Задание 448

Задача Пифагора. Докажите, что всякое нечетное натуральное число, кроме 1, есть разность квадратов двух последовательных натуральных чисел.

Решение

Пусть n − первое натуральное число, тогда:
n + 1 − второе натуральное число.
Найдем разность квадратов данных чисел:
$(n + 1)^2 - n^2 = (n + 1 - n)(n + 1 + n) = 2n + 1$ − нечетное натуральное число, не равное 1.
Утверждение доказано.

Задание 449

Задача Диофанта. Докажите, что произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма двух квадратов, само представляется двумя способами в виде суммы двух квадратов:
$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (bc - ad)^2$;
$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (bc + ad)^2$.

Решение

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (bc - ad)^2$
Преобразуем левую часть равенства:
$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2c^2 + b^2c^2 + a^2d^2 + b^2d^2$
Преобразуем правую часть равенства:
$(ac + bd)^2 + (bc - ad)^2 = a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 + b^2c^2 - 2abcd + a^2d^2 = a^2c^2 + b^2c^2 + a^2d^2 + b^2d^2$
Утверждение доказано.

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (bc + ad)^2$
Преобразуем левую часть равенства:
$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2c^2 + b^2c^2 + a^2d^2 + b^2d^2$
Преобразуем правую часть равенства:
$(ac - bd)^2 + (bc + ad)^2 = a^2c^2 - 2abcd + b^2d^2 + b^2c^2 + 2abcd + a^2d^2 = a^2c^2 + b^2c^2 + a^2d^2 + b^2d^2$
Утверждение доказано.

Рейтинг: 5 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активна
 

© Копирование допустимо только с прямой активной ссылкой на страницу с оригиналом статьи.
При любых заболеваниях не занимайтесь диагностикой и лечением самостоятельно, необходимо обязательно обратиться к врачу - специалисту.
Изображения обложек учебной литературы приведены на страницах сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса РФ)