Ответы к теме Дополнение к главе 1

1. Делимость чисел

Задание 173

Докажите признак делимости (для n = 5 или n = 6):
а) число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 2, если число $a_0$ делится на 2;
б) число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 5, если число $a_0$ делится на 5;
в) число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 10, если число $a_0 = 0$;
г) число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 4, если или число $a = \overline{a_1a_0}$ (при $a_1 ≠ 0$) делится на 25, или $a_1 = a_0 = 0$;
е) число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 3, если сумма его цифр $a_0 + a_1 + ... + a_n$ делится на 3.

Решение

а) Найдем разность:
$a - a_0 = \overline{a_n...a_2a_1a_0} - a_0 = \overline{a_n...a_2a_10} = \overline{a_n...a_2a_1} * 10 = \overline{a_n...a_2a_1} * 5 * 2$ − разность делится на 2.
Тогда:
$a = \overline{a_n...a_2a_1a_0} = \overline{a_n...a_2a_1} * 10 + a_0$ − делится на 2, так как каждое слагаемое делится на 2.
Утверждение доказано.

б) Найдем разность:
$a - a_0 = \overline{a_n...a_2a_1a_0} - a_0 = \overline{a_n...a_2a_10} = \overline{a_n...a_2a_1} * 10 = \overline{a_n...a_2a_1} * 2 * 5$ − разность делится на 5.
Тогда:
$a = \overline{a_n...a_2a_1a_0} = \overline{a_n...a_2a_1} * 10 + a_0$ − делится на 5, так как каждое слагаемое делится на 5.
Утверждение доказано.

в) $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0} = \overline{a_n...a_2a_10} = \overline{a_n...a_2a_1} * 10$ − делится на 10.
Утверждение доказано.

г) Найдем разность:
$a - \overline{a_1a_0} = \overline{a_n...a_2a_1a_0} - \overline{a_1a_0} = \overline{a_n...a_200} = \overline{a_n...a_2} * 100 = \overline{a_n...a_2} * 4 * 25$ − разность делится на 4.
Тогда:
$a = \overline{a_n...a_2a_1a_0} = \overline{a_n...a_2} * 100 + \overline{a_1a_0}$ − делится на 4, так как каждое слагаемое делится на 4.
Утверждение доказано.

д) $\overline{a_n...a_2a_1a_0} = a_n * 10^n + ... + a_2 * 10^2 + a_1 * 10 + a_0 = a_n * 10...0 + ... + a_2 * 100 + a_1 * 10 + a_0 = a_n * (99...9 + 1) + ... + a_2 * (99 + 1) + a_1 * (9 + 1) + a_0 = 99...9 * a_n + a_n + ... + 99 * a_2 + a_2 + 9 * a_1 + a_1 + a_0 = 3 * 33...3 * a_n + ... + 3 * 33 * a_2 + 3 * 3 * a_1 + (a_n + ... + a_2 + a_1 + a_0) = 3 * (33...3 * a_n + ... + 33 * a_2 + 3 * a_1) + (a_n + ... + a_2 + a_1 + a_0)$ − делится на 3, так как каждое слагаемое делится на 3.

Задание 174

Докажите признак делимости: число $a = \overline{a_5...a_2a_1a_0}$ делится на 11, если сумма
$a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5$
делится на 11.

Решение

$a = \overline{a_5...a_2a_1a_0} = a_5 * 10^5 + ... + a^2 * 10^2 + a_1 * 10 + a_0 = a_5 * 10...0 + ... + a_2 * 100 + a_1 * 10 + a_0 = a_5 * (10001 - 1) + ... + a_2 * (99 + 1) + a_1 * (11 - 1) + a_0 = 10001 * a_5 - a_5 + ... + 99 * a_2 + a_2 + 11 * a_1 - a_1 + a_0 = 11 * 909 * a_5 + ... + 11 * 9 * a_2 + 11 * a_1 + (-a_5 + a_4 - a_3 + a_2 - a_1 + a_n) = 11 * (909 * a_5 + ... + 9 * a_2 + 1 * a_1) + (a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5)$ − делится на 11, так как каждое слагаемое делится на 11.
Утверждение доказано.

Задание 175

Придумайте и докажите признак делимости:
а) на 125;
б) на 8.

Решение

а) Признак делимости на 125: число делится на 125, если три его последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 125.
Доказательство:
Число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 125, если число $\overline{a_2a_1a_0}$ (при $a_1 ≠ 0$) делится на 125, или $a_2 = a_1 = a_0 = 0$.
Найдем разность:
$a - \overline{a_2a_1a_0} = \overline{a_n...a_2a_1a_0} - \overline{a_2a_1a_0} = \overline{a_n...a_3000} = \overline{a_n...a_3} * 1000 = 8 * 125$ − делится на 125.
Утверждение доказано.

б) Признак делимости на 8: число делится на 8, если три его последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 125.
Доказательство:
Число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 8, если число $\overline{a_2a_1a_0}$ (при $a_1 ≠ 0$) делится на 125, или $a_2 = a_1 = a_0 = 0$.
Найдем разность:
$a - \overline{a_2a_1a_0} = \overline{a_n...a_2a_1a_0} - \overline{a_2a_1a_0} = \overline{a_n...a_3000} = \overline{a_n...a_3} * 1000 = 125 * 8$ − делится на 8.
Утверждение доказано.

Задание 176

Докажите обратное утверждение для каждого признака делимости.

Решение

Обратное утверждение для признака делимости на 2:
Если число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 2, то его последняя цифра делится на 2.
$a = \overline{a_n...a_2a_1a_0} = a_n * 10^n + ... + a_2 * 10^2 + a_1 * 10 + a_0 = a_n * 10...0 + ... + a_2 * 100 + a_1 * 10 + a_0 = a_n * (10^{n - 1} * 10) + ... + a_2 * (10 * 10) + a_1 * 10 + a_0 = 10 * (10^{n - 1} * a_n + ... + 10 * a_2 + a_1) + a_0$ − первое слагаемое делится на 2, так как 10 = 2 * 5 и сумма, равная числу a по условию делится на 2, значит и второе слагаемое $a_0$ − делится на 2, так как сумма четных чисел число четное.
Утверждение доказано.

Обратное утверждение для признака делимости на 3:
Если число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 3, то сумма его цифр делится на 3.
$a = \overline{a_n...a_2a_1a_0} = a_n * 10^n + ... + a_2 * 10^2 + a_1 * 10 + a_0 = a_n * 10...0 + ... + a_2 * 100 + a_1 * 10 + a_0 = a_n * (99...9 + 1) + ... + a_2 * (99 + 1) + a_1 * (9 + 1) + a_0 = 99...9 * a_n + a_n + ... + 99 * a_2 + a_2 + 9 * a_1 + a_1 + a_0 = 3 * (33...3 * a_n + ... + 33 * a_2 + 3 * a_1) + (a_n + ... + a_2 + a_1 + a_0)$ − так как первое слагаемое делится на 3 и сумма, равная числу a по условию делится на 3, то и второе слагаемое делится на 3.
Утверждение доказано.

Обратное утверждение для признака делимости на 9:
Если число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 9, то сумма его цифр делится на 9.
$a = \overline{a_n...a_2a_1a_0} = a_n * 10^n + ... + a_2 * 10^2 + a_1 * 10 + a_0 = a_n * 10...0 + ... + a_2 * 100 + a_1 * 10 + a_0 = a_n * (99...9 + 1) + ... + a_2 * (99 + 1) + a_1 * (9 + 1) + a_0 = 99...9 * a_n + a_n + ... + 99 * a_2 + a_2 + 9 * a_1 + a_1 + a_0 = 9 * (11...1 * a_n + ... + 11 * a_2 + a_1) + (a_n + ... + a_2 + a_1 + a_0)$ − так как первое слагаемое делится на 9 и сумма, равная числу a по условию делится на 9, то и второе слагаемое делится на 9.
Утверждение доказано.

Обратное утверждение для признака делимости на 4:
Если число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 4, то две последние цифры образуют число $\overline{a_1a_0}$, которое делится на 4.
$a = \overline{a_n...a_2a_1a_0} = a_n * 10^n + ... + a_2 * 100 + a_1 * 10 + a_0 = 100 * (a_n * 10^{n - 2} + ... + a_2) + a_1 * 10 + a_0 = 25 * 4 * (a_n * 10^{n - 2} + ... + a_2) * \overline{a_1a_0}$ − так как первое слагаемое делится на 4, и сумма, равная числу a по условию делится на 4, то и второе слагаемое делится на 4.
Утверждение доказано.

Обратное утверждение для признака делимости на 5:
Если число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 5, то оно оканчивается цифрой $a_0$, которая делится на 5.
$a = \overline{a_n...a_2a_1a_0} = a_n * 10^n + ... + a_2 * 100 + a_1 * 10 + a_0 = 10 * (a_n * 10^{n - 1} + ... + a_2 + a_1) + a_0 = 5 * 2 * (a_n * 10^{n - 1} + ... + a_2 + a_1) + a_0$ − так как первое слагаемое делится на 5, и сумма, равная числу a по условию делится на 5, то и второе слагаемое делится на 5.
Утверждение доказано.

Обратное утверждение для признака делимости на 10:
Если число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 10, то оно оканчивается цифрой $a_0 = 0$.
$a = \overline{a_n...a_2a_1a_0} = a_n * 10^n + ... + a_2 * 100 + a_1 * 10 + a_0 = 10 * (a_n * 10^{n - 1} + ... + a_2 + a_1) + a_0$ − так как первое слагаемое делится на 10, и сумма, равная числу a по условию делится на 10, то и второе слагаемое делится на 10, а значит оканчивается цифрой 0.
Утверждение доказано.

Обратное утверждение для признака делимости на 11:
Если число $a = \overline{a_5...a_2a_1a_0}$ делится на 11, то $\overline{a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5}$ делится на 11.
$a = \overline{a_5...a_2a_1a_0} = a_5 * 10^5 + ... + a_2 * 10^2 + a_1 * 10 + a_0 = a_5 * 10...0 + ... + a_2 * 100 + a_1 * 10 + a_0 = a_5 * (10001 - 1) + ... + a_2 * (99 + 1) + a_1 * (11 - 1) + a_0 = 10001 * a_5 - a_5 + ... + 99 * a_2 + a_2 + 11 * a_1 - a_1 + a_0 = 11 * 909 * a_5 + ... + 11 * 9 * a_2 + 11 * a_1 + (-a_5 + a_4 - a_3 + a_2 - a_1 + a_0) = 11 * (909 * a_5 + ... + 9 * a_2 + a_1) + (a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5)$ − так как первое слагаемое делится на 11, и сумма, равная числу a по условию делится на 11, то и второе слагаемое делится на 11.
Утверждение доказано.

Обратное утверждение для признака делимости на 125:
Если число $a = \overline{a_n...a_3a_2a_1a_0}$ делится на 125, то $\overline{a_2a_1a_0}$ (при $a_1 ≠ 0$) делится на 125, или $a_2 = a_1 = a_0 = 0$.
$a = \overline{a_n...a_3a_2a_1a_0} = a_n * 10^n + ... + a^3 * 1000 + \overline{a_2a_1a_0} = 1000 * a_n * 10{n - 3} + ... + a_3 * 1000 + \overline{a_2a_1a_0} = 1000 * (a_n * 10^{n - 3} + ... + a_3) + \overline{a_2a_1a_0} = 125 * 8 * (a_n * 10^{n - 3} + ... + a_3) + \overline{a_2a_1a_0}$ − так как первое слагаемое делится на 125, и сумма, равная числу a по условию делится на 125, то и второе слагаемое делится на 125.
Утверждение доказано.

Обратное утверждение для признака делимости на 8:
Если число $a = \overline{a_n...a_3a_2a_1a_0}$ делится на 8, то $\overline{a_2a_1a_0}$ (при $a_1 ≠ 0$) делится на 8, или $a_2 = a_1 = a_0 = 0$.
$a = \overline{a_n...a_3a_2a_1a_0} = a_n * 10^n + ... + a^3 * 1000 + \overline{a_2a_1a_0} = 1000 * a_n * 10{n - 3} + ... + a_3 * 1000 + \overline{a_2a_1a_0} = 1000 * (a_n * 10^{n - 3} + ... + a_3) + \overline{a_2a_1a_0} = 8 * 125 * (a_n * 10^{n - 3} + ... + a_3) + \overline{a_2a_1a_0}$ − так как первое слагаемое делится на 8, и сумма, равная числу a по условию делится на 8, то и второе слагаемое делится на 8.
Утверждение доказано.

Обратное утверждение для признака делимости на 125:
Если число $a = \overline{a_n...a_2a_1a_0}$ делится на 25, то $\overline{a_1a_0}$ (при $a_1 ≠ 0$) делится на 25, или $a_1 = a_0 = 0$.
$a = \overline{a_n...a_2a_1a_0} = a_n * 10^n + ... + a_2 * 100 + \overline{a_1a_0} = 100 * a_n * 10^{n - 2} + ... + a_2 * 100 + \overline{a_1a_0} = 100 * (a_n * 10^{n - 2} + ... + a_2) + \overline{a_1a_0}$ − так как первое слагаемое делится на 25, и сумма, равная числу a по условию делится на 25, то и второе слагаемое делится на 25.
Утверждение доказано.

Задание 177

Вычислите НОД и НОК чисел:
а) 231 и 217;
б) 639 и 221;
в) 237 и 215;
г) 242 и 642;
д) 679 и 485;
е) 1998 и 111;
ж) 999 и 666;
з) 1999 и 2000;
и) 25 и 27.

Решение

а) $ \begin{array}{r|l} 231 & 3\\ 77 & 7\\ 11 & 11\\ 1 & \end{array} $
231 = 3 * 7 * 11
$ \begin{array}{r|l} 217 & 7\\ 31 & 31\\ 1 & \end{array} $
217 = 7 * 31
НОД(231;217) = 7
НОК(231;217) = 3 * 7 * 11 * 31 = 7176

б) $ \begin{array}{r|l} 639 & 3\\ 213 & 3\\ 71 & 71\\ 1 & \end{array} $
$639 = 3^2 * 71$
$ \begin{array}{r|l} 221 & 11\\ 11 & 11\\ 1 & \end{array} $
$221 = 11^2$
НОД(639;221) = 1
НОК(639;221) = 639 * 221 = 141219

в) $ \begin{array}{r|l} 237 & 3\\ 79 & 79\\ 1 & \end{array} $
237 = 3 * 79
$ \begin{array}{r|l} 215 & 5\\ 43 & 43\\ 1 & \end{array} $
215 = 5 * 43
НОД(237;215) = 1
НОК(237;215) = 237 * 215 = 50995

г) $ \begin{array}{r|l} 242 & 2\\ 121 & 11\\ 11 & 11\\ 1 & \end{array} $
$242 = 2 * 11^2$
$ \begin{array}{r|l} 642 & 2\\ 321 & 3\\ 107 & 107\\ 1 & \end{array} $
$642 = 2 * 3 * 107$
НОД(242;642) = 2
$НОК(242;642) = 2 * 3 * 11^2 * 107 = 77682$

д) $ \begin{array}{r|l} 679 & 7\\ 97 & 97\\ 1 & \end{array} $
679 = 7 * 97
$ \begin{array}{r|l} 485 & 5\\ 97 & 97\\ 1 & \end{array} $
485 = 5 * 97
НОД(679;485) = 97
НОК(679;485) = 5 * 7 * 97 = 3395

е) $ \begin{array}{r|l} 1998 & 2\\ 999 & 3\\ 333 & 3\\ 111 & 3\\ 37 & 37\\ 1 & \end{array} $
1998 = 2 * 3^3 * 37
$ \begin{array}{r|l} 111 & 3\\ 37 & 37\\ 1 & \end{array} $
111 = 3 * 37
НОД(1998;111)= 3 * 37 = 111
$НОК(1998;111) = 2 * 3^3 * 37 = 1998$

ж) $ \begin{array}{r|l} 999 & 3\\ 333 & 3\\ 111 & 3\\ 37 & 37\\ 1 & \end{array} $
$999 = 3^3 * 37$
$ \begin{array}{r|l} 666 & 2\\ 333 & 3\\ 111 & 3\\ 37 & 37\\ 1 & \end{array} $
$666 = 2 * 3^2 * 37$
$НОД(999;666)= 3^2 * 37 = 333$
$НОК(999;666) = 2 * 3^3 * 37 = 1998$

з) 1999 − простое число
$ \begin{array}{r|l} 2000 & 2\\ 1000 & 2\\ 500 & 2\\ 250 & 2\\ 125 & 5\\ 25 & 5\\ 5 & 5\\ 1 & \end{array} $
$2000 = 2^4 * 5^3$
НОД(1999;2000) = 1
НОК(1999;2000) = 1999 * 2000 = 3998000

и) $ \begin{array}{r|l} 25 & 5\\ 5 & 5\\ 1 & \end{array} $
$25 = 5^2$
$ \begin{array}{r|l} 27 & 3\\ 9 & 3\\ 3 & 3\\ 1 & \end{array} $
$27 = 3^3$
НОД(25;27) = 1
НОК(25;27) = 25 * 27 = 675

Задание 178

Докажите, что произведение:
а) двух последовательных целых чисел делится на 2;
б) трех последовательных целых чисел делится на 6;
в) четырех последовательных целых чисел делится на 24.

Решение

а) Из двух последовательных целых чисел одно обязательно является четным, то есть делится на 2. Значит и произведение двух последовательных чисел делится на 2.
Утверждение доказано.

б) Из трех последовательных целых чисел одно обязательно является четным, то есть делится на 2. Значит и произведение трех последовательных чисел делится на 2.
Из трех последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3. Значит и произведение трех последовательных чисел делится на 3.
Так как, произведение трех последовательных чисел делится и на 2 и на 3, то оно делится на 6 = 2 * 3.
Утверждение доказано.

в) Из четырех последовательных целых чисел два числа обязательно являются четными, то есть делятся на 2. Значит четырех последовательных чисел делится на 4 = 2 * 2.
Из четырех последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3. Значит и произведение четырех последовательных чисел делится на 3.
Так как, произведение четырех последовательных чисел делится и на 2 и на 3, то оно делится на 6 = 2 * 3.
Так как, произведение четырех последовательных чисел делится и на 4 и на 6, то оно делится на 24 = 4 * 6.
Утверждение доказано.

Задание 179

а) Найдите все целые числа, которые при делении на 4, на 3, на 2 дают остаток 1.
б) Найдите все целые числа, которые при делении на 4 дают остаток 3, при делении на 3 дают остаток 2, при делении на 2 дают остаток 1.

Решение

а) Пусть a − все целые числа, которые при делении на 4, 3 и 2 дат остаток 1, тогда a − 1 делится нацело на 4, 3 и 2 поэтому, делится и на НОК(2;3;4) = 12.
Тогда a = 12m + 1, где m − любое целое число.
Ответ: a = 12m + 1, где m − любое целое число.

б) Все целые числа, которые при делении на 4 дают остаток 3, имеют вид a = 4m + 3. Из них выберем те, которые при делении на 3 дают остаток 2:
1) m = 3n
4 * 3n + 3 = 12m + 3 − при делении на 3 остаток равен 0.
2) m = 3n + 1
4 * (3n + 1) + 3 = 12m + 4 + 3 = 12m + 7 = 12m + 6 + 1 = (12m + 6) + 1 − при делении на 3 остаток равен 1.
3) m = 3n + 2
4 * (3n + 2) + 3 = 12m + 8 + 3 = 12m + 11 = 12m + 10 + 1 = (12m + 10) + 1 − при делении на 2 остаток равен 1.
Ответ: a = 12n + 11, где n − любое целое число.

Задание 180

Определите число квадратов, на которые можно разрезать прямоугольник:
а) 18 × 5;
б) 28 × 11;
в) 157 × 44,
используя алгоритм Евклида.

Решение

а) 18 × 5

Прямоугольник можно разрезать на 3 квадрата со стороной 5 см, 1 квадрат со стороной 3 см, 1 квадрат со стороной 2 см и 2 квадрата со стороной 1 см.
Всего 7 квадратов

б) 28 × 11

Прямоугольник можно разрезать на 2 квадрата со стороной 11 см, 1 квадрат со стороной 6 см, 1 квадрат со стороной 5 см и 5 квадратов со стороной 1 см.
Всего 9 квадратов.

в) 157 × 44

Прямоугольник можно разрезать на 3 квадрата со стороной 44 см, 1 квадрат со стороной 25 см, 1 квадрат со стороной 19 см, 3 квадрата со стороной 6 см и 6 квадратов со стороной 1 см.
Всего 14 квадратов.

Звезда не активнаЗвезда не активнаЗвезда не активнаЗвезда не активнаЗвезда не активна
 

© Копирование допустимо только с прямой активной ссылкой на страницу с оригиналом статьи.
При любых заболеваниях не занимайтесь диагностикой и лечением самостоятельно, необходимо обязательно обратиться к врачу - специалисту.
Изображения обложек учебной литературы приведены на страницах сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса РФ)