Задание 341. Назовите все двузначные числа, меньшие 30, разложение на простые множители которых содержит только два различных множителя. "Сконструируйте" несколько трехзначных чисел, обладающих таким же свойством. Сколько делителей имеет каждое из них?
Решение
4 = 2 * 2;
6 = 2 * 3;
9 = 3 * 3;
10 = 2 * 5;
14 = 7 * 2;
15 = 3 * 5;
21 = 3 * 7;
22 = 2 * 11;
25 = 5 * 5;
26 = 2 * 13.
Трехзначные числа:
214 = 2 * 107;
218 = 2 * 109.
Задание 342. Разложение числа на простые множители − это его "паспорт". Из него можно узнать много полезных сведений о данном числе, например, найти все его делители. Найдите все делители числа a, если:
а) a = 3 * 7;
б) a = 2 * 11 * 17;
в) $a = 3^2 * 5$.
Решение
а) a = 3 * 7 = 21;
делители числа a: 1, 3, 7, 21.
б) a = 2 * 11 * 17 − 22 * 17 = 374;
делители числа a: 1, 2, 11, 17, 22, 34, 187, 374.
в) $a = 3^2 * 5 = 9 * 5 = 45$;
делители числа a: 1, 3, 5, 9, 15, 45.
Задание 343. Число разложили на простые множители и получили такое произведение:
$2^3 * 3^4 * 5^2$.
а) Делится ли это число на 10? на 100? на 1000?
б) Делится ли это число на 18? на 70?
в) Узнайте, какое число было разложено на простые множители.
Решение
а) 1) $2^3 * 3^4 * 5^2 = 2^2 * 3^4 * 5 * (2 * 5) = 2^2 * 3^4 * 5 * 10$ − делится на 10;
2) $2^3 * 3^4 * 5^2 = 2 * 3^4 * (2^2 * 5^2) = 2^2 * 3^4 * (4 * 25) = 2^2 * 3^4 * 100$ − делится на 100;
3) не делится на 1000.
Ответ: делится на 10 и на 100; не делится на 1000.
б) 1) $2^3 * 3^4 * 5^2 = 2^2 * 3^2 * 5^2 * (2 * 3^2) = 2^2 * 3^2 * 5^2 * (2 * 9) = 2^2 * 3^2 * 5^2 * 18$ − делится на 18;
2) не делится на 70.
Ответ: делится на 18; не делится на 70.
в) $2^3 * 3^4 * 5^2 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 3 * 5 * 5 = (2 * 5) * (2 * 5) * 2 * (3 * 3) * (3 * 3) = 10 * 10 * 2 * 9 * 9 = 100 * 2 * 81 = 8100 * 2 = 16200$
Ответ: 16200.
Задание 344. Какие из чисел 163, 261, 271, 447, 457, 758 являются простыми?
Решение
Простые числа: 163, 271, 457.
Задание 345. а) Найдите первое трехзначное число, являющееся простым.
б) Определите, сколько простых чисел в третьей сотне.
Решение
а) 101 − наименьшее простое трехзначное число.
б) 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397.
Ответ: 16 чисел.
Задание 346. Среди двузначных простых чисел, записанных разными цифрами, есть такие, которые остаются простыми после перестановки цифр. Запишите все такие числа.
Решение
13, 31, 17, 71, 37, 73, 79, 97.
Задание 347. Составьте все возможные трехзначные числа из цифр 1, 2 и 7 (без повторения цифр). Какие из них являются простыми и какие − составными?
Решение
127, 172, 217, 271, 721, 712.
Все числа являются составными.
Задание 348. Простые числа, разность которых равна 2, называют числами−близнецами. Сколько пар чисел−близнецов в ряду чисел:
а) от 1 до 100;
б) от 100 до 200?
Проверьте, есть ли числа−близнецы в промежутке от 900 до 1000.
Решение
а) 3 и 5;
5 и 7;
11 и 13;
17 и 19;
29 и 31;
41 и 43;
59 и 61;
71 и 73.
8 пар чисел−близнецов
б) 101 и 103;
107 и 109;
137 и 139;
149 и 151;
179 и 181;
191 и 193;
197 и 199.
7 пар чисел−близнецов.
Чисел−близнецов в промежутке от 900 до 1000 нет.
Задание 349. ЗАДАЧА−ИССЛЕДОВАНИЕ
1) Как известно, простое число имеет два делителя. А сколько делителей имеет квадрат простого числа? куб простого числа? четвертая степень простого числа? Выясните это на конкретных примерах.
2) Как вы думаете, сколько делителей имеет пятая степень простого числа? шестая степень? десятая степень?
3) Перечислите все делители числа 3125; числа 64.
Подсказка.
$3125 = 5^5$;
$64 = 2^6$.
Решение
1) $2^2 = 4$
делители числа 4: 1, 2, 4.
$3^2 = 9$
делители числа 9: 1, 3, 9.
Квадрат простого числа имеет три делителя.
$2^3 = 8$
делители числа 8: 1, 2, 4, 8.
$3^3 = 27$
делители числа 27: 1, 3, 9, 27.
Куб простого числа имеет четыре делителя.
$2^4 = 16$
делители числа 8: 1, 2, 4, 8, 16.
$3^4 = 81$
делители числа 27: 1, 3, 9, 27, 81.
Четвертая степень простого числа имеет пять делителей.
2) Каждая степень простого числа имеет на 1 больше делителей, чем его степень, значит:
5 + 1 = 6 (делителей) − имеет пятая степень простого числа;
6 + 1 = 7 (делителей) − имеет шестая степень простого числа;
10 + 1 = 11 (делителей) − имеет десятая степень простого числа.
3) $5^2 = 25$;
$5^3 = 125$;
$5^4 = 625$, тогда:
Делители числа 3125: 1, 5, 25, 125, 625, 3125.
$2^2 = 4$;
$2^3 = 8$;
$2^4 = 16$;
$2^5 = 32$, тогда:
Делители числа 64: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.
