Задание №1149
Найдите сумму и разность многочленов:
1) 2, 8 b − 0, 75 b2 и 1 4 b2 − 1 4 5 b;
2) 1 2 7 x2 + 2 4 9 y и 2 3 14 x2 − 1 1 6 y.
Решение:
1) 2, 8 b − 0, 75 b2 + 1 4 b2 − 1 4 5 b = ( 2, 8 b − 1, 8 b ) + ( − 0, 75 b2 + 0, 25 b2 ) = b − 0, 5 b2
2, 8 b − 0, 75 b2 − ( 1 4 b2 − 1 4 5 b ) = 2, 8 b − 0, 75 b2 − 0, 25 b2 + 1, 8 b = ( 2, 8 b + 1, 8 b ) + ( − 0, 75 b2 − 0, 25 b2 ) = 4, 6 b − b2
2) 1 2 7 x2 + 2 4 9 y + 2 3 14 x2 − 1 1 6 y = ( 1 2 7 x2 + 2 3 14 x2 ) + ( 2 4 9 y − 1 1 6 y ) = ( 1 4 14 x2 + 2 3 14 x2 ) + ( 2 8 18 y − 1 3 18 y ) = 3 7 14 x2 + 1 5 18 y = 3 1 2 x2 + 1 5 18 y
1 2 7 x2 + 2 4 9 y − ( 2 3 14 x2 − 1 1 6 y ) = 1 2 7 x2 + 2 4 9 y − 2 3 14 x2 + 1 1 6 y = ( 1 2 7 x2 − 2 3 14 x2 ) + ( 2 4 9 y + 1 1 6 y ) = ( 1 4 14 x2 − 1 17 14 x2 ) + ( 2 8 18 y + 1 3 18 y ) = − 13 14 x2 + 3 11 18 y
Задание №1150
Докажите, что значение выражения
3 x2 − 9 x − ( 8 − 5 x2 − ( 9 x − 8 x2 ) ) не зависит от значения переменной.
Решение:
3 x2 − 9 x − ( 8 − 5 x2 − ( 9 x − 8 x2 ) ) = 3 x2 − 9 x − ( 8 − 5 x2 − 9 x + 8 x2 ) = 3 x2 − 9 x − 8 + 5 x2 + 9 x − 8 x2 = ( 3 x2 + 5 x2 − 8 x2 ) + ( − 9 x + 9 x ) − 8 = 0 + 0 − 8 = − 8, следовательно значения данного выражения не зависит от значения переменной.
Задание №1151
Какой многочлен надо прибавить к многочлену
a 4 − b4 + a3 − b3 − 3 a b, чтобы их сумма была тождественно равна многочлену b4 + 2 a b?
Решение:
b 4 + 2 a b − ( a4 − b4 + a3 − b3 − 3 a b ) = b4 + 2 a b − a4 + b4 − a3 + b3 + 3 a b = ( b4 + b4 ) + ( 2 a b + 3 a b ) + b3 − a4 − a3 = 2 b4 + 5 a b + b3 − a4 − a 3
Задание №1152
Какой многочлен надо вычесть из многочлена
3 c5 − 2 c4 + 14 c3 − 4 c2 + c, чтобы их разность была тождественно равна многочлену 5 c3 + c2 − 7 c?
Решение:
3 c5 − 2 c4 + 14 c3 − 4 c2 + c − ( 5 c3 + c2 − 7 c ) = 3 c5 − 2 c4 + 14 c3 − 4 c2 + c − 5 c3 − c2 + 7 c = 3 c5 − 2 c4 + ( 14 c3 − 5 c3 ) + ( − 4 c2 − c2 ) + ( c + 7 c ) = 3 c5 − 2 c4 + 9 c3 − 5 c2 + 8 с
Задание №1153
Какой многочлен надо прибавить к многочлену
m 3 − m2 n + m n2 − n 4, чтобы их сумма была тождественно равна 5?
Решение:
5 − ( m3 − m2 n + m n2 − n4 ) = 5 − m3 + m2 n − m n2 + n 4
Задание №1154
Существуют ли такие значения x и y, при которых многочлены
− 4 x2 − 12 x y + 7 y2 и 6 x2 + 12 x y − 5 y2 одновременно принимают отрицательные значения?
Решение:
Условие будет выполнятся, если сумма двух многочленов будет меньше нуля, тогда:
− 4 x2 − 12 x y + 7 y2 + 6 x2 + 12 x y − 5 y2 = ( − 4 x2 + 6 x2 ) + ( − 12 x y + 12 x y ) + ( 7 y2 − 5 y2 ) = 2 x2 + 2 y2 = 2 ( x2 + y2 ) ⩾ 0, так как квадраты переменных положительные числа.
Следовательно не существует таких значений x и y, при которых данные многочлены одновременно принимают отрицательные значения.
Задание №1155
Найдите значение выражения:
1) 2a(3a − 5) − 4a(4a − 5), если a = −0,2;
2) 7 a b ( 2 a − 3 b ) + 2 a ( 3 a b + 10 b2 ), если a = −3, b = 5;
3) 2 a4 ( 3 a2 + a − 8 ) − 6 a 6, если a = −1.
Решение:
1) 2a(3a − 5) − 4a(4a − 5) = 6a2 − 10a − 16a2 + 20a = −10a2 + 10a = −10a(a − 1) = −10 * −0,2 * (−0,2 − 1) = 2 * −1,2 = −2,4
2) 7 a b ( 2 a − 3 b ) + 2 a ( 3 a b + 10 b2 ) = 14 a2 b − 21 a b2 + 6 a2 b + 20 a b2 = 20 a2 b − a b2 = a b ( 20 a − b ) = − 3 ∗ 5 ∗ ( 20 ∗ − 3 − 5 ) = − 15 ( − 60 − 5 ) = − 15 ∗ − 65 = 975
3) 2 a4 ( 3 a2 + a − 8 ) − 6 a6 = 6 a6 + 2 a5 − 16 a4 − 6 a6 = 2 a5 − 16 a4 = 2 a4 ( a − 8 ) = 2 ∗ ( − 1 )4 ∗ ( − 1 − 8 ) = 2 ∗ − 9 = − 18
Задание №1156
Решите уравнение:
1) 3 x − 1 6 − x3 = 5 − 2 x 9;
2) 3 x + 1 2 − 5 x4 = 3 − 2 x 3;
3) x + 5 8 − 1 + x2 = 2 x + 1 3;
4) 2 x3 − 2 x + 1 6 = 3 x − 9 4;
5) 9 x − 7 4 − 9 x + 13 8 = 3 − x 2;
6) 6 x + 7 6 + 5 x − 8 9 = 3.
Решение:
1) 3 x − 1 6 − x3 = 5 − 2 x9 | ∗ 18
3(3x − 1) − 6x = 2(5 − 2x)
9x − 3 − 6x = 10 − 4x
9x − 6x + 4x = 10 + 3
7x = 13
x = 13 7 = 1 6 7
2) 3 x + 1 2 − 5 x4 = 3 − 2 x3 | ∗ 12
6(3x + 1) − 3 * 5x = 4(3 − 2x)
18x + 6 − 15x = 12 − 8x
18x − 15x + 8x = 12 − 6
11x = 6
x = 6 11
3) x + 5 8 − 1 + x2 = 2 x + 1 3 | ∗ 24
3(x + 5) − 12(1 + x) = 8(2x + 1)
3x + 15 − 12 − 12x = 16x + 8
3x − 12x − 16x = 8 − 15 + 12
−25x = 5
x = − 5 25 = − 1 5
4) 2 x3 − 2 x + 1 6 = 3 x − 9 4 | ∗ 12
4 * 2x − 2(2x + 1) = 3(3x − 9)
8x − 4x − 2 = 9x − 27
4x − 9x = −27 + 2
−5x = −25
x = −25 : −5
x = 5
5) 9 x − 7 4 − 9 x + 13 8 = 3 − x2 | ∗ 8
2(9x − 7) − (9x + 13) = 4(3 − x)
18x − 14 − 9x − 13 = 12 − 4x
18x − 9x + 4x = 12 + 14 + 13
13x = 39
x = 39 : 13 = 3
6) 6 x + 7 6 + 5 x − 8 9 = 3 | ∗ 18
3(6x + 7) + 2(5x − 8) = 54
18x + 21 + 10x − 16 = 54
28x = 54 − 21 + 16
28x = 49
x = 49 28 = 7 4 = 1 3 4
Задание №1157
Решите уравнение:
1) 3x(4x − 1) − 6x(1,5 + 2x) = 4,8;
2) 0,2x(5x − 8) + 3,6 = x(x − 0,7);
3) x(9x − 4) − 3x(3x − 1) = 8 − x;
4) 18 x2 − 6 x ( 3 x + 2 ) = − 12 x.
Решение:
1) 3x(4x − 1) − 6x(1,5 + 2x) = 4,8
12 x2 − 3 x − 9 x − 12 x2 = 4, 8
−12x = 4,8
x = 4,8 : −12
x = −0,4
2) 0,2x(5x − 8) + 3,6 = x(x − 0,7)
x2 − 1, 6 x + 3, 6 = x2 − 0, 7 x
x2 − x2 − 1, 6 x + 0, 7 x = − 3, 6
−0,9x = −3,6
x = −3,6 : −0,9
x = 4
3) x(9x − 4) − 3x(3x − 1) = 8 − x
9 x2 − 4 x − 9 x2 + 3 x + x = 8
0 ≠ 8, уравнение не имеет корней.
4) 18 x2 − 6 x ( 3 x + 2 ) = − 12 x
18 x2 − 18 x2 − 12 x + 12 x = 0
0 = 0, уравнение имеет бесконечно много корней.
Задание №1158
Докажите тождество:
1) − 0, 2 x3 ( 2, 5 x − 4 ) ( 6 − x2 ) = 0, 5 x6 − 0, 8 x5 − 3 x4 + 4, 8 x 3;
2) ( a − 2 ) ( a2 + 3 a − 18 ) = ( a − 3 ) ( a2 + 4 a − 12 ).
Решение:
1) − 0, 2 x3 ( 2, 5 x − 4 ) ( 6 − x2 ) = 0, 5 x6 − 0, 8 x5 − 3 x4 + 4, 8 x3
− 0, 2 x3 ( 15 x − 24 − 2, 5 x3 + 4 x2 ) = 0, 5 x6 − 0, 8 x5 − 3 x4 + 4, 8 x3
− 0, 2 x3 ( 15 x − 24 − 2, 5 x3 + 4 x2 ) = 0, 5 x6 − 0, 8 x5 − 3 x4 + 4, 8 x3
− 3 x4 + 4, 8 x3 + 0, 5 x6 − 0, 8 x5 = 0, 5 x6 − 0, 8 x5 − 3 x4 + 4, 8 x3
0, 5 x6 − 0, 8 x5 − 3 x4 + 4, 8 x3 = 0, 5 x6 − 0, 8 x5 − 3 x4 + 4, 8 x3
2) ( a − 2 ) ( a2 + 3 a − 18 ) = ( a − 3 ) ( a2 + 4 a − 12 )
a 3 − 2 a2 + 3 a2 − 6 a − 18 a + 36 = a3 − 3 a2 + 4 a2 − 12 a − 12 a + 36
a 3 + a2 − 24 a + 36 = a3 + a2 − 24 a + 36
Задание №1159
Какое число нужно подставить вместо a, чтобы равенство
( 5 x + a ) ( x − 2 ) = 5 x2 − 7 x − 2 a было тождеством?
Решение:
5 x2 + a x − 10 x − 2 a = 5 x2 − 7 x − 2 a
5 x2 + a x − 10 x − 2 a − 5 x2 + 7 x + 2 a = 0
a x − 3 x = 0
a x = 3 x
a = 3 x x
a = 3
