Задание 380. Признаки делимости помогают при разложении числа на простые множители (при
этом запись удобно вести с помощью вертикальной черты).
Разложите на простые множители число:
а) 1452;
б) 1980;
в) 3960;
г) 2295;
д) 35100.
Образец.
$\begin{array}{r|l} 504 & 2\\ 252 & 2\\ 126 & 2\\ 63 & 3\\ 21 & 3\\ 7 & 7\\ 1 & \end{array}$
$504 = 2^3 * 3^2 * 7$
Решение
а) $\begin{array}{r|l} 1452 & 2\\ 726 & 2\\ 363 & 3\\ 121 & 11\\ 11 & 11\\ 1 & \end{array}$
$1452 = 2^2 * 3 * 11^2$
б) $\begin{array}{r|l} 1980 & 2\\ 990 & 2\\ 495 & 3\\ 165 & 3\\ 55 & 5\\ 11 & 11\\ 1 & \end{array}$
$1980 = 2^2 * 3^2 * 5 * 11$
в) $\begin{array}{r|l} 2295 & 3\\ 765 & 3\\ 255 & 3\\ 85 & 5\\ 17 & 17\\ 1 & \end{array}$
$3960 = 2^3 * 3^2 * 5 * 11$
г) $\begin{array}{r|l} 2295 & 3\\ 765 & 3\\ 255 & 3\\ 85 & 5\\ 17 & 17\\ 1 & \end{array}$
$2295 = 3^3 * 5 * 17$
д) $\begin{array}{r|l} 35100 & 2\\ 17550 & 2\\ 8775 & 3\\ 2925 & 3\\ 975 & 3\\ 325 & 5\\ 65 & 5\\ 13 & 13\\ 1 & \end{array}$
$35100 = 2^2 * 3^3 * 5 * 17$
Задание 381. Докажите, что каждое из чисел 37940, 1272, 1551, 207027 является составным числом.
Подсказка.
Вспомните, какие числа называют составными.
Решение
Натуральные числа, имеющие более двух делителей, называют составными числами.
37940 делится на 2, 5 и 10, так как оканчивается на 0, на само себя, а значит является составным.
1272 − делится на 2, (1 + 2 + 7 + 2 = 12) делится на 3, на само себя, значит является составным.
1551 − (1 + 5 + 5 + 1 = 12) − делится на 3, на само себя, значит является составным;
207027 − (2 + 0 + 7 + 0 + 2 + 7 = 18) − делится на 3 и на 9, на само себя, значит является составным.
Задание 382. Назовите два трехзначных числа, которые:
а) делятся на 2 и на 3;
б) делятся на 2 и не делятся на 3;
в) делятся на 3 и не делятся на 2;
г) делятся на 10 и на 9;
д) делятся на 10 и не делятся на 9;
е) делятся на 9 и не делятся на 10.
Решение
а) 234
делится на 2, так как оканчивается на 4;
делится на 3, так как 2 + 3 + 4 = 9.
456
делится на 2, так как оканчивается на 6;
делится на 3, так как 4 + 5 + 6 = 15.
б) 356
делится на 2, так как оканчивается на 6;
не делится на 3, так как 3 + 5 + 6 = 14.
880
делится на 2, так как оканчивается на 0;
не делится на 3, так как 8 + 8 + 0 = 16.
в) 333
делится на 3, так как 3 + 3 + 3 = 9;
не делится на 2, так как оканчивается на 3.
585
делится на 3, так как 5 + 8 + 5 = 18;
не делится на 2, так как оканчивается на 5.
г) 990
делится на 10, так как оканчивается на 0;
делится на 9, так как 9 + 9 + 0 = 18.
360
делится на 10, так как оканчивается на 0;
делится на 9, так как 3 + 6 + 0 = 9.
д) 880
делится на 10, так как оканчивается на 0;
не делится на 9, так как 8 + 8 + 0 = 16.
260
делится на 10, так как оканчивается на 0;
не делится на 9, так как 2 + 6 + 0 = 8.
е) 999
делится на 9, так как 9 + 9 + 9 = 27;
не делится на 10, так как не оканчивается на 0.
369
делится на 9, так как 3 + 6 + 9 = 18;
не делится на 10, так как не оканчивается на 0.
Задание 383. Используя цифры 1, 3, 5, 6 (каждую по одному разу), запишите все возможные четырехзначные числа, которые:
а) делятся на 2;
б) делятся на 5.
Можно ли записать этими же цифрами число, которое делится на 3? на 9?
Решение
а) 1356, 1536, 3156, 3516, 5136, 5316.
б) 1365, 1635, 3165, 3615, 6135, 6315.
1 + 3 + 5 + 6 = 15, любое число составленное из этих цифр будет делиться на 3, но не будет делиться на 9.
Значит, можно написать число, которое будет делиться на 3 и нельзя, которое будет делиться на 9.
Задание 384. Укажите число, кратное 9, ближайшее к числу:
а) 732;
б) 596;
в) 2468.
Решение
а) 7 + 3 + 2 = 12;
18 − 12 = 6;
12 − 9 = 3;
3 < 6, значит:
732 − 3 = 729.
Ответ: 729
б) 5 + 9 + 6 = 20;
27 − 20 = 7;
20 − 18 = 2;
2 < 7, значит:
596 − 2 = 594.
Ответ: 594
в) 2 + 4 + 6 + 8 = 20;
27 − 20 = 7;
20 − 18 = 2;
2 < 7, значит:
2468 − 2 = 2466.
Ответ: 2466
Задание 385. 1) Даны числа: 354, 180, 198, 287, 425, 414. Выпишите из них те, которые делятся:
а) на 6;
б) на 15;
в) на 18.
2) Сформулируйте признаки делимости:
а) на 6;
б) на 15;
в) на 18;
г) на 45.
В каждом случае приведите примеры таких чисел.
Решение
1) а) 354, 180, 198, 414.
б) 180, 435.
в) 180, 198, 414.
2) а)
Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3, например:
336
делится на 2, так как оканчивается на 6;
делится на 3, так как 3 + 3 + 6 = 12.
б)
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится и на 3 и на 5, например:
555
делится на 5, так как оканчивается на 5;
делится на 3, так как 5 + 5 + 5 = 15.
в)
Число делится на 18, если число делится на 2 и на 9, например:
990
делится на 2, так как оканчивается на 0;
делится на 9, так как 9 + 9 + 0 = 18.
г)
Число делится на 45, если число делится на 5 и на 9, например:
675
делится на 5, так как оканчивается на 5;
делится на 9, так как 6 + 7 + 5 = 18.
Задание 386. Используя все цифры от 0 до 9, причем каждую только один раз, запишите:
а) наименьшее число, делящееся на 5;
б) наибольшее число, делящееся на 2;
в) наименьшее число, делящееся на 6.
Решение
а) 1023467895
б) 9876543210
в) 1023456798
