Задание 480
а) Что называют алгебраической дробью? числителем, знаменателем алгебраической дроби? Приведите примеры.
б) Сформулируйте свойства алгебраической дроби.
Решение
а) Алгебраической дробью называют выражение $\frac{A}{B}$ − частное многочлена A и ненулевого многочлена B. Многочлен A называют числителем алгебраической дроби, а многочлен B − ее знаменателем.
Например:
$\frac{a + 1}{b + 3}$;
$\frac{2x - 3}{5y + 2}$.
в) 1) $\frac{A}{1} = A$;
2) $\frac{A}{B} = \frac{A * C}{B * C}$ для ненулевого многочлена C;
3) $-\frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = \frac{A}{-B}$.
Задание 481
Является ли данное выражение алгебраической дробью:
а) 7a;
б) x + y;
в) $\frac{x - 2ab}{x^2 + y^2}$;
г) $\frac{x}{3a} - 7xy$?
Решение
а) $7a = \frac{7a}{1}$ − является алгебраической дробью
б) $x + y = \frac{x + y}{1}$ − является алгебраической дробью
в) $\frac{x - 2ab}{x^2 + y^2}$ − является алгебраической дробью
г) $\frac{x}{3a} - 7xy$ − не является алгебраической дробью
Задание 482
Запишите три алгебраические дроби, используя данные выражения:
а) $xy, (a - b), 3mn^2$;
б) $m^2 - n^2, -ab, 4(x^2 - y)$.
Решение
а) $\frac{xy}{a - b}$;
$\frac{a - b}{3mn^2}$;
$\frac{3mn^2}{xy}$.
б) $\frac{m^2 - n^2}{4(x^2 - y)}$;
$\frac{-ab}{m^2 - n^2}$;
$\frac{4(x^2 - y)}{-ab}$.
Задание 483
Запишите алгебраическую дробь в виде многочлена, применив свойства алгебраических дробей:
а) $\frac{x - 1}{1}$;
б) $\frac{3x + y}{1}$;
в) $\frac{x^2 + 3xy - y^2}{1}$;
г) $\frac{x^2 - 2xy + y^2}{1}$;
д) $\frac{(x - y)6x}{3x}$;
е) $\frac{15(x + y)}{5}$;
ж) $\frac{x^2 + 2xy + y^2}{x + y}$;
з) $\frac{x^2 - 4xy + 4y^2}{x - 2y}$.
Решение
а) $\frac{x - 1}{1} = x - 1$
б) $\frac{3x + y}{1} = 3x + y$
в) $\frac{x^2 + 3xy - y^2}{1} = x^2 + 3xy - y^2$
г) $\frac{x^2 - 2xy + y^2}{1} = x^2 - 2xy + y^2$
д) $\frac{(x - y)6x}{3x} = 2(x - y) = 2x - 2y$
е) $\frac{15(x + y)}{5} = 3(x + y) = 3x + 3y$
ж
$\frac{x^2 + 2xy + y^2}{x + y} = \frac{(x + y)^2}{x + y} = x + y$
з) $\frac{x^2 - 4xy + 4y^2}{x - 2y} = \frac{(x - 2y)^2}{x - 2y} = x - 2y$
Задание 484
Преобразуйте дробь так, чтобы знак, стоящий перед дробью, изменился на противоположный:
а) $\frac{1 - a}{a}$;
б) $-\frac{x}{x - 3}$;
в) $\frac{x - y}{x + y}$;
г) $-\frac{a^2 + 1}{a - 2}$;
д) $\frac{a + b}{a^2 + b^2}$;
е) $-\frac{1}{2x + 3y}$;
ж) $\frac{-a - b}{x + y}$;
з) $-\frac{-x - y}{-a - b}$.
Решение
а) $\frac{1 - a}{a} = \frac{-(a - 1)}{a} = -\frac{a - 1}{a}$
б) $-\frac{x}{x - 3} = \frac{x}{-(3 - x)} = -\frac{x}{3 - x}$
в) $\frac{x - y}{x + y} = \frac{-(y - x)}{x + y} = -\frac{y - x}{x + y}$
г) $-\frac{a^2 + 1}{a - 2} = -\frac{a^2 + 1}{-(2 - a)} = \frac{a^2 + 1}{2 - a}$
д) $\frac{a + b}{a^2 + b^2} = \frac{-(-a - b)}{a^2 + b^2} = -\frac{-a - b}{a^2 + b^2}$
е) $-\frac{1}{2x + 3y} = \frac{-1}{2x + 3y}$
ж) $\frac{-a - b}{x + y} = \frac{-(a + b)}{x + y} = -\frac{a + b}{x + y}$
з) $-\frac{-x - y}{-a - b} = -\frac{-(x + y)}{-a - b} = \frac{x + y}{-a - b}$
