Задание 476

Задача Софии Жермен. Докажите, что при любых натуральных a ≠ 1 каждое число вида $a^4 + 4$ является составным числом.

Решение

$a^4 + 4 = (a^4 + 4a^2 + 4) - 4a^2 = (a^2 + 2)^2 - (2a)^2 = (a^2 + 2 - 2a)(a^2 + 2 + 2a) = (a^2 - 2a + 2)(a^2 + 2a + 2)$ − является составным числом, так как имеет более двух делителей.

Задание 477

Разложите многочлен на множители:
а) $x^4 - 3x^2 + 2$;
б) $b^2c^2 - 4bc - b^2 - c^2 + 1$;
в) $y^2 - 10y + 25 - 4x^2$;
г) $(a + b)^3 - a^3 - b^3$;
д) $x^{16} - y^{16}$;
е) $x^4 - 3x^2 + 1$;
ж) $x^4 - 8x^2 + 4$;
з) $x^4 - 7x^2 + 1$;
и) $x^4 + 12x^2 + 64$;
к) $x^4 + x^2 - 2$.

Решение

а) $x^4 - 3x^2 + 2 = x^4 - x^2 - 2x^2 + 2 = (x^4 - x^2) - (2x^2 - 2) = x^2(x^2 - 1) - 2(x^2 - 1) = (x^2 - 1)(x^2 - 2) = (x - 1)(x + 1)(x^2 - 2)$

б) $b^2c^2 - 4bc - b^2 - c^2 + 1 = b^2c^2 - 2bc + 1 - b^2 - c^2 - 2bc = (b^2c^2 - 2bc + 1) - (b^2 + 2bc + c^2) = (bc - 1)^2 - (b + c)^2 = (bc - 1 - (b + c))(bc - 1 + b + c) = (bc - 1 - b - c)(bc - 1 + b + c)$

в) $y^2 - 10y + 25 - 4x^2 = (y^2 - 10y + 25) - 4x^2 = (y - 5)^2 - (2x)^2 = (y - 5 - 2x)(y - 5 + 2x)$

г) $(a + b)^3 - a^3 - b^3 = (a + b)^3 - (a^3 + b^3) = (a + b)(a + b)^2 - (a + b)(a^2 - ab + b^2) = (a + b)(a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + ab - b^2) = 3ab(a + b)$

д) $x^{16} - y^{16} = (x^8 - y^8)(x^8 + y^8) = (x^4 - y^4)(x^4 + y^4)(x^8 + y^8) = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)(x^8 + y^8) = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)(x^8 + y^8)$

е) $x^4 - 3x^2 + 1 = x^4 - 2x^2 - x^2 + 1 = (x^4 - 2x^2 + 1) - x^2 = (x^2 - 1)^2 - x^2 = (x^2 - 1 - x)(x^2 - 1 + x)$

ж) $x^4 - 8x^2 + 4 = (x^4 - 4x^2 + 4) - 4x^2 = (x^2 - 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 - 2 - 2x)(x^2 - 2 + 2x)$

з) $x^4 - 7x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - 9x^2 = (x^2 + 1)^2 - (3x)^2 = (x^2 + 1 - 3x)(x^2 + 1 + 3x)$

и) $x^4 + 12x^2 + 64 = (x^4 + 16x^2 + 64) - 4x^2 = (x^2 + 8)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 8 - 2x)(x^2 + 8 + 2x)$

к) $x^4 + x^2 - 2 = (x^4 - 2x^2 + 1) + (3x^2 - 3) = (x^2 - 1)^2 + 3(x^2 - 1) = (x^2 - 1)(x^2 - 1 + 3) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 2)$

Задание 478

Разложите многочлен на множители:
а) $x^2 - y^2 - 10x - 12y - 11$;
б) $x^2 - y^2 + 8x + 10y - 9$;
в) $4x^2 - y^2 - 4x - 6y - 8$;
г) $x^2 - 4y^2 + 10x + 4y + 24$.

Решение

а) $x^2 - y^2 - 10x - 12y - 11 = (x^2 - 10x + 25) - (y^2 + 12y + 36) = (x - 5)^2 - (y + 6)^2 = (x - 5 - (y + 6))(x - 5 + y + 6) = (x - 5 - y - 6)(x + y + 1) = (x - y - 11)(x + y + 1)$

б) $x^2 - y^2 + 8x + 10y - 9 = (x^2 + 8x + 16) - (y^2 - 10y + 25) = (x + 4)^2 - (y - 5)^2 = (x + 4 - (y - 5))(x + 4 + y - 5) = (x + 4 - y + 5)(x + y - 1) = (x - y + 9)(x + y - 1)$

в) $4x^2 - y^2 - 4x - 6y - 8 = (4x^2 - 4x + 1) - (y^2 + 6y + 9) = (2x - 1)^2 - (y + 3)^2 = (2x - 1 - (y + 3))(2x - 1 + y + 3) = (2x - 1 - y - 3)(2x + y + 2) = (2x - y - 4)(2x + y + 2)$

г) $x^2 - 4y^2 + 10x + 4y + 24 = (x^2 + 10x + 25) - (4y^2 - 4y + 1) = (x + 5)^2 - (2y - 1)^2 = (x + 5 - (2y - 1))(x + 5 + 2y - 1) = (x + 5 - 2y + 1)(x + 2y + 4) = (x - 2y + 6)(x + 2y + 4)$

Задание 479

Разложите многочлен на множители:
а) $9x - 6x^2 + x^3$;
б) $36x + 12x^2 + x^3$;
в) $25x - 10x^2 + x^3$;
г) $x^2 - 12x + 35$;
д) $x^2 - 6x + 8$;
е) $x^2 - 11x + 10$;
ж) $x^8 + 3x^4 + 4$;
з) $x^8 - 5x^4 + 4$;
и) $x^8 + x^4 + 1$;
к) $x^3 - 3x^2 + 3x + 7$;
л) $x^3 + 3x^2 + 3x - 26$;
м) $x^3 + 3x^2 + 3x - 7$.

Решение

а) $9x - 6x^2 + x^3 = x(x^2 - 6x + 9) = x(x - 3)^2$

б) $36x + 12x^2 + x^3 = x(36 + 12x + x^2) = x(x + 6)^2$

в) $25x - 10x^2 + x^3 = x(25 - 10x + x^2) = x(x - 5)^2$

г) $x^2 - 12x + 35 = (x^2 - 12x + 36) - 1 = (x - 6)^2 - 1^2 = (x - 6 - 1)(x - 6 + 1) = (x - 7)(x - 5)$

д) $x^2 - 6x + 8 = (x^2 - 6x + 9) - 1 = (x - 3)^2 - 1^2 = (x - 3 - 1)(x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2)$

е) $x^2 - 11x + 10 = x^2 - x - 10x + 10 = (x^2 - x) - (10x - 10) = x(x - 1) - 10(x - 1) = (x - 1)(x - 10)$

ж) $x^8 + 3x^4 + 4 = (x^8 + 4x^4 + 4) - x^4 = (x^4 + 2)^2 - (x^2)^2 = (x^4 + 2 - x^2)(x^4 + 2 + x^2)$

з) $x^8 - 5x^4 + 4 = x^8 - x^4 - 4x^4 + 4 = (x^8 - x^4) - (4x^4 - 4) = x^4(x^4 - 1) - 4(x^4 - 1) = (x^4 - 1)(x^4 - 4) = (x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^2 - 2)(x^2 + 2) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^2 - 2)(x^2 + 2)$

и) $x^8 + x^4 + 1 = (x^8 + 2x^4 + 1) - x^4 = (x^4 + 1)^2 - (x^2)^2 = (x^4 + 1 - x^2)(x^4 + 1 + x^2)$

к) $x^3 - 3x^2 + 3x + 7 = (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + 8 = (x - 1)^3 + 2^3 = (x - 1 + 2)((x - 1)^2 - 2(x - 1) + 2^2) = (x + 1)(x^2 - 2x + 1 - 2x + 2 + 4) = (x + 1)(x^2 - 4x + 7)$

л) $x^3 + 3x^2 + 3x - 26 = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - 27 = (x + 1)^3 - 3^3 = (x + 1 - 3)((x + 1)^2 + 3(x + 1) + 9) = (x - 2)(x^2 + 2x + 1 + 3x + 3 + 9) = (x - 2)(x^2 + 5x + 13)$

м) $x^3 + 3x^2 + 3x - 7 = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - 8 = (x + 1)^3 - 2^3 = (x + 1 - 2)((x + 1)^2 + 2(x + 1) + 2^2) = (x - 1)(x^2 + 2x + 1 + 2x + 2 + 4) = (x - 1)(x^2 + 4x + 7)$

Рейтинг: 5 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активна
 

© Копирование допустимо только с прямой активной ссылкой на страницу с оригиналом статьи.
При любых заболеваниях не занимайтесь диагностикой и лечением самостоятельно, необходимо обязательно обратиться к врачу - специалисту.
Изображения обложек учебной литературы приведены на страницах сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса РФ)