Задание 493

Сократите дробь:
а) $\frac{a^2 - b^2}{a + b}$;
б) $\frac{x - 1}{x^2 - 1}$;
в) $\frac{m^2 - n^2}{2m + 2n}$;
г) $\frac{xm + xn}{m^2 - n^2}$;
д) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}$;
е) $\frac{a^2 - b^2}{b^2 + 2ab + a^2}$;
ж) $\frac{n^2 - m^2}{(n - m)^2}$;
з) $\frac{p - p^2}{p^2 - 1}$;
и) $\frac{x + x^2}{x^3 - x}$;
к) $\frac{a^3 - 2a^2}{4 - a^2}$.

Решение

а) $\frac{a^2 - b^2}{a + b} = \frac{(a - b)(a + b)}{a + b} = a - b$

б) $\frac{x - 1}{x^2 - 1} = \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$

в) $\frac{m^2 - n^2}{2m + 2n} = \frac{(m - n)(m + n)}{2(m + n)} = \frac{m - n}{2}$

г) $\frac{xm + xn}{m^2 - n^2} = \frac{x(m + n)}{(m - n)(m + n)} = \frac{x}{m - n}$

д) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} = \frac{(x - 1)^2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1}$

е) $\frac{a^2 - b^2}{b^2 + 2ab + a^2} = \frac{(a - b)(a + b)}{(a + b)^2} = \frac{a - b}{a + b}$

ж) $\frac{n^2 - m^2}{(n - m)^2} = \frac{(n - m)(n + m)}{(n - m)^2} = \frac{n + m}{n - m}$

з) $\frac{p - p^2}{p^2 - 1} = \frac{p(1 - p)}{(p - 1)(p + 1)} = -\frac{p(p - 1)}{(p - 1)(p + 1)} = -\frac{p}{p + 1}$

и) $\frac{x + x^2}{x^3 - x} = \frac{x(1 + x)}{x(x^2 - 1)} = \frac{x(x + 1)}{x(x - 1)(x + 1)} = \frac{x}{x - 1}$

к) $\frac{a^3 - 2a^2}{4 - a^2} = \frac{a^2(a - 2)}{(2 - a)(2 + a)} = -\frac{a^2(a - 2)}{(a - 2)(a + 2)} = -\frac{a^2}{a + 2}$

Задание 494

Сократите дробь:
а) $\frac{3m - 3n}{m^3 - n^3}$;
б) $\frac{1 - a^3}{1 + a + a^2}$;
в) $\frac{x^3 - y^3}{x^2 - y^2}$;
г) $\frac{2p^2 - 2p + 2}{p^3 + 1}$;
д) $\frac{a^2 - 4a + 4}{a^2 - 4}$;
е) $\frac{3x^2 + 6xy + 3y^2}{12y^2 - 12x^2}$;
ж) $\frac{m^2 - n^2}{n^3 - m^3}$;
з) $\frac{2p^3 - 2q^3}{4q^2 - 4p^2}$;
и) $\frac{6a^2 - 6b^2}{3a^3 + 3b^3}$;
к) $\frac{(x^3 - y^3)(x + y)}{x^2 - y^2}$.

Решение

а) $\frac{3m - 3n}{m^3 - n^3} = \frac{3(m - n)}{(m - n)(m^2 + mn + n^3)} = \frac{3}{m^2 + mn + n^2}$

б) $\frac{1 - a^3}{1 + a + a^2} = \frac{(1 - a)(1 + a + a^2)}{1 + a + a^2} = 1 - a$

в) $\frac{x^3 - y^3}{x^2 - y^2} = \frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{(x - y)(x + y)} = \frac{x^2 + xy + y^2}{x + y}$

г) $\frac{2p^2 - 2p + 2}{p^3 + 1} = \frac{2(p^2 - p + 1)}{(p + 1)(p^2 - p + 1)} = \frac{2}{p + 1}$

д) $\frac{a^2 - 4a + 4}{a^2 - 4} = \frac{(a - 2)^2}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{a - 2}{a + 2}$

е) $\frac{3x^2 + 6xy + 3y^2}{12y^2 - 12x^2} = \frac{3(x^2 + 2xy + y^2)}{12(y^2 - x^2)} = \frac{3(x + y)^2}{12(y - x)(y + x)} = \frac{x + y}{4(y - x)}$

ж) $\frac{m^2 - n^2}{n^3 - m^3} = \frac{(m - n)(m + n)}{(n - m)(n^2 + nm + m^2)} = -\frac{(m - n)(m + n)}{(m - n)(n^2 + nm + m^2)} = -\frac{m + n}{m^2 + mn + n^2}$

з) $\frac{2p^3 - 2q^3}{4q^2 - 4p^2} = \frac{2(p^3 - q^3)}{4(q^2 - p^2)} = \frac{2(p - q)(p^2 + pq + q^2)}{4(q - p)(q + p)} = -\frac{2(p - q)(p^2 + pq + q^2)}{4(p - q)(q + p)} = -\frac{p^2 + pq + q^2}{2(p + q)}$

и) $\frac{6a^2 - 6b^2}{3a^3 + 3b^3} = \frac{6(a^2 - b^2)}{3(a^3 + b^3)} = \frac{2(a - b)(a + b)}{3(a + b)(a^2 - ab + b^2)} = \frac{2(a - b)}{a^2 - ab + b^2}$

к) $\frac{(x^3 - y^3)(x + y)}{x^2 - y^2} = \frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)(x + y)}{(x - y)(x + y)} = x^2 + xy + y^2$

Задание 495

Составьте дробь, которая сокращалась бы на:
а) 2;
б) 3ab;
в) a + 5;
г) −7m;
д) a(x − 2y);
е) $p^2 - q^2$.

Решение

а) $\frac{2xy}{4}$

б) $\frac{33a^2b^2}{6ab}$

в) $\frac{a^2 - 25}{a + 5}$

г) $\frac{-21m^2n}{-14m}$

д) $\frac{ax - 2ay}{a(x^2 - 4y^2)}$

е) $\frac{p^2 - q^2}{p^4 - q^4}$

Рейтинг: 5 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активна
 

© Копирование допустимо только с прямой активной ссылкой на страницу с оригиналом статьи.
При любых заболеваниях не занимайтесь диагностикой и лечением самостоятельно, необходимо обязательно обратиться к врачу - специалисту.
Изображения обложек учебной литературы приведены на страницах сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса РФ)