Задание 396. а) Сколько в октябре воскресений, если 1 октября − понедельник? В если 1 октября − пятница? Сколько в том и другом случае в октябре понедельников?
б) До каникул осталось 26 дней. Сколько воскресений может оказаться в этих днях?
Решение
а) В октябре 31 день.
31 : 7 = 4 (ост.3), значит 4 недели и 3 дня длится октябрь.
Если 1 октября − понедельник, то 4 недели заканчиваются в воскресенье. Прибавляем еще 3 дня: понедельник, вторник, среда. Значит в октябре будет 4 воскресенье и 5 понедельников.
Если 1 октября − пятница, то 4 недели заканчиваются в четверг. Прибавляем еще 3 дня: пятница, суббота, воскресенье. Значит в октябре будет 5 воскресений и 4 понедельника.
Ответ: 4 воскресенья и 5 понедельников; 5 воскресений и 4 понедельника
б) 1 неделя = 7 дней
26 : 7 = 3 (ост.5), значит в этих днях будет 4 воскресенья, если эти 26 дней начинаются со среды по воскресенье, или 3 воскресенья, если эти 26 дней начинаются в понедельник, либо во вторник.
Ответ: 3 или 4 воскресенья.
Задание 397. 1) Найдите какое−нибудь двузначное число, которое при деление и на 2, и на 3 дает в остатке 1.
2) Найдите какое−нибудь число, которое при делении на 2 дает в остатке 1, а при делении на 3 дает в остатке 2.
Решение
1) 25 : 2 = 12(ост.1);
25 : 3 = 8(ост.1).
2) 593 : 2 = 296(ост.1);
593 : 3 = 197(ост.2).
Задание 398. Если имеющиеся карандаши разложить в коробки, по 8 штук в каждую, то останется 5 лишних карандашей. Если их разложить в коробки, по 6 штук в каждую, то тоже останется 5 лишних карандашей. Сколько имеется карандашей, если их больше 50, но меньше 100?
Решение
НОК(6;8) = 24
По условию задачи общее кратное плюс 5 карандашей должно быть больше 50, но меньше 100, тогда:
ОК(6;8) = 24, 48, 72, 96, 120, ... .
48 + 5 = 53 (карандаша) − было всего;
72 + 5 = 77 (карандашей) − было всего;
96 + 5 = 101 − не подходит под условие задачи.
Ответ: 53 карандаша или 77 карандашей.
Задание 399. Какие остатки могут получиться при делении некоторого числа:
а) на 5;
б) на 8;
в) на 10?
В каждом случае приведите примеры таких чисел.
Решение
а) При делении на 5, могут получиться остатки: 0, 1, 2, 3, 4, например:
35 : 5 = 7(ост.0);
36 : 5 = 7(ост.1);
37 : 5 = 7(ост.2);
38 : 5 = 7(ост.3);
39 : 5 = 7(ост.4).
б) При делении на 8, могут получиться остатки: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, например:
72 : 8 = 9(ост.0);
73 : 8 = 9(ост.1);
74 : 8 = 9(ост.2);
75 : 8 = 9(ост.3);
76 : 8 = 9(ост.4);
77 : 8 = 9(ост.5);
78 : 8 = 9(ост.6);
79 : 8 = 9(ост.7).
в) При делении на 10, могут получиться остатки: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, например:
100 : 10 = 10(ост.0);
101 : 10 = 10(ост.1);
102 : 10 = 10(ост.2);
103 : 10 = 10(ост.3);
104 : 10 = 10(ост.4);
105 : 10 = 10(ост.5);
106 : 10 = 10(ост.6);
107 : 10 = 10(ост.7);
108 : 10 = 10(ост.8);
109 : 10 = 10(ост.9).
Задание 400. Какой наибольший остаток возможен при делении числа:
а) на 6;
б) на 11;
в) на 20?
В каждом случае приведите примеры таких чисел.
Решение
а) При делении на 6 наибольшим остатком будет:
6 − 1 = 5, например:
65 : 6 = 10(ост.5).
б) При делении на 11 наибольшим остатком будет:
11 − 1 = 10, например:
98 : 11 = 8(ост.10).
в) При делении на 20 наибольшим остатком будет:
20 − 1 = 19, например:
219 : 20 = 10(ост.19).
Задание 401. Не выполняя деления, определите, какой остаток получается при делении:
а) числа 137 на 10, на 5, на 3;
б) числа 543 на 2, на 5, на 9.
Решение
а) 1) 7 − 0 = 7 − остаток при делении 137 на 10;
2) 7 − 5 = 2 − остаток при делении 137 на 5;
3) 1 + 3 + 7 = 11;
11 − 9 = 2 − остаток при делении 137 на 3.
Ответ: 7; 2; 2.
б) 1) 3 − 2 = 1 − остаток при делении 543 на 2;
2) 3 − 0 = 3 − остаток при делении 543 на 5;
3) 5 + 4 + 3 = 12;
12 − 9 = 3 − остаток при делении 543 на 9.
Ответ: 1; 3; 3.
Задание 402. Члены последовательности 1, 4, 7, 10, 13, 16, ... − это числа, которые при делении на 3 дают в остатке 1. Первое число в ней 1 (так как 1 = 0 * 3 + 1), а каждое следующее на 3 больше предыдущего.
А как начинается последовательность чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2? Содержится ли в этой последовательности число 99? число 100? число 101?
Решение
2 = 0 * 3 + 2, значит последовательность будет:
2, 5, 8, 11, ...
99 : 3 = 33(ост.0) − значит числа 99 в этой последовательности не будет;
100 : 3 = 33(ост.1) − значит числа 100 в этой последовательности не будет;
101 : 3 = 33(ост.2) − значит число 101 будет в этой последовательности.
Задание 403. ЗАДАЧА−ИССЛЕДОВАНИЕ
1) Рассмотрите последовательность чисел $2, 2^2, 2^3, 2^4, ..., 2^{12}$.
Выполните вычисления и назовите последние цифры значений этих выражений. Сколько различных цифр получилось? В каком порядке они появляются?
2) Не выполняя вычислений, назовите последнюю цифру числа, равного:
$2^{13}, 2^{14}, 2^{15}, 2^{16}$.
3) Определите последнюю цифру степени
$2^{32}, 2^{49}, 2^{62}, 2^{83}$.
Решение
1) $2^2 = 4$;
$2^3 = 8$;
$2^4 = 16$;
$2^5 = 32$;
$2^6 = 64$, значит степень числа 2 может оканчиваться четырьмя цифрами: 2, 4, 8, 6.
Можно заметить, что если показатель степени разделить на 4, то получившийся остаток при делении будет порядковым номером в ряду последней цифры, например:
$2^6$
6 : 4 = 1 (ост.2) − значит, последний цифрой степени этого числа будет 4, так как 4 идет второй.
2) $2^{13}$
13 : 4 = 3(ост.1)
2 − последняя цифра.
$2^{14}$
14 : 4 = 3(ост.2)
4 − последняя цифра.
$2^{15}$
15 : 4 = 3(ост.3)
8 − последняя цифра.
$2^{16}$
16 : 4 = 4(ост.0)
6 − последняя цифра.
3) $2^{32}$
32 : 4 = 8(ост.0)
6 − последняя цифра.
$2^{49}$
49 : 4 = 12(ост.1)
2 − последняя цифра.
$2^{62}$
62 : 4 = 15(ост.2)
4 − последняя цифра.
$2^{83}$
83 : 4 = 20(ост.3)
8 − последняя цифра.
