Задание №997

Составьте уравнения, графики которых изображены на рисунке 60.

Решение

Прямая b проходит параллельно оси x, следовательно уравнение, графиком которого является прямая b, будет иметь вид: y = 3.

Прямая m проходит через точки (1;0) и (0;−3), тогда:
ax + by = c
(1;0)
a + 0b = c
c = a;
(0;−3)
0a − 3b = c
c = −3b, тогда:
a = −3b.
Пусть b = 2, тогда:
a = −3b = −3 * 2 = −6;
с = a = −6.
Следовательно уравнение, графиком которого является прямая m, будет иметь вид: −6x + 2y = −6.

Прямая n проходит через точки (3;0) и (0;2), тогда:
ax + by = c
(3;0)
3a + 0b = c
c = 3a;
(0;2)
0a + 2b = c
c = 2b, тогда:
3a = 2b
b = 3a : 2 = 1,5a.
Пусть a = 2, тогда:
b = 1,5a = 1,5 * 2 = 3;
с = 3a = 3 * 2 = 6.
Следовательно уравнение, графиком которого является прямая n, будет иметь вид: 2x + 3y = 6.

Задание №998

Сколько существует пар простых чисел (x; y), являющихся решениями уравнения 5x − 6y = 3?

Решение:

5x − 6y = 3
−6y = 3 − 5x
6y = 5x − 3
$y=\frac{5x-3}6=\frac56x-\frac12$
Пусть x = 3:
$y=\frac56x-\frac12=\frac56\ast3-\frac12=\frac52-\frac12=\frac42=2$,
следовательно, существует только одна пара простых чисел (3;2), являющаяся решением данного уравнения.

Задание №999

Две бригады изготовили 840 деталей, причем одна бригада изготовила на 80% больше деталей, чем другая. Сколько деталей изготовила каждая бригада?

Решение:

Пусть x деталей изготовила одна бригада, тогда x + 0,8x = 1,8x деталей изготовила другая бригада, а всего было изготовлено 840 деталей.
Составим уравнение:
x + 1,8x = 840
2,8x = 840
x = 840 : 2,8
x = 300 деталей изготовила одна бригада;
1,8x = 300 * 1,8 = 540 деталей изготовила другая бригада.

Задание №1000

Известно, что 4 одинаковых экскаватора могут вырыть котлован за 12 ч. За какое время 6 таких же экскаваторов выроют 3 таких котлована?

Решение:

4 * 12 = 48 часов потребуется одному экскаватору, чтобы вырыть котлован;
48 * 6 = 144 часов потребуется одному экскаватору, чтобы вырыть 3 котлована;
144 : 6 = 24 часа потребуется шести экскаваторам, чтобы вырыть 3 котлована.

Задание №1001

Докажите, что значение выражения

2 36 + 4 100 − 2 32 − 4 98 кратно числу:
1) 15;
2) 240.

Решение:

1) 2 36 + 4 100 − 2 32 − 4 98 = 2 36 + ( 2 2 ) 100 − 2 32 − ( 2 2 ) 98 = 2 36 + 2 200 − 2 32 − 2 196 = ( 2 36 − 2 32 ) + ( 2 200 − 2 196 ) = 2 32 ( 2 4 − 1 ) + 2 196 ( 2 4 − 1 ) = ( 2 4 − 1 ) ( 2 32 + 2 196 ) = ( 16 − 1 ) ( 2 32 + 2 196 ) = 15 ( 2 32 + 2 196 ),
следовательно, данное выражение кратно 15.

2) 2 36 + 4 100 − 2 32 − 4 98 = 2 36 + ( 2 2 ) 100 − 2 32 − ( 2 2 ) 98 = 2 36 + 2 200 − 2 32 − 2 196 = ( 2 36 − 2 32 ) + ( 2 200 − 2 196 ) = 2 32 ( 2 4 − 1 ) + 2 196 ( 2 4 − 1 ) = ( 2 4 − 1 ) ( 2 32 + 2 196 ) = ( 16 − 1 ) ( 2 32 + 2 196 ) = 15 ( 2 32 + 2 196 ) = 15 ∗ 2 4 ( 2 28 + 2 192 ) = 15 ∗ 16 ( 2 28 + 2 192 ) = 240 ( 2 28 + 2 192 ),
следовательно, данное выражение кратно 240.

Задание №1002

Решите уравнение:
1) ( x − 8 )2 − ( x − 4 ) ( x + 4 ) = 0;
2) ( 4 x − 5 ) ( 4 x + 5 ) − ( 4 x − 1 )2 = 9 − 2 x.

Решение:

1) ( x − 8 )2 − ( x − 4 ) ( x + 4 ) = 0
x2 − 16 x + 64 − ( x2 − 16 ) = 0
x2 − 16 x + 64 − x2 + 16 = 0
x2 − x2 − 16 x = − 64 − 16
−16x = −80
x = −80 : −16
x = 5

2) ( 4 x − 5 ) ( 4 x + 5 ) − ( 4 x − 1 )2 = 9 − 2 x
16 x2 − 25 − ( 16 x2 − 8 x + 1 ) = 9 − 2 x
16 x2 − 16 x2 + 8 x + 2 x = 9 + 25 + 1
10x = 35
x = 35 : 10
x = 3,5

Задание №1003

Разложите на множители:
1) 6 x3 − 8 x2 + 3 x y − 4 y;
2) x4 − 6 x2 y + 9 y2 − 16;
3) 125 x3 / 27 − m6 n9 / 64;
4) c2 − 2 c − b2 − 4 b − 3.

Решение:

1) 6 x3 − 8 x2 + 3 x y − 4 y = ( 6 x3 + 3 x y ) − ( 8 x2 + 4 y ) = 3 x ( 2 x2 + y ) − 4 ( 2 x2 + y ) = ( 2 x2 + y ) ( 3 x − 4 )

2) x4 − 6 x2 y + 9 y2 − 16 = ( x4 − 6 x2 y + 9 y2 ) − 4 2 = ( x2 − 3 y )2 − 4 2 = ( x2 − 3 y − 4 ) ( x2 − 3 y + 4 )

3) $\frac{125x^3}{27}-\frac{m^6n^9}{64}=(\frac{5x}3)^3-(\frac{m^2n^3}4)^3=(\frac{5x}3-\frac{m^2n^3}4)((\frac{5x}3)^2+\frac{5x}3\ast\frac{m^2n^3}4+(\frac{m^2n^3}4)^2)=(\frac{5x}3-\frac{m^2n^3}4)(\frac{25x^2}9+\frac{5xm^2n^3}{12}+\frac{m^4n^6}{16})$

4) c2 − 2 c − b2 − 4 b − 3 = c2 − 2 c − b2 − 4 b − 4 + 1 = ( c2 − 2 c + 1 ) − ( b2 + 4 b + 4 ) = ( c − 1 )2 − ( b + 2 )2 = ( c − 1 − b − 2 ) ( c − 1 + b + 2 ) = ( c − b − 3 ) ( c + b + 1 ).

Задание №1004

Какая из пар чисел (3;3), (−3;3), (−3;−3) является решением каждого из уравнений

x2 + y2 = 18 и x + y = 0?

Решение:

(3;3)
x2 + y2 = 18
32 + 32 = 18
9 + 9 = 18
18 = 18;
x + y = 0
3 + 3 = 0
6 ≠ 0, следовательно пара чисел (3;3) не является решением каждого из данных уравнений.
(−3;3)
x2 + y2 = 18
( − 32 ) + 32 = 18
9 + 9 = 18
18 = 18;
−3 + 3 = 0
0 = 0, следовательно пара чисел (−3;3) является решением каждого из данных уравнений.
(−3;−3)
x2 + y2 = 18
( − 3 )2 + ( − 3 )2 = 18
9 + 9 = 18
18 = 18;
x + y = 0
−3 − 3 = 0
−6 ≠ 0, следовательно пара чисел (−3;−3) не является решением каждого из данных уравнений.
Ответ: (−3;3)

Задание №1005

На рисунке 61 изображены графики уравнений y = x2 и x − y + 2 = 0. Пользуясь этим рисунком, найдите все пары чисел, являющиеся решениями каждого из данных уравнений.

Решение:

Данные графики пересекаются в двух точках (−1;1) и (2;4). Так как эти точки принадлежат каждому из графиков, то пары чисел (−1;1) и (2;4) являются решением данных уравнений.

Задание №1006

Сумма 100 разных натуральных чисел равна 5051. Найдите эти числа.

Решение:

Наименьшая сумма, которая состоит из ста разных натуральных слагаемых, равна 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = 5 050. Увеличение на 1 в левой части суммы любого слагаемого, кроме 100, влечёт необходимость увеличить по крайней мере ещё одно из слагаемых, потому что в противном случае в сумме найдутся равные слагаемые. В таком случае сумма будет не меньше 5 052. Таким образом, существует единственный набор, удовлетворяющий условию: 1, 2, 3, ..., 98, 99, 101.

Ответ: 1, 2, 3, ..., 99, 101.