Задание 467
Придумайте примеры на применение формул сокращенного умножения при вычислениях.
Решение
1) $96 * 104 = (100 - 4)(100 + 4) = 100^2 - 4^2 = 10000 - 16 = 9984$;
2) $11^2 + 22 * 19 + 19^2 = 11^2 + 2 * 11 * 19 + 19^2 = (11 + 19)^2 = 30^2 = 900$.
Задание 468
Преобразуйте данное целое выражение в произведение многочленов:
а) (2m + n)(6m + 2n) − (m − 3n)(8n + 16m);
б) (x − 1)(4x − 6y) + (x + 1)(18y − 12x);
в) (2a + 1)(5a − 15) + (30 − 10a)(a − 2);
г) $2a(a + 2)^2 - 3b(a + 2)$;
д) $(x - 2)^2(x - 3) + (x - 2)(x - 3)^2$;
е) $3m(m + 2n) - 2n(m + 2n)^2$;
ж) $(p + 3q)^2(p - q) - (p + 3q)(p - q)^2$.
Решение
а) (2m + n)(6m + 2n) − (m − 3n)(8n + 16m) = 2(2m + n)(3m + n) − 8(m − 3n)(n + 2m) = 2(2m + n)(3m + n) − 8(m − 3n)(2m + n) = 2(2m + n)(3m + n − 4(m − 3n)) = 2(2m + n)(3m + n − 4m + 12n) = 2(2m + n)(13n − m)
б) (x − 1)(4x − 6y) + (x + 1)(18y − 12x) = 2(x − 1)(2x − 3y) + 6(x + 1)(3y − 2x) = 2(x − 1)(2x − 3y) − 6(x + 1)(2x − 3y) = 2(2x − 3y)(x − 1 − 3(x + 1)) = 2(2x − 3y)(x − 1 − 3x − 3) = 2(2x − 3y)(−2x − 4) = −4(2x − 3y)(x + 2)
в) (2a + 1)(5a − 15) + (30 − 10a)(a − 2) = 5(2a + 1)(a − 3) + 10(3 − a)(a − 2) = 5(2a + 1)(a − 3) − 10(a − 3)(a − 2) = 5(a − 3)(2a + 1 − 2(a − 2)) = 5(a − 3)(2a + 1 − 2a + 4) = 5(a − 3) * 5 = 25(a − 3)
г) $2a(a + 2)^2 - 3b(a + 2) = (a + 2)(2a(a + 2) - 3b) = (a + 2)(2a^2 + 4a - 3b) = (a + 2)(2a^2 + 4a - 3b)$
д) $(x - 2)^2(x - 3) + (x - 2)(x - 3)^2 = (x - 2)(x - 3)(x - 2 + x - 3) = (x - 2)(x - 3)(2x - 5)$
е) $3m(m + 2n) - 2n(m + 2n)^2 = (m + 2n)(3m - 2n(m + 2n)) = (m + 2n)(3m - 2mn - 4n^2)$
ж) $(p + 3q)^2(p - q) - (p + 3q)(p - q)^2 = (p + 3q)(p - q)(p + 3q - (p - q)) = (p + 3q)(p - q)(p + 3q - p + q) = (p + 3q)(p - q)4q = 4q(p + 3q)(p - q)$
Задание 469
Разложите выражение на множители, используя формулы сокращенного умножения:
а) $(a + b)^2 - c^2$;
б) $(a - b)^2 - c^2$;
в) $(x - y)^2 - (x + y)^2$;
г) $(a + b)^2 - (x + y)^2$;
д) $(2x - y)^2 - (3x - 2y)^2$;
е) $(m^2 - 4n)^2 - (m^2 - 2n)^2$;
ж) $(a + b)^2 + 2(a + b) + 1$;
з) $(x - 2y)^2 + 4(x - 2y) + 4$;
и) $9a^2 - 6a(a + 1) + (a + 1)^2$;
к) $16m^2 - 8m(3 - m) + (3 - m)^2$.
Решение
а) $(a + b)^2 - c^2 = (a + b - c)(a + b + c)$
б) $(a - b)^2 - c^2 = (a - b - c)(a - b + c)$
в) $(x - y)^2 - (x + y)^2 = (x - y - (x + y))(x - y + x + y) = (x - y - x - y)(x - y + x + y) = -2y * 2x = -4xy$
г) $(a + b)^2 - (x + y)^2 = (a + b - (x + y))(a + b + x + y) = (a + b - x - y)(a + b + x + y)$
д) $(2x - y)^2 - (3x - 2y)^2 = (2x - y - (3x - 2y))(2x - y + 3x - 2y) = (2x - y - 3x + 2y)(5x - 3y) = (y - x)(5x - 3y)$
е) $(m^2 - 4n)^2 - (m^2 - 2n)^2 = (m^2 - 4n - (m^2 - 2n))(m^2 - 4n + m^2 - 2n) = (m^2 - 4n - m^2 + 2n)(2m^2 - 6n) = -4n(m^2 - 3n)$
ж) $(a + b)^2 + 2(a + b) + 1 = (a + b + 1)^2$
з) $(x - 2y)^2 + 4(x - 2y) + 4 = (x - 2y + 2)^2$
и) $9a^2 - 6a(a + 1) + (a + 1)^2 = (3a - (a + 1))^2 = (3a - a - 1)^2 = (2a - 1)^2$
к) $16m^2 - 8m(3 - m) + (3 - m)^2 = (4m - (3 - m))^2 = (4m - 3 + m)^2 = (5m - 3)^2$
Задание 470
Представьте целое выражение в виде произведения многочленов:
а) 2a + 2b + ax + bx;
б) ax − ay + 3x − 3y;
в) $m^2 - mn + am - an$;
г) 5a + 5b − ax − bx;
д) ax − ya + x − y;
е) $m^2 - mn - 2n + 2m$;
ж) $a^3 + 5a^2 + 5a + 25$;
з) $x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 9x$.
Решение
а) 2a + 2b + ax + bx = (2a + 2b) + (ax + bx) = 2(a + b) + x(a + b) = (a + b)(2 + x)
б) ax − ay + 3x − 3y = (ax − ay) + (3x − 3y) = a(x − y) + 3(x − y) = (x − y)(a + 3)
в) $m^2 - mn + am - an = (m^2 - mn) + (am - an) = m(m - n) + a(m - n) = (m - n)(m + a)$
г) 5a + 5b − ax − bx = (5a + 5b) − (ax + bx) = 5(a + b) − x(a + b) = (a + b)(5 − x)
д) ax − ya + x − y = (ax − ya) + (x − y) = a(x − y) + (x − y) = (x − y)(a + 1)
е) $m^2 - mn - 2n + 2m = (m^2 - mn) - (2n - 2m) = m(m - n) + 2(m - n) = (m - n)(m + 2)$
ж) $a^3 + 5a^2 + 5a + 25 = (a^3 + 5a^2) + (5a + 25) = a^2(a + 5) + 5(a + 5) = (a + 5)(a^2 + 5)$
з) $x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 9x = (x^4 - 3x^3) + (3x^2 - 9x) = x^3(x - 3) + 3x(x - 3) = (x - 3)(x^3 + 3x) = x(x - 3)(x^2 + 3)$
Задание 471
Представьте целое выражение в виде произведения многочленов:
а) 86x − 43y + 2ax − ay;
б) 10by − 25bx − 6ay + 15ax;
в) $x^2 + xy - xz - yz$;
г) $m^4 + 2 - m - 2m^3$;
д) $5a^2 - 5ab + 5b^2 - 5ab$;
е) $y - y^2 - y^3 + y^4$;
ж) $b^3 + b^2c - b^2d - bcd$;
з) $x^2y - z^2x + y^2x - yz^2$.
Решение
а) 86x − 43y + 2ax − ay = (86x − 43y) + (2ax − ay) = 43(2x − y) + a(2x − y) = (2x − y)(43 + a)
б) 10by − 25bx − 6ay + 15ax = (10by − 25bx) − (6ay − 15ax) = 5b(2y − 5x) − 3a(2y − 5x) = (2y − 5x)(5b − 3a)
в) $x^2 + xy - xz - yz = (x^2 + xy) - (xz + yz) = x(x + y) - z(x + y) = (x + y)(x - z)$
г) $m^4 + 2 - m - 2m^3 = (m^4 - 2m^3) + (2 - m) = m^3(m - 2) - (m - 2) = (m - 2)(m^3 - 1) = (m - 2)(m - 1)(m^2 + m + 1)$
д) $5a^2 - 5ab + 5b^2 - 5ab = (5a^2 - 5ab) + (5b^2 - 5ab) = 5a(a - b) + 5b(b - a) = 5a(a - b) - 5b(a - b) = (a - b)(5a - 5b) = 5(a - b)(a - b) = 5(a - b)^2$
е) $y - y^2 - y^3 + y^4 = (y - y^2) - (y^3 - y^4) = y(1 - y) - y^3(1 - y) = (1 - y)(y - y^3) = y(1 - y)(1 - y^2) = y(1 - y)(1 - y)(1 + y) = y(1 - y)^2(1 + y)$
ж) $b^3 + b^2c - b^2d - bcd = (b^3 + b^2c) - (b^2d + bcd) = b^2(b + c) - bd(b + c) = (b + c)(b^2 - bd) = b(b + c)(b - d)$
з) $x^2y - z^2x + y^2x - yz^2 = (x^2y + y^2x) - (z^2x + yz^2) = xy(x + y) - z^2(x + y) = (x + y)(xy - z^2)$
Задание 472
Разложите многочлен на множители, предварительно представив один из его членов в виде суммы:
а) $x^2 - 3x + 2$;
б) $a^2 - 5a + 4$;
в) $a^2 - 6a + 5$;
г) $x^2 - 3x - 4$;
д) $m^2 - 3mn + 2n^2$;
е) $m^2 - 7mn + 6n^2$.
Решение
а) $x^2 - 3x + 2 = x^2 - x - 2x + 2 = x(x - 1) - 2(x - 1) = (x - 1)(x - 2)$
б) $a^2 - 5a + 4 = a^2 - a - 4a + 4 = (a^2 - a) - (4a - 4) = a(a - 1) - 4(a - 1) = (a - 1)(a - 4)$
в) $a^2 - 6a + 5 = a^2 - a - 5a + 5 = (a^2 - a) - (5a - 5) = a(a - 1) - 5(a - 1) = (a - 1)(a - 5)$
г) $x^2 - 3x - 4 = x^2 + x - 4x - 4 = (x^2 + x) - (4x + 4) = x(x + 1) - 4(x + 1) = (x + 1)(x - 4)$
д) $m^2 - 3mn + 2n^2 = m^2 - mn - 2mn + 2n^2 = m(m - n) - 2n(m - n) = (m - n)(m - 2n)$
е) $m^2 - 7mn + 6n^2 = m^2 - mn - 6mn + 6n^2 = m(m - n) - 6n(m - n) = (m - n)(m - 6n)$
Задание 473
Разложите многочлен на множители, предварительно выделив полный квадрат:
а) $a^2 + 8a + 15$;
б) $x^4 + 4b^4$;
в) $x^2 - 2xy - 3y^2$;
г) $m^2 + 7m + 10$;
д) $p^2 - 5p + 6$;
е) $3m^2 + 27m + 54$;
ж) $x^2 + x - 12$;
з) $a^2 + 6a + 8$;
и) $x^2 - x - 12$.
Решение
а) $a^2 + 8a + 15 = (a^2 + 8a + 16) - 1 = (a + 4)^2 - 1 = (a + 4 - 1)(a + 4 + 1) = (a + 3)(a + 5)$
б) $x^4 + 4b^4 = (x^4 + 4x^2b^2 + 4b^4) - 4x^2b^2 = (x^2 + 2b^2)^2 - 4x^2b^2 = x^2 + 2b^2)^2 - (2xb)^2 = (x^2 + 2b^2 - 2xb)(x^2 + 2b^2 + 2xb)$
в) $x^2 - 2xy - 3y^2 = (x^2 - 2xy + y^2) - 4y^2 = (x - y)^2 - 4y^2 = (x - y)^2 - (2y)^2 = (x - y - 2y)(x - y + 2y) = (x - 3y)(x + y)$
г) $m^2 + 7m + 10 = (m^2 + 4m + 4) + 3m + 6 = (m + 2)^2 + 3(m + 2) = (m + 2)(m + 2 + 3) = (m + 2)(m + 5)$
д) $p^2 - 5p + 6 = (p^2 - 4p + 4) - p + 2 = (p - 2)^2 - (p - 2) = (p - 2)(p - 2 - 1) = (p - 2)(p - 3)$
е) $3m^2 + 27m + 54 = 3(m^2 + 9m + 18) = 3((m^2 + 6m + 9) + 3m + 9) = 3((m + 3)^2 + 3(m + 3)) = 3(m + 3)(m + 3 + 3) = 3(m + 3)(m + 6)$
ж) $x^2 + x - 12 = (x^2 + x + 0,25) - 12,25 = (x + 0,5)^2 - 3,5^2 = (x + 0,5 - 3,5)(x + 0,5 + 3,5) = (x - 3)(x + 4)$
з) $a^2 + 6a + 8 = (a^2 + 6a + 9) - 1 = (a + 3)^2 - 1^2 = (a + 3 - 1)(a + 3 + 1) = (a + 2)(a + 4)$
и) $x^2 - x - 12 = (x^2 - x + 0,25) - 12,25 = (x - 0,5)^2 - 3,5^2 = (x - 0,5 - 3,5)(x - 0,5 + 3,5) = (x - 4)(x + 3)$
Задание 474
Верно ли выполнено разложение многочлена на множители:
а) $a^3 - 8 + 6a^2 - 12a = (a^2 + 8a + 4)(a - 2)$;
б) $x^2 + 2xy + y^2 - xc - yc = (x + y - c)(x + y)$?
Решение
а) $a^3 - 8 + 6a^2 - 12a = (a^3 - 8) + (6a^2 - 12a) = (a - 2)(a^2 + 2a + 4) + 6a(a - 2) = (a^2 + 2a + 4 + 6a)(a - 2) = (a^2 + 8a + 4)(a - 2)$ − верно
б) $x^2 + 2xy + y^2 - xc - yc = (x^2 + 2xy + y^2) - (xc + yc) = (x + y)^2 - c(x + y) = (x + y - c)(x + y)$ − верно
Задание 475
Разложите на множители многочлен:
а) ab + cb + ad + cd;
б) $a^2 - 2ab + b^2 - c^2$;
в) $a^4 - 16b^4$;
г) $a^2 + 2ab + ac + b^2 + bc$;
д) $9y^2 - 6y + 1 - x^2$;
е) $x^4 + 4x^2 - y^2 + 6y - 5$.
Решение
а) ab + cb + ad + cd = (ab + cb) + (ad + cd) = b(a + c) + d(a + c) = (a + c)(b + d)
б) $a^2 - 2ab + b^2 - c^2 = (a^2 - 2ab + b^2) - c^2 = (a - b)^2 - c^2 = (a - b - c)(a - b + c)$
в) $a^4 - 16b^4 = (a^2)^2 - (4b^2)^2 = (a^2 - 4b^2)(a^2 + 4b^2) = (a - 2b)(a + 2b)(a^2 + 4b^2)$
г) $a^2 + 2ab + ac + b^2 + bc = (a^2 + 2ab + b^2) + (ac + bc) = (a + b)^2 + c(a + b) = (a + b)(a + b + c)$
д) $9y^2 - 6y + 1 - x^2 = (9y^2 - 6y + 1) - x^2 = (3y - 1)^2 - x^2 = (3y - 1 - x)(3y - 1 + x)$
е) $x^4 + 4x^2 - y^2 + 6y - 5 = (x^4 + 4x^2 + 4) - (y^2 - 6y + 9) = (x^2 + 2)^2 - (y - 3)^2 = (x^2 + 2 - y + 3)(x^2 + 2 + y - 3) = (x^2 - y + 5)(x^2 + y - 1)$
