Задание №1224
При каком значении a разность x − y принимает наименьшее значение, если:
{ x − 5 y = a2 + 10 a + 1,
4 x + y = 4 a2 − 2 a + 4 ?
Решение:
{ x − 5 y = a2 + 10 a + 1 | ∗ − 4
4 x + y = 4 a2 − 2 a + 4
{ − 4 x + 20 y = − 4 a2 − 40 a − 4 4 x + y = 4 a2 − 2 a + 4
− 4 x + 20 y + 4 x + y = − 4 a2 − 40 a − 4 + 4 a2 − 2 a + 4
21y = −42a
y = −42a : 21
y = −2a;
{ x − 5 y = a2 + 10 a + 1
4 x + y = 4 a2 − 2 a + 4 | ∗ 5
{ x − 5 y = a2 + 10 a + 1
20 x + 5 y = 20 a2 − 10 a + 20
x − 5 y + 20 x + 5 y = a2 + 10 a + 1 + 20 a2 − 10 a + 20
21 x = 21 a2 + 21
x = 21 ( a2 + 1 ) 21
x = a2 + 1
x − y = a2 + 1 + 2 a = a2 + 2 a + 1 = ( a + 1 )2 ⩾ 0
Наименьшим значение буде при:
( a + 1 )2 = 0
a + 1 = 0
a = −1
Задание №1225
По окружности, длина которой равна 100 м, движутся два тела. Они встречаются каждые 20 с, двигаясь в одном направлении. Если бы они двигались в противоположных направлениях, то встречались бы каждые 4 с. С какой скоростью они движутся?
Решение:
Пусть x м/с скорость первого тела, y м/с скорость второго тела, тогда:
x − y м/с разница на сколько скорость первого тела больше скорости второго тела;
20(x − y) = 100 м необходимо сократить первому телу, чтобы догнать второе;
x + y м/ч суммарная скорость первого и второго тела при движении навстречу;
4(x + y) = 100 м суммарно необходимо преодолеть двум телам, чтобы встретится.
Составим систему уравнений:
{ 20 ( x − y ) = 100
4 ( x + y ) = 100
{ 20 x − 20 y = 100 | : 20
4 x + 4 y = 100 | : 4
{ x − y = 5
x + y = 25
x − y = 5
−y = 5 − x
y = x − 5
x + x − 5 = 25
2x = 25 + 5
x = 30 : 2
x = 15 м/с скорость первого тела;
y = x − 5 = 15 − 5 = 10 скорость второго тела.
Задание №1226
Сплавили два слитка. Масса одного из них была 105 г, и он содержал 40 % меди. Масса другого слитка составляла 75 г. Найдите процентное содержание меди во втором слитке, если полученный сплав содержит 50 % меди.
Решение:
Пусть x относительная доля меди во втором слитке, тогда:
0,4 * 105 = 42 г меди содержится в первом слитке;
75x г содержится во втором слитке;
105 + 75 = 180 г масса сплава;
0,5 * 180 = 90 г меди содержится в сплаве.
Составим уравнение:
42 + 75x = 90
75x = 90 − 42
x = 48 : 75
x = 0,64.
0,64 * 100% = 64% содержание меди во втором слитке.
Задание №1227
Сколько надо взять 4% − го и сколько 10%−го растворов соли, чтобы получить 180 г 6%−го раствора?
Решение:
Пусть x г масса первого раствора, тогда:
180 − x г масса второго раствора;
0,04x г соли в первом растворе;
0,1(180 − x) г соли во втором растворе;
0,06 * 180 = 10,8 г соли должно быть в общем растворе.
Составим уравнение:
0,04x + 0,1(180 − x) = 10,8
0,04x + 18 − 0,1x = 10,8
−0,06x = 10,8 − 18
x = −7,2 : −0,06
x = 120 г масса первого раствора;
180 − x = 180 − 120 = 60 г масса второго раствора.
Задание №1228
В первом бидоне было молоко жирностью 3 %, а в другом − сливки жирностью 18 %. Сколько надо взять молока и сколько сливок, чтобы получить 10 л молока жирностью 6 %?
Решение:
Пусть молока было x л, тогда:
10 − x л;
0,03x л жира содержится в молоке;
0,18(10 − x) л жира содержится в сливках;
0,06 * 10 = 0,6 л жира должно содержаться в молоке.
Составим уравнение:
0,03x + 0,18(10 − x) = 0,6
0,03x + 1,8 − 0,18x = 0,6
−0,15x = 0,6 − 1,8
x = −1,2 : −0,15
x = 8 л молока нужно взять;
10 − x = 10 − 8 = 2 л сливок нужно взять.
Задание №1229
С одного поля собрали по 40 ц ячменя с гектара, а с другого − по 35 ц с гектара. Всего собрали 2600 ц. На следующий год урожайность первого поля увеличилась на 10%, второго − на 20 %, а в результате вместе собрали на 400 ц больше. Найдите площадь каждого поля.
Решение:
Пусть x га площадь первого поля, а y га площадь второго поля, тогда:
40x ц ячменя собрали с первого поля;
35y ц ячменя собрали со второго поля;
40x + 35y = 2600 ц собрали всего.
(40 + 0,1 * 40)x = 40 * 1,1x ц ячменя собрали с первого поля на следующий год;
(35 + 0,2 * 35)y = 35 * 1,2y ц ячменя собрали со второго поля на следующий год.
40 * 1,1x + 35 * 1,2y = 2600 + 400 ц собрали всего на следующий год.
Составим систему уравнений:
{ 40 x + 35 y = 2600
40 ∗ 1, 1 x + 35 ∗ 1, 2 y = 2600 + 400
{ 40 x + 35 y = 2600 | : 5
44 x + 42 y = 3000 | : 2
{ 8 x + 7 y = 520
22 x + 21 y = 1500
{ 8 x + 7 y = 520 | ∗ − 3
22 x + 21 y = 1500
{ − 24 x − 21 y = − 1560 | ∗ − 3
22 x + 21 y = 1500
−24x − 21y + 22x + 21y = −1560 + 1500
−2x = −60
x = −60 : −2
x = 30 га площадь первого поля;
8 * 30 + 7y = 520
7y = 520 − 240
y = 280 : 7
y = 40 га площадь второго поля.
Ответ: 30 га и 40 га.
Задание №1230
С одного поля собрали по 45 ц пшеницы с гектара, а с другого − по 40 ц с гектара. Всего собрали 1900 ц. На следующий год в связи с засухой урожайность первого поля уменьшилась на 20 %, второго − на 15 %, а в результате всего с двух полей собрали меньше на 330 ц. Найдите площадь каждого поля.
Решение:
Пусть x га площадь первого поля, а y га площадь второго поля, тогда:
45x ц пшеницы собрали с первого поля;
40y ц пшеницы собрали со второго поля;
45x + 40y = 1900 ц собрали всего.
(45 − 0,2 * 45)x = 45 * 0,8x ц пшеницы собрали с первого поля на следующий год;
(40 − 0,15 * 40)y = 40 * 0,85y ц пшеницы собрали со второго поля на следующий год.
45 * 0,8x + 40 * 0,85y = 1900 − 330 ц собрали всего на следующий год.
Составим систему уравнений:
{ 45 x + 40 y = 1900
45 ∗ 0, 8 x + 40 ∗ 0, 85 y = 1900 − 330
{ 45 x + 40 y = 1900 | : 5
36 x + 34 y = 1570
{ 9 x + 8 y = 380
36 x + 34 y = 1570 | : 2
{ 9 x + 8 y = 380 | ∗ − 2
18 x + 17 y = 785
{ − 18 x − 16 y = − 760
18 x + 17 y = 785
−18x − 16y + 18x + 17y = −760 + 785
y = 25 га площадь второго поля;
9x + 8 * 25 = 380
9x = 380 − 200
x = 180 : 9
x = 20 площадь первого поля.
Ответ: 20 га и 25 га.
Задание №1231
Половину конфет расфасовали в мешочки по 500 г в каждый, а вторую половину − в меньшие мешочки по 300 г в каждый. Всего получилось 32 мешочка. Сколько было конфет?
Решение:
Пусть было x мешочков по 500 г и y мешочков по 300 г, тогда:
x + y = 32 мешочков было всего;
500x г конфет расфасовали в мешочки по 500 г;
300y г конфет расфасовали в мешочки по 300 г;
500x = 300y, так в разные мешочки расфасовали по половине конфет.
Составим систему уравнений:
{ x + y = 32
500 x = 300 y
x + y = 32
y = 32 − x
500x = 300(32 − x)
500x = 9600 − 300x
500x + 300x = 9600
x = 9600 : 800
x = 12 мешочков по 500 г было;
y = 32 − x = 32 − 12 = 20 мешочков по 300 г было.
Задание №1232
Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если к этому числу прибавить 63, то получим число, записанное теми же самыми цифрами в обратном порядке. Найдите данное число.
Решение:
Пусть x − цифра десятков, y − цифра единиц, тогда:
x + y = 11 сумма цифр числа.
10x + y − исходное число;
10y + x − число, записанное теми же самыми цифрами в обратном порядке;
10x + y + 63 = 10y + x.
Составим систему уравнений:
{ x + y = 11
10 x + y + 63 = 10 y + x
x + y = 11
y = 11 − x
10x + 11 − x + 63 = 10(11 − x) + x
9x + 74 = 110 − 10x + x
9x + 10x − x = 110 − 74
18x = 36
x = 36 : 18
x = 2;
y = 11 − 2 = 9, следовательно исходное число равно 29.
Задание №1233
К некоторому двузначному числу слева и справа дописали цифру 1. В результате получили число, которое в 21 раз больше данного. Найдите данное двузначное число.
Решение:
Пусть x данное число, тогда:
1x1 = 1000 + 10x + 1 получившееся число;
21x − число в 21 раз больше данного.
Составим уравнение:
1000 + 10x + 1 = 21x
10x − 21x = −1000 − 1
−11x = −1001
x = −1001 : −11
x = 91 данное число.
Задание №1234
Сумма двух чисел равна 28, а разность их квадратов составляет 112. Найдите эти числа.
Решение:
Пусть x − первое число, y − второе число, тогда:
$\{{\textstyle\begin{array}{ll}x+y=28&\\[.2em]x^2-y^2=112&\end{array}}$
x + y = 28
y = 28 − x
x2 − ( 28 − x )2 = 112
x2 − ( 784 − 56 x + x2 ) = 112
x2 − 784 + 56 x − x2 = 112
56x = 112 + 784
x = 896 : 56
x = 16;
y = 28 − x = 28 − 16 = 12.
Ответ: 16 и 12.
