Задание №1160
Какое число можно подставить вместо b, чтобы равенство
( 3 x + b ) ( x + 3 ) = 3 x2 + 5 x + 3 b было тождеством?
Решение:
( 3 x + b ) ( x + 3 ) = 3 x2 + 5 x + 3 b
3 x2 + b x + 9 x + 3 b − 3 x2 − 5 x − 3 b = 0
b x + 4 x = 0
b x = − 4 x
b = − 4 x x
b = −4
Задание №1161
Разложите на множители:
1) 1 2 a6 − 1 4 a2 b;
2) 5 m2 n3 k4 + 35 m4 n3 k 2;
3) x3 y2 z5 − 2 x y5 z3 + 3 x2 y3 z;
4) a2 n b3 n − a n b4 n, где n − натуральное число.
Решение:
1) 1 2 a6 − 1 4 a2 b = 1 2 a2 ( a4 − 1 2 b )
2) 5 m2 n3 k4 + 35 m4 n3 k2 = 5 m2 n3 k2 ( k2 + 7 m2 )
3) x3 y2 z5 − 2 x y5 z3 + 3 x2 y3 z = x y2 z ( x2 z4 − 2 y3 z2 + 3 x y )
4) a2 n b3 n − a n b4 n = a n b3 n ( a n − b n )
Задание №1162
Вычислите, используя вынесение общего множителя за скобки, значение многочлена:
1) a 2 + 4, 72 a − 32, 8, если a = 5,28;
2) 12,3x − 12,3y + 4,7, если x = 8,14, y = 8,04.
Решение:
1) a2 + 4, 72 a − 32, 8 = ( a2 + 4, 72 a ) − 32, 8 = a ( a + 4, 72 ) − 32, 8 = 5, 28 ( 5, 28 + 4, 72 ) − 32, 8 = 5, 28 ∗ 10 − 32, 8 = 52, 8 − 32, 8 = 20
2) 12,3x − 12,3y + 4,7 = (12,3x − 12,3y) + 4,7 = 12,3(x − y) + 4,7 = 12,3(8,14 − 8,04) + 4,7 = 12,3 * 0,1 + 4,7 = 1,23 + 4,7 = 5,93
Задание №1163
Вычислите, используя вынесение общего множителя за скобки:
1) 2, 49 ∗ 1, 35 − 1, 35 ∗ 1, 84 + 1, 35 2;
2) 0, 25 2 ∗ 1, 6 + 0, 25 ∗ 1, 6 2 − 0, 25 ∗ 1, 6 ∗ 0, 85;
3) 3, 24 ∗ 18, 7 − 3, 24 ∗ 16, 4 + 2, 3 ∗ 6, 76;
4) 5, 12 ∗ 9, 76 + 5, 12 ∗ 5, 36 − 5, 12 2.
Решение:
1) 2, 49 ∗ 1, 35 − 1, 35 ∗ 1, 84 + 1, 35 2 = 1, 35 ( 2, 49 − 1, 84 + 1, 35 ) = 1, 35 ∗ 2 = 2, 7
2) 0, 25 2 ∗ 1, 6 + 0, 25 ∗ 1, 6 2 − 0, 25 ∗ 1, 6 ∗ 0, 85 = 1, 6 ∗ 0, 25 ∗ ( 0, 25 + 1, 6 − 0, 85 ) = 0, 4 ∗ 1 = 0, 4
3) 3, 24 ∗ 18, 7 − 3, 24 ∗ 16, 4 + 2, 3 ∗ 6, 76 = ( 3, 24 ∗ 18, 7 − 3, 24 ∗ 16, 4 ) + 2, 3 ∗ 6, 76 = 3, 24 ( 18, 7 − 16, 4 ) + 2, 3 ∗ 6, 76 = 3, 24 ∗ 2, 3 + 2, 3 ∗ 6, 76 = 2, 3 ( 3, 24 + 6, 76 ) = 2, 3 ∗ 10 = 23
4) 5, 12 ∗ 9, 76 + 5, 12 ∗ 5, 36 − 5, 12 2 = 5, 12 ( 9, 76 + 5, 36 − 5, 12 ) = 5, 12 ∗ 10 = 51, 2
Задание №1164
Докажите, что значение выражения:
1) 17 3 + 17 2 − 17 кратно 61;
2) 25 4 − 125 2 кратно 40;
3) 5 ∗ 2 962 − 3 ∗ 2 961 + 2 960 кратно 60.
Решение:
1) 17 3 + 17 2 − 17 = ( 17 3 + 17 2 ) − 17 = 17 2 ( 17 + 1 ) − 17 = 17 2 ∗ 18 − 17 = 17 ( 17 ∗ 18 − 1 ) = 17 ∗ 305 = 17 ∗ 5 ∗ 61, следовательно данное выражение кратно 61.
2) 25 4 − 125 2 = ( 5 2 )4 − ( 5 3 )2 = 5 8 − 5 6 = 5 6 ( 5 2 − 1 ) = 5 6 ∗ 24 = 5 5 ∗ ( 5 ∗ 8 ) ∗ 3 = 5 5 ∗ 40 ∗ 3, следовательно данное выражение кратно 40.
3) 5 ∗ 2 962 − 3 ∗ 2 961 + 2 960 = 2 960 ( 5 ∗ 2 2 − 3 ∗ 2 + 1 ) = 2 960 ( 20 − 6 + 1 ) = 2 958 ∗ 2 2 ∗ 15 = 2 958 ∗ ( 4 ∗ 15 ) = 2 958 ∗ 60, следовательно данное выражение кратно 60.
Задание №1165
Докажите, что число:
1) a b b a ¯ делится нацело на 11;
2) a a a b b b ¯ делится нацело на 37;
3) a b a b a b ¯ делится нацело на 7;
4) a b a b ¯ − b a b a ¯ делится нацело на 9 и на 101.
Решение:
1) a b b a ¯ = 1000 a + 100 b + 10 b ∗ a = 1001 a + 110 b = 11 ( 91 a + 10 b ), следовательно данное число делится нацело на 11.
2) a a a b b b ¯ = 100000 a + 10000 a + 1000 a + 100 b + 10 b + b = 111000 a + 111 b = 111 ( 1000 a + b ) = 37 ∗ 3 ( 1000 a + b ), следовательно данное число делится нацело на 37.
3) a b a b a b ¯ = 100000 a + 10000 b + 1000 a + 100 b + 10 a + b = 101010 a + 10101 b = 10101 ( 10 a + b ) = 7 ∗ 1443 ( 10 a + b ), следовательно данное число делится нацело на 7.
4) a b a b ¯ − b a b a ¯ = 1000 a + 100 b + 10 a + b − 1000 b − 100 a − 10 b − a = 909 a − 909 b = 909 ( a − b ) = 9 ∗ 101 ( a − b ), следовательно данное число делится нацело на 9 и на 101.
Задание №1166
При каком значении a уравнение (x + 2)(x − 4) − (x − 2)(x + 4) = ax имеет бесконечно много корней?
Решение:
(x + 2)(x − 4) − (x − 2)(x + 4) = ax
x2 + 2 x − 4 x − 8 − ( x2 − 2 x + 4 x − 8 ) = a x
x2 + 2 x − 4 x − 8 − x2 + 2 x − 4 x + 8 = a x
2x − 4x + 2x − 4x = ax
−4x = ax
a = − 4 x x
a = −4, то есть при a = −4 уравнение имеет бесконечно много корней, так как:
−4x = ax
−4x = −4x
Задание №1167
При каком значении a уравнение (3x − 1)(x + a) = (3x − 2)(x + 1) не имеет корней?
Решение:
(3x − 1)(x + a) = (3x − 2)(x + 1)
3 x2 − x + 3 a x − a = 3 x2 − 2 x + 3 x − 2
3 x2 − 3 x2 − x + 2 x − 3 x + 3 a x − a = − 2
−2x + 3ax = a − 2
x(3a − 2) = a − 2
3a − 2 = 0
3a = 2
a = 2 3, то есть при данном значении а уравнение не имеет корней, так как:
x ( 3 ∗ 2 3 − 2 ) = a − 2
x(2 − 2) = a − 2
0x = a − 2
0 ≠ a − 2
Задание №1168
Разложите на множители:
1) xm − xn + ym − yn;
2) 3a − 3b + ac − bc;
3) 9a − ab − 9 + b;
4) a 5 + a3 + 2 a2 + 2;
5) 6 a b2 − 3 b2 + 2 a2 b − a b;
6) 2 c3 − 5 c2 d − 4 c + 10 d;
7) x3 y2 − x + x2 y3 − y;
8) a x2 − a y − c y + b x2 + c x2 − b y.
Решение:
1) xm − xn + ym − yn = (xm − xn) + (ym − yn) = x(m − n) + y(m − n) = (m − n)(x + y)
2) 3a − 3b + ac − bc = (3a − 3b) + (ac − bc) = 3(a − b) + c(a − b) = (a − b)(3 + c)
3) 9a − ab − 9 + b = (9a − ab) − (9 − b) = a(9 − b) − (9 − b) = (9 − b)(a − 1)
4) a5 + a3 + 2 a2 + 2 = ( a5 + a3 ) + ( 2 a2 + 2 ) = a3 ( a2 + 1 ) + 2 ( a2 + 1 ) = ( a2 + 1 ) ( a3 + 2 )
5) 6 a b2 − 3 b2 + 2 a2 b − a b = ( 6 a b2 − 3 b2 ) + ( 2 a2 b − a b ) = 3 b2 ( 2 a − 1 ) + a b ( 2 a − 1 ) = ( 2 a − 1 ) ( 3 b2 + a b ) = b ( 2 a − 1 ) ( 3 b + a )
6) 2 c3 − 5 c2 d − 4 c + 10 d = ( 2 c3 − 4 c ) − ( 5 c2 d − 10 d ) = 2 c ( c2 − 2 ) − 5 d ( c2 − 2 ) = ( c2 − 2 ) ( 2 c − 5 d )
7) x3 y2 − x + x2 y3 − y = ( x3 y2 − x ) + ( x2 y3 − y ) = x ( x2 y2 − 1 ) + y ( x2 y2 − 1 ) = ( x2 y2 − 1 ) ( x + y )
8) a x2 − a y − c y + b x2 + c x2 − b y = ( a x2 + b x2 + c x2 ) − ( a y + c y + b y ) = x2 ( a + b + c ) − y ( a + b + c ) = ( a + b + c ) ( x2 − y )
Задание №1169
Вычислите значение выражения:
1) 1, 66 2 + 1, 66 ∗ 4, 68 + 2, 34 2;
2) 1, 04 2 − 1, 04 ∗ 1, 28 + 0, 64 2.
Решение:
1) 1, 66 2 + 1, 66 ∗ 4, 68 + 2, 34 2 = 1, 66 2 + 1, 66 ∗ 2, 34 ∗ 2 + 2, 34 2 = ( 1, 66 + 2, 34 )2 = 4 2 = 16
2) 1, 04 2 − 1, 04 ∗ 1, 28 + 0, 64 2 = 1, 04 2 − 1, 04 ∗ 0, 64 ∗ 2 + 0, 64 2 = ( 1, 04 − 0, 64 )2 = 0, 4 2 = 0, 16
Задание №1170
При каких значениях a, b, c и d выполняется равенство
a b ¯ ∗ c d ¯ = a d ¯ ∗ c b ¯?
Решение:
a b ¯ ∗ c d ¯ = a d ¯ ∗ c b ¯
(10a + b)(10c + d) = (10a + d)(10c + b)
100ac + 10bc + 10ad + bd = 100ac + 10cd + 10ab + bd
10bc + 10ad = 10cd + 10ab
bc + ad = cd + ab
bc = cd
b = d,
ad = ab
d = b.
Ответ: равенство будет при d = b, при этом переменные a и c могут принимать любые значения.
