Задание №1185
Существует ли такое натуральное значение n, при котором значение выражения
( 2 n − 3 ) ( 2 n + 3 ) − ( n + 3 )2 не делилось бы нацело на 3?
Решение:
( 2 n − 3 ) ( 2 n + 3 ) − ( n + 3 )2 = 4 n2 − 9 − ( n2 + 6 n + 9 ) = 4 n2 − 9 − n2 − 6 n − 9 = 3 n2 − 6 n − 18 = 3 ( n2 − 6 n − 18 ), при любом значении n значение данного выражение будет кратно 3, а значит нет такого значения n при котором значение данного выражения не делилось бы нацело на 3.
Задание №1186
Решите уравнение:
1) 3 ( x − 7 )2 − 2 ( x + 7 ) ( x − 2 ) = ( x + 11 ) ( x − 4 ) + 101;
2) 2 x ( x + 3 )2 − 3 x ( x − 1 ) ( x + 8 ) = x2 ( − x − 9 ) + 21;
3) y ( 2 y − 5 ) ( 2 y + 5 ) − 4 y ( y + 6 )2 = 13 − 48 y 2.
Решение:
1) 3 ( x − 7 )2 − 2 ( x + 7 ) ( x − 2 ) = ( x + 11 ) ( x − 4 ) + 101
3 ( x2 − 14 x + 49 ) − 2 ( x2 + 7 x − 2 x − 14 ) = x2 + 11 x − 4 x − 44 + 101
3 x2 − 42 x + 147 − 2 x2 − 14 x + 4 x + 28 = x2 + 11 x − 4 x + 57
3 x2 − 2 x2 − x2 − 42 x − 14 x + 4 x − 11 x + 4 x = 57 − 147 − 28
−59x = −118
x = −118 : −59
x = 2
2) 2 x ( x + 3 )2 − 3 x ( x − 1 ) ( x + 8 ) = x2 ( − x − 9 ) + 21
2 x ( x2 + 6 x + 9 ) − 3 x ( x2 − x + 8 x − 8 ) = − x3 − 9 x2 + 21
2 x3 + 12 x2 + 18 x − 3 x3 + 3 x2 − 24 x2 + 24 x = − x3 − 9 x2 + 21
( 2 x3 + x3 − 3 x3 ) + ( 12 x2 + 3 x2 − 24 x2 + 9 x2 ) + ( 18 x + 24 x ) = 21
42x = 21
x = 21 : 42
x = 0,5
3) y ( 2 y − 5 ) ( 2 y + 5 ) − 4 y ( y + 6 )2 = 13 − 48 y2
y ( 4 y2 − 25 ) − 4 y ( y2 + 12 y + 36 ) = 13 − 48 y2
4 y3 − 25 y − 4 y3 − 48 y2 − 144 y + 48 y2 = 13
( 4 y3 − 4 y3 ) + ( − 48 y2 + 48 y2 ) + ( − 25 y − 144 y ) = 13
−169y = 13
y = − 13 169 = − 1 13
Задание №1187
Представьте в виде квадрата двучлена выражение:
1) ( a + 4 )2 − 2 ( a + 4 ) + 1;
2) ( 3 b + 2 )2 + 4 ( 3 b + 2 ) + 4;
3) ( 3 y + 8 )2 + ( 4 y + 6 )2 + 4 y;
4) ( x − 5 y )2 + ( x + 12 y )2 − x ( x − 12 y ).
Решение:
1) ( a + 4 )2 − 2 ( a + 4 ) + 1 = ( a + 4 − 1 )2 = ( a + 3 ) 2
2) ( 3 b + 2 )2 + 4 ( 3 b + 2 ) + 4 = ( 3 b + 2 + 2 )2 = ( 3 b + 4 ) 2
3) ( 3 y + 8 )2 + ( 4 y + 6 )2 + 4 y = 9 y2 + 48 y + 64 + 16 y2 + 48 y + 36 + 4 y = 25 y + 100 y + 100 = ( 5 y + 10 ) 2
4) ( x − 5 y )2 + ( x + 12 y )2 − x ( x − 12 y ) = x2 − 10 x y + 25 y2 + x2 + 24 x y + 144 y2 − x2 + 12 x y = ( x2 + x2 − x2 ) + ( − 10 x y + 24 x y + 12 x y ) + ( 25 y2 + 144 y2 ) = x2 + 26 x y + 169 y2 = ( x + 13 y ) 2
Задание №1188
Сумму какого одночлена и трехчлена
4 a2 − 6 a b + 9 b2 можно разложить на множители по формуле квадрата двучлена? Найдите еще три таких одночлена.
Решение:
4 a2 − 6 a b + 9 b2 + ( − 6 a b ) = 4 a2 − 12 a b + 9 b2 = ( 2 a − 3 b ) 2
4 a2 − 6 a b + 9 b2 + 18 a b = 4 a2 + 12 a b + 9 b2 = ( 2 a + 3 b ) 2
4 a2 − 6 a b + 9 b2 + ( − 3 a2 ) = a2 − 6 a b + 9 b2 = ( a − 3 b ) 2
Задание №1189
Докажите, что не имеет корней уравнение:
1) x2 − 8 x + 18 = 0;
2) x2 + x + 1 = 0.
Решение:
1) x2 − 8 x + 18 = 0
x2 − 2 ∗ 4 ∗ x + 16 + 2 = 0
( x − 4 )2 + 2 = 0
( x − 4 )2 ≠ − 2, так как ( x − 4 )2 ⩾ 0, следовательно уравнение не имеет корней.
2) x2 + x + 1 = 0
x2 + 2 ∗ 1 2 ∗ x + 1 4 + 3 4 = 0
( x + 1 2 )2 + 3 4 = 0
( x + 1 2 )2 ≠ − 3 4, так как ( x + 1 2 )2 ⩾ 0, следовательно уравнение не имеет корней.
Задание №1190
Разложите на множители:
1) 1 64 a8 − b 6;
2) a3 b6 c9 + 8;
3) x 21 y 24 − m 12 n 15;
4) a6 b6 + 1.
Решение:
1) 1 64 a8 − b6 = ( 1 2 )6 a8 − b6 = ( ( 1 2 )3 a4 )2 − ( b3 )2 = ( 1 8 a4 − b3 ) ( 1 8 a4 + b3 )
2) a3 b6 c9 + 8 = ( a b2 c3 )3 + 2 3 = ( a b2 c3 + 2 ) ( ( a b2 c3 )2 − 2 a b2 c3 + 2 2 ) = ( a b2 c3 + 2 ) ( a2 b4 c6 − 2 a b2 c3 + 4 )
3) x 21 y 24 − m 12 n 15 = ( x7 y8 )3 − ( m4 n5 )3 = ( x7 y8 − m4 n5 ) ( ( x7 y8 )2 + x7 y8 m4 n5 + ( m4 n5 )2 ) = ( x7 y8 − m4 n5 ) ( x 14 y 16 + x7 y8 m4 n5 + m8 n10 )
4) a6 b6 + 1 = ( a2 b2 )3 + 1 3 = ( a2 b2 + 1 ) ( ( a2 b2 )2 − a2 b2 + 1 ) = ( a2 b2 + 1 ) ( a4 b4 − a2 b2 + 1 )
Задание №1191
На сколько значение выражения
27 a3 + 4 − ( 9 a2 − 3 a + 1 ) ( 3 a + 1 ) меньше числа 10?
Решение:
10 − ( 27 a3 + 4 − ( 9 a2 − 3 a + 1 ) ( 3 a + 1 ) ) = 10 − ( 27 a3 + 4 − ( 3 a 1 + 1 3 ) ) = 10 − ( 27 a3 + 4 − 27 a3 − 1 ) = 10 − 3 = 7
Задание №1192
Решите уравнение:
1) ( x − 2 ) ( x2 + 2 x + 4 ) = x3 + 24 x;
2) ( 3 − 2 x ) ( 9 + 6 x + 4 x2 ) − 2 x ( 5 − 2 x ) ( 5 + 2 x ) = 7.
Решение:
1) ( x − 2 ) ( x2 + 2 x + 4 ) = x3 + 24 x
x 3 − 8 = x3 + 24 x
24 x + x3 − x3 = − 8
x = − 8 24 = − 1 3
2) ( 3 − 2 x ) ( 9 + 6 x + 4 x2 ) − 2 x ( 5 − 2 x ) ( 5 + 2 x ) = 7
27 − 8 x3 − 2 x ( 25 − 4 x2 ) = 7
27 − 8 x3 − 50 x + 8 x3 = 7
−50x = 7 − 27
x = 20 50 = 2 5
Задание №1193
Делится ли значение выражения
37 3 + 23 3 нацело на 60?
Решение:
37 3 + 23 3 = ( 37 + 23 ) ( 37 2 − 37 ∗ 23 + 23 2 ) = 60 ∗ ( 37 2 − 37 ∗ 23 + 23 2 ), следовательно данное выражение делится нацело на 60.
Задание №1194
Делится ли значение выражения
654 3 − 554 3 нацело на 200?
Решение:
654 3 − 554 3 = ( 654 − 554 ) ( 654 2 + 654 ∗ 554 + 554 2 ) = 100 ∗ ( 654 2 + 654 ∗ 554 + 554 2 )
Все слагаемые выражения ( 654 2 + 654 ∗ 554 + 554 2 ) четные, следовательно можно вынести число 2 за скобку и тогда один из множителей станет равен 200 = 100 * 2, следовательно данное выражение делится нацело на 200.
Задание №1195
Разложите на множители?
1) ( a − b ) ( a + b ) − c ( c − 2 b );
2) ( b − c ) ( b + c ) − a ( a + 2 c ).
Решение:
1) ( a − b ) ( a + b ) − c ( c − 2 b ) = a2 − b2 − c2 + 2 b c = a2 − ( b2 − 2 b c + c2 ) = a2 − ( b − c )2 = ( a − b + c ) ( a + b − c )
2) ( b − c ) ( b + c ) − a ( a + 2 c ) = b2 − c2 − a2 − 2 a c = b2 − ( a2 + 2 a c + c2 ) = b2 − ( a + c )2 = ( b − a − c ) ( b + a + c )
Задание №1196
Из следующих четырех выражений только три можно разложить на множители. Найдите эти выражения и разложите их на множители:
1) 9mx − 6nx + 6my − 4ny;
2) 36 x2 − 24 x + 4 − y 2;
3) x2 − 4 x + y2 + 2 y + 5;
4) 4 a + 3 + a2 + 2 b − b 2.
Решение:
1) 9mx − 6nx + 6my − 4ny = (9mx − 6nx) + (6my − 4ny) = 3x(3m − 2n) + 2y(3m − 2n) = (3m − 2n)(3x + 2y)
2) 36 x2 − 24 x + 4 − y2 = ( 36 x2 − 24 x + 4 ) − y2 = ( 6 x − 2 )2 − y2 = ( 6 x − 2 − y ) ( 6 x − 2 + y )
3) x2 − 4 x + y2 + 2 y + 5 = x2 − 4 x + y2 + 2 y + 4 + 1 = ( x2 − 4 x + 4 ) + ( y2 + 2 y + 1 ) = ( x − 2 )2 + ( y + 1 )2 − разложить на множители невозможно.
4) 4 a + 3 + a2 + 2 b − b2 = 4 a + 4 − 1 + a2 + 2 b − b2 = ( a2 + 4 a + 4 ) − ( b2 − 2 b + 1 ) = ( a + 2 )2 − ( b − 1 )2 = ( a + 2 − b + 1 ) ( a + 2 + b − 1 ) = ( a − b + 3 ) ( a + b + 1 )
Задание №1197
Представьте в виде произведения четырех множителей выражение:
1) a 5 − a4 − 16 a + 16;
2) a2 n b2 n − b2 n − a2 n + 1, где n − натуральное число.
Решение:
1) a5 − a4 − 16 a + 16 = ( a5 − a4 ) − ( 16 a − 16 ) = a4 ( a − 1 ) − 16 ( a − 1 ) = ( a − 1 ) ( a4 − 16 ) = ( a − 1 ) ( a2 − 4 ) ( a2 + 4 ) = ( a − 1 ) ( a − 2 ) ( a + 2 ) ( a2 + 4 )
2) a2 n b2 n − b2 n − a2 n + 1 = ( a2 n b2 n − b2 n ) − ( a2 n − 1 ) = b2 n ( a2 n − 1 ) − ( a2 n − 1 ) = ( a2 n − 1 ) ( b2 n − 1 ) = ( a n − 1 ) ( a n + 1 ) ( b n − 1 ) ( b n + 1 )
Задание №1198
Найдите значение выражения:
1) 1, 87 2 − 1, 13 2 + 6 ∗ 1, 13;
2) 1, 628 3 − 1, 2 ∗ 1, 628 ∗ 1, 228 − 1, 228 3;
3) 0, 79 3 + 3 ∗ 0, 79 ∗ 0, 21 − 0, 21 3.
Решение:
1) 1, 87 2 − 1, 13 2 + 6 ∗ 1, 13 = ( 1, 87 2 − 1, 13 2 ) + 6 ∗ 1, 13 = ( 1, 87 − 1, 13 ) ( 1, 87 + 1, 13 ) + 6 ∗ 1, 13 = 0, 74 ∗ 3 + 6 ∗ 1, 13 = 3 ( 0, 74 + 2 ∗ 1, 13 ) = 3 ( 0, 74 + 2, 26 ) = 3 ∗ 3 = 9
2) 1, 628 3 − 1, 2 ∗ 1, 628 ∗ 1, 228 − 1, 228 3 = ( 1, 628 3 − 1, 228 3 ) − 1, 2 ∗ 1, 628 ∗ 1, 228 = ( 1, 628 − 1, 228 ) ( 1, 628 2 + 1, 628 ∗ 1, 228 + 1, 228 2 ) − 1, 2 ∗ 1, 628 ∗ 1, 228 = 0, 4 ( 1, 628 2 + 1, 628 ∗ 1, 228 + 1, 228 2 ) − 1, 2 ∗ 1, 628 ∗ 1, 228 = 0, 4 ∗ 1, 628 2 + 0, 4 ∗ 1, 628 ∗ 1, 228 + 0, 4 ∗ 1, 228 2 − 1, 2 ∗ 1, 628 ∗ 1, 228 = 0, 4 ∗ 1, 628 2 − 0, 8 ∗ 1, 628 ∗ 1, 228 + 0, 4 ∗ 1, 228 2 = 0, 4 ( 1, 628 2 − 2 ∗ 1, 628 ∗ 1, 228 + 1, 228 2 ) = 0, 4 ( 1, 628 − 1, 228 )2 = 0, 4 ∗ 0, 4 2 = 0, 4 3 = 0, 064
3) В задании опечатка. Чтобы ответ совпадал с ответами в конце учебника, выражение должно выглядеть так:
0, 79 3 + 3 ∗ 0, 79 ∗ 0, 21 + 0, 21 3 = ( 0, 79 3 + 0, 21 3 ) + 3 ∗ 0, 79 ∗ 0, 21 = ( 0, 79 + 0, 21 ) ( 0, 79 2 − 0, 79 ∗ 0, 21 + 0, 21 2 ) + 3 ∗ 0, 79 ∗ 0, 21 = 0, 79 2 − 0, 79 ∗ 0, 21 + 0, 21 2 + 3 ∗ 0, 79 ∗ 0, 21 = 0, 79 2 + 2 ∗ 0, 79 ∗ 0, 21 + 0, 21 2 = ( 0, 79 + 0, 21 )2 = 1 2 = 1
Задание №1199
Докажите, что значение выражения
17 10 − 3 ∗ 7 24 + 3 ∗ 7 25 + 17 9 делится нацело:
1) на 18;
2) на 36.
Решение:
1) 17 10 − 3 ∗ 7 24 + 3 ∗ 7 25 + 17 9 = ( 17 10 + 17 9 ) − ( 3 ∗ 7 24 − 3 ∗ 7 25 ) = 17 9 ( 17 + 1 ) − 3 ∗ 7 24 ( 1 − 7 ) = 18 ∗ 17 9 − 3 ∗ 7 24 ∗ − 6 = 18 ∗ 17 9 + 18 ∗ 7 24 = 18 ( 17 9 + 7 24 ), следовательно данное выражение 18.
2) 17 10 − 3 ∗ 7 24 + 3 ∗ 7 25 + 17 9 = ( 17 10 + 17 9 ) − ( 3 ∗ 7 24 − 3 ∗ 7 25 ) = 17 9 ( 17 + 1 ) − 3 ∗ 7 24 ( 1 − 7 ) = 18 ∗ 17 9 − 3 ∗ 7 24 ∗ − 6 = 18 ∗ 17 9 + 18 ∗ 7 24 = 18 ( 17 9 + 7 24 )
В сумме 17 9 + 7 24 слагаемые 17 9 и 7 24 числа нечетные, так как при умножении 7 на 7 последняя цифра числа всегда будет 9.
Сумма двух нечетных чисел число четное, а следовательно из данной суммы можно вынести множитель 2. Тогда 2 * 18 = 36, а значит данное выражение делится нацело на 36.
