Ответы к упражнениям
Задание 330. Какие из следующих чисел являются простыми:
11, 26, 27, 29, 31, 33, 39, 43, 51, 59, 67, 69?
Решение
Простые числа: 11, 29, 31, 43, 59, 67.
Задание 331. Какое из данных чисел не является простым?
1) 31;
2) 41;
3) 51;
4) 61.
Решение
51 = 3 * 17, значит оно не является простым.
Ответ: 3) 51.
Задание 332. Докажите, что данное число является составным:
а) 25;
б) 99;
в) 192;
г) 169.
Решение
а) делители числа 25: 1, 5, 25.
б) делители числа 99: 1, 3, 9, 11, 33, 99.
в) делители числа 192: 1, 2, 3, 64, 96, 192.
г) делители числа 169: 1, 13, 169.
Задание 333. Какое простое число делится:
а) на 2;
б) на 5;
в) на 19?
Решение
а) 2
б) 5
в) 19
Задание 334. Укажите такое число a, при котором произведение 7 * a является простым числом.
Решение
при a = 1:
7 * a = 7 * 1 = 7 − простое число
Задание 335. Какое утверждение верно?
1) Все простые числа − нечетные.
2) Все нечетные числа − простые.
3) Все простые числа, большие 2, − нечетные.
4) Все нечетные числа, большие 2, − составные.
Решение
1) Все простые числа − нечетные. − неверно, так как число 2 является простым, но четным.
2) Все нечетные числа − простые. − т.к. число 9 является нечетным, но простым не является.
3) Все простые числа, большие 2, − нечетные. − да, т.к. любое четное число делится на 2.
4) Все нечетные числа, большие 2, − составные. − нет, т.к. число 3 простое число.
Задание 336. а) Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом?
б) Может ли произведение двух простых чисел быть простым числом?
Решение
а) 11 − простое число;
2 − простое число;
11 + 2 = 13 − простое число.
Ответ: да, может.
б) Произведение двух простых чисел не может быть простым числом, т.к. у произведения будет минимум три делителя: 1, первое число и второе число.
Задание 337. 1) Найдите:
а) НОД(3;5) и НОК(3;5);
б) НОД(5;7) и НОК(5;7);
в) НОД(2;11) и НОК(2;11);
г) НОД(11;13) и НОК(11;13).
2) Известно, что числа m и n простые.
Найдите:
а) НОД(m;n);
б) НОК(m;n).
Решение
1) а)
3 * 15 = 15;
НОД(3;5) = 15;
НОК(3;5) = 15.
б)
5 * 7 = 35;
НОД(5;7) = 35;
НОК(5;7) = 35.
в)
2 * 11 = 22;
НОД(2;11) = 22;
НОК(2;11) = 22.
г)
11 * 13 = 143;
НОД(11;13) = 143;
НОК(11;13) = 143.
2) а) НОД(m;n) = mn;
б) НОК(m;n) = mn.
Задание 338. Дано разложение на простые множители числа 420:
$420 = 2^2 * 3 * 5 * 7$.
Ответьте на вопросы:
1) Сколько простых множителей содержится в разложении?
2) Есть ли в разложении одинаковые множители?
3) Почему в разложении нет числа 1?
Решение
1) 4 простых множителей содержится в разложении;
2) Число 2 является одинаковым множителем.
3) В разложении нет числа 1, потому что оно не является ни простым, ни составным.
Задание 339. Разложите на простые множители числа:
а) 30, 70, 42, 110;
б) 16, 48, 36, 63;
в) 10, 100, 1000, 10000;
г) 90, 990, 630.
Решение
а) $ \begin{array}{r|l} 30 & 2\\ 15 & 3\\ 5 & 5\\ 1 & \end{array} $
30 = 2 * 3 * 5
$ \begin{array}{r|l} 70 & 2\\ 35 & 5\\ 7 & 7\\ 1 & \end{array} $
70 = 2 * 5 * 7
$ \begin{array}{r|l} 42 & 2\\ 21 & 3\\ 7 & 7\\ 1 & \end{array} $
42 = 2 * 7 * 3
$ \begin{array}{r|l} 110 & 2\\ 55 & 5\\ 11 & 11\\ 1 & \end{array} $
110 = 2 * 5 * 11
б) $ \begin{array}{r|l} 16 & 2\\ 8 & 2\\ 4 & 2\\ 2 & 2\\ 1 & \end{array} $
$16 = 2 * 2 * 2 * 2 = 2^4$
$ \begin{array}{r|l} 48 & 2\\ 24 & 2\\ 12 & 2\\ 6 & 2\\ 3 & 3\\ 1 & \end{array} $
$48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 = 2^4 * 3$
$ \begin{array}{r|l} 36 & 2\\ 18 & 2\\ 9 & 3\\ 3 & 3\\ 1 & \end{array} $
$36 = 2 * 2 * 3 * 3 = 2^2 * 3^2$
$ \begin{array}{r|l} 63 & 3\\ 21 & 3\\ 7 & 7\\ 1 & \end{array} $
$63 = 3 * 3 * 7 = 3^2 * 7$
в) $ \begin{array}{r|l} 10 & 2\\ 5 & 5\\ 1 & \end{array} $
10 = 2 * 5
$ \begin{array}{r|l} 100 & 2\\ 50 & 2\\ 25 & 5\\ 5 & 5\\ 1 & \end{array} $
$100 = 2 * 2 * 5 * 5 = 2^2 * 5^2$
$ \begin{array}{r|l} 1000 & 2\\ 500 & 2\\ 250 & 2\\ 125 & 5\\ 25 & 5\\ 5 & 5\\ 1 & \end{array} $
$1000 = 2 * 2 * 2 * 5 * 5 * 5 = 2^3 * 5^3$
$ \begin{array}{r|l} 10000 & 2\\ 5000 & 2\\ 2500 & 2\\ 1250 & 2\\ 625 & 5\\ 625 & 5\\ 125 & 5\\ 25 & 5\\ 5 & 5\\ 1 & \end{array} $
$10000 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5 * 5 * 5 * 5 = 2^4 * 5^4$
г) $ \begin{array}{r|l} 90 & 2\\ 45 & 3\\ 15 & 5\\ 3 & 3\\ 1 & \end{array} $
$90 = 2 * 3 * 3 * 5 = 2 * 3^2 * 5$
$ \begin{array}{r|l} 990 & 2\\ 495 & 3\\ 165 & 3\\ 55 & 5\\ 11 & 11\\ 1 & \end{array} $
$990 = 2 * 3 * 3 * 5 * 11 = 2 * 3^2 * 5 * 11$
$ \begin{array}{r|l} 630 & 2\\ 315 & 3\\ 105 & 3\\ 35 & 5\\ 7 & 7\\ 1 & \end{array} $
$630 = 2 * 3 * 3 * 5 * 7 = 2 * 3^2 * 5 * 7$
Задание 340. Разложите на простые множители число, равное произведению:
1 * 2 * 3 * ... * 9 * 10.
Решение
$1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 = 1 * 2 * 3 * (2 * 2) * 5 * (2 * 3) * 7 * (2 * 2 * 2) * (3 * 3) * (2 * 5) = 1 * 2^8 * 3^4 * 5^2 * 7$
