ГДЗ к теме 6.10. Разложение многочлена на множители
Задание 450
Какие методы можно применять для разложения многочлена на множители?
Решение
Для разложения многочлена на множители можно использовать:
1) вынесение общего множителя за скобки;
2) применение формул сокращенного умножения;
3) способ группировки;
4) выделение полного квадрата;
5) применение разных способов разложения на множители.
Задание 451
Разложите двучлен на множители:
а) $x^2 + 2x$;
б) $4x^2 + 2$;
в) $4 - 8x^2$;
г) $4 + 6x^2$;
д) $15 + 3x$;
е) $14x^2 + 7x^4$;
ж) −3 + 12x;
з) $8x^2 + 4x^3$.
Решение
а) $x^2 + 2x = x(x + 2)$
б) $4x^2 + 2 = 2(2x^2 + 1)$
в) $4 - 8x^2 = 4(1 - 2x^2)$
г) $4 + 6x^2 = 2(2 + 3x^2)$
д) $15 + 3x = 3(5 + x)$
е) $14x^2 + 7x^4 = 7x^2(2 + x^2)$
ж) −3 + 12x = −3(1 − 4x)
з) $8x^2 + 4x^3 = 4x^2(2 + x)$
Задание 452
Верно ли выполнено разложение многочлена на множители:
а) $3x - 12x^2 = 3x(1 - 4x)$;
б) $8ab + 6a^2b^3 = 2ab(4 + 3ab^2)$;
в) $5m^3n^2 - 20mn^3 = 5mn^2(m^2 - 4n)$?
Решение
а) $3x - 12x^2 = 3x * 1 - 3x * 4x = 3x(1 - 4x)$ − верно
б) $8ab + 6a^2b^3 = 2ab * 4 + 2ab * 3ab^2 = 2ab(4 + 3ab^2)$ − верно
в) $5m^3n^2 - 20mn^3 = 5mn^2 * m^2 - 5mn^2 * 4n = 5mn^2(m^2 - 4n)$ − верно
Задание 453
Вынесите общий множитель многочлена за скобки:
а) ax + xb;
б) am − ank;
в) $x^2y + xy^2$;
г) $p^2q^3 - p^3q$;
д) $a^2bc + ab^2c + abc^2$;
е) $x^2y^2z^3 - xy^3z^2 + x^4y^3z^5$;
ж) $2mn^3 - 4m^2n - 6m^2n^3$;
з) $6p^4q^3 + 8p^2q^3 - 10p^3q^2$;
и) $a^2 - 4a^4 + 5a^5$;
к) $3x^2 - x^6 + 2x^8$.
Решение
а) ax + xb = x(a + b)
б) am − ank = a(m − nk)
в) $x^2y + xy^2 = xy(x + y)$
г) $p^2q^3 - p^3q = p^2q(q^2 - p)$
д) $a^2bc + ab^2c + abc^2 = abc(a + b + c)$
е) $x^2y^2z^3 - xy^3z^2 + x^4y^3z^5 = xy^2z^2(xz - y + x^3yz^3)$
ж) $2mn^3 - 4m^2n - 6m^2n^3 = 2mn(n^2 - 2m - 3mn^2)$
з) $6p^4q^3 + 8p^2q^3 - 10p^3q^2 = 2p^2q^2(3p^2q + 4q - 5p)$
и) $a^2 - 4a^4 + 5a^5 = a^2(1 - 4a^2 + 5a^3)$
к) $3x^2 - x^6 + 2x^8 = x^2(3 - x^4 + 2x^6)$
Задание 454
Вынесите общий множитель многочлена за скобки:
а) $-\frac{1}{2}m^3 + 2m^2 - m$;
б) $\frac{1}{3}pq^2 + \frac{1}{6}pq - p^2q$;
в) $\frac{1}{3}x^2y^3 + \frac{1}{4}x^3y^2 + \frac{1}{12}x^3y^3$;
г) $0,2a^5b^3 - 1,2a^3b^4 + 0,7ab^3$;
д) $-0,12mn - 1,02m^2 - 0,04m^2n$;
е) $\frac{1}{3}p^6q^7 + 0,5p^5q^8 + 1,1p^4q^9$.
Решение
а) $-\frac{1}{2}m^3 + 2m^2 - m = m(-\frac{1}{2}m^2 + 2m - 1)$
б) $\frac{1}{3}pq^2 + \frac{1}{6}pq - p^2q = pq(\frac{1}{3}q + \frac{1}{6} - p)$
в) $\frac{1}{3}x^2y^3 + \frac{1}{4}x^3y^2 + \frac{1}{12}x^3y^3 = x^2y^2(\frac{1}{3}y + \frac{1}{4}x + \frac{1}{12}xy)$
г) $0,2a^5b^3 - 1,2a^3b^4 + 0,7ab^3 = ab^3(0,2a^4 - 1,2a^2b + 0,7)$
д) $-0,12mn - 1,02m^2 - 0,04m^2n = -m(0,12n + 1,02m + 0,04mn)$
е) $\frac{1}{3}p^6q^7 + 0,5p^5q^8 + 1,1p^4q^9 = p^4q^7(\frac{1}{3}p^2 + 0,5pq + 1,1q^2)$
Задание 455
Разложите многочлен на множители:
а) $16a^2bc^3 - 12ac^3 + 28b^2c^2 - 8abc^5$;
б) $12x^2yz + 18xy^3z^2 - 27x^5z^6 - 24xy^4z^4$;
в) $0,25m^2n^2k - 0,45m^3nk^2 - 1,5mn^3k^2 - 0,05m^5n^3k$;
г) $1,42x^2y^4z^3 - 2\frac{1}{2}xy^3z^2 - 0,2x^3y^2z + 3\frac{1}{3}xy^3z^2$;
д) $\frac{1}{3}a^2bx^3 - 1\frac{1}{2}ab^2x^2 + 0,3a^2x^3 - 1,1a^5b^3x^4$.
Решение
а) $16a^2bc^3 - 12ac^3 + 28b^2c^2 - 8abc^5 = 4c^2(4a^2bc - 3ac + 7b^2 - 2abc^3)$
б) $12x^2yz + 18xy^3z^2 - 27x^5z^6 - 24xy^4z^4 = 3xz(4xy + 6y^3z - 9x^4z^5 - 8y^4z^3)$
в) $0,25m^2n^2k - 0,45m^3nk^2 - 1,5mn^3k^2 - 0,05m^5n^3k = 0,05mnk(5mn - 9m^2k - 30n^2k - m^4n^2)$
г) $1,42x^2y^4z^3 - 2\frac{1}{2}xy^3z^2 - 0,2x^3y^2z + 3\frac{1}{3}xy^3z^2 = xy^2z(1,42xy^2z^2 - 2\frac{1}{2}yz - 0,2x^2 + 3\frac{1}{3}yz)$
д) $\frac{1}{3}a^2bx^3 - 1\frac{1}{2}ab^2x^2 + 0,3a^2x^3 - 1,1a^5b^3x^4 = ax^2(\frac{1}{3}abx - 1\frac{1}{2}b^2 + 0,3ax - 1,1a^4b^3x^2)$
Задание 456
В многочлене $3a^3 - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{3}a - \frac{1}{6}$ вынесите за скобки указанный множитель:
а) $\frac{1}{6}$;
б) $\frac{1}{3}$;
в) $-\frac{1}{2}$;
г) −2.
Решение
а) $3a^3 - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{3}a - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}(18a^3 - 3a^2 + 2a - 1)$
б) $3a^3 - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{3}a - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}(9a^3 - 1\frac{1}{2}a^2 + a - \frac{1}{2})$
в) $3a^3 - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{3}a - \frac{1}{6} = -\frac{1}{2}(-6a^3 + a^2 - \frac{2}{3}a + \frac{1}{3})$
г) $3a^3 - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{3}a - \frac{1}{6} = -2(-1\frac{1}{2}a^3 + \frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{6}a + \frac{1}{12})$
Задание 457
Вместо букв C и D подберите одночлены так, чтобы выполнялось равенство:
а) $3a^2b - 9a^3b^5 = C(1 - 3ab^4)$;
б) $14m^3x^2 + 21m^5x^4 = C(2 + 3m^2x^2)$;
в) $6x^2y^3 - D = 3x^2y(C - 5x^4y^3)$;
г) $4m^3n^2 + C = D(2m^2 + 3n^4)$.
Решение
а) $3a^2b - 9a^3b^5 = C(1 - 3ab^4)$
$C = \frac{3a^2b}{1} = 3a^2b$
Ответ:
$3a^2b - 9a^3b^5 = 3a^2b(1 - 3ab^4)$
б) $14m^3x^2 + 21m^5x^4 = C(2 + 3m^2x^2)$
$C = \frac{14m^3x^2}{2} = 7m^3x^2$
Ответ:
$14m^3x^2 + 21m^5x^4 = 7m^3x^2(2 + 3m^2x^2)$
в) $6x^2y^3 - D = 3x^2y(C - 5x^4y^3)$
$C = \frac{6x^2y^3}{3x^2y} = 2y^2$
$D = 3x^2y * 5x^4y^3 = 15x^6y^4$
Ответ:
$6x^2y^3 - 15x^6y^4 = 3x^2y(2y^2 - 5x^4y^3)$
г) $4m^3n^2 + C = D(2m^2 + 3n^4)$
$D = \frac{4m^3n^2}{2m^2} = 2mn^2$
$C = 3n^4D = 3n^4 * 2mn^2 = 6mn^6$
Ответ:
$4m^3n^2 + 6mn^6 = 2mn^2(2m^2 + 3n^4)$
