корень, равный числу 3;
2) (a − 4)x = −5a + 4x − 7 имеет корень, равный числу −6?

Решение

1) 5ax = −45
5 * 3 * a = −45
15a = −45
a = −45 : 15
a = −3

2) (a − 4)x = −5a + 4x − 7
(a − 4) * (−6) = −5a + 4 * (−6) − 7
−6a + 24 = −5a − 24 − 7
−6a + 5a = −24 − 7 − 24
−a = −55
a = 55

Задание 54

При каком значении a уравнение:
1) 3ax = 12 − x имеет корень, равный числу −9;
2) (5a + 2)x = 8 − 2a имеет корень, равный числу 2?

Решение

1) 3ax = 12 − x
3 * (−9) * a = 12 − (−9)
−27a = 21
$a=-\frac{21}{27}$
$a=-\frac79$

2) (5a + 2)x = 8 − 2a
(5a + 2) * 2 = 8 − 2a
10a + 4 = 8 − 2a
10a + 2a = 8 − 4
12a = 4
$a=\frac4{12}$
$a=\frac13$

Задание 55

Укажите какое−либо значение b, при котором будет целым числом корень уравнения:
1) 0,1x = b;
2) bx = 21;
3) 1/6 x = b;
4) bx = 1/6.

Решение

1) b = 10, тогда:
0,1x = b
0,1x = 10
x = 10 : 0,1
x = 100 − целое число.

2) b = 7, тогда:
bx = 21
7x = 21
x = 21 : 7
x = 3 − целое число.

3) b = 1, тогда:
$\frac16x=b$
$\frac16x=1$
$x=1:\frac16$
$x=1\ast\frac61$
x = 6 − целое число.

4) $b=\frac16$, тогда:
$bx=\frac16$
$\frac16x=\frac16$
$x=\frac16:\frac16$
$x=\frac16\ast\frac61$
x = 1 − целое число.

Задание 56

Составьте уравнение, которое:
1) имеет единственный корень равный числу −4;
2) имеет бесконечно много корней;
3) не имеет корней.

Решение

1) 8x = −32

2) 3(x + 2) = 3x + 6

3) 3(x + 2) = 3x + 2

Задание 57

Найдите все целые значения m, при которых корень уравнения:
1) mx = 3;
2) (m + 4)x = 49 является целым числом.

Решение

1) mx = 3
$x=\frac3m$, следовательно x будет целым числом при:
m = 3; 1.

2) (m + 4)x = 49
$x=\frac{49}{m+4}$, следовательно x будет целым числом при:
m = 3; 45; −5; −11; −53.

Задание 58

Найдите все целые значения n, при которых корень уравнения:
1) nx = −5;
2) (n − 6)x = 25 является натуральным числом.

Решение

1) nx = −5
$x=-\frac5n$, следовательно x будет целым числом при:
n = −5; 5; −1; 1.

2) (n − 6)x = 25
$x=\frac{25}{n-6}$, следовательно x будет целым числом при:
n = 7; 11; 31; −19.

Задание 59

При каком значении b уравнения:
1) 7 − 3x = 6x − 56 и x − 3b = −35;
2) 2y − 9b = 7 и 3,6 + 5y = 7(1,2 − y) имеют один и тот же корень?

Решение

1) 7 − 3x = 6x − 56
−3x − 6x = −56 − 7
−9x = −63
x = −63 : −9
x = 7, тогда:
x − 3b = −35
7 − 3b = −35
−3b = −35 − 7
−3b = −42
b = −42 : −3
b = 14

2) 3,6 + 5y = 7(1,2 − y)
3,6 + 5y = 8,4 − 7y
5y + 7y = 8,4 − 3,6
12y = 4,8
y = 4,8 : 12
y = 0,4, тогда:
2y − 9b = 7
2 * 0,4 − 9b = 7
0,8 − 9b = 7
−9b = 7 − 0,8
−9b = 6,2
$b=-\frac{6,2}9$
$b=-\frac{62}{90}$
$b=-\frac{31}{45}$

Задание 60

При каком значении c уравнения:
1) (4x + 1) − (7x + 2) = x и 12x − 9 = c + 5;
2) 1/7cx = x + c и 6 − 3(2x − 4) = −8x + 4 имеют один и тот же корень?

Решение

1) (4x + 1) − (7x + 2) = x
4x + 1 − 7x − 2 = x
4x − 7x − x = −1 + 2
−4x = 1
$x=-\frac14$, тогда:
12x − 9 = c + 5
$12\ast(-\frac14)-9=c+5$
−3 − 9 = c + 5
c = −3 − 9 − 5
c = −17

2) 6 − 3(2x − 4) = −8x + 4
6 − 6x + 12 = −8x + 4
−6x + 8x = 4 − 6 − 12
2x = −14
x = −14 : 2
x = −7, тогда:
$\frac17cx=x+c$
−c = −7 + c
−c − c = −7
−2c = −7
$c=\frac72$
c = 3,5