Задание №1171
Упростите выражение:
1) 6 x2 + ( 2 y − 3 x ) ( 2 y + 3 x );
2) ( a + 2 ) ( a − 3 ) − ( 4 − a ) ( a + 4 );
3) ( 5 − 2 x ) ( 5 + 2 x ) − ( 3 − 2 x ) ( 4 − 2 x );
4) ( 2 a b + 1 ) ( 2 a b − 1 ) ( 16 a4 b4 + 1 ) ( 4 a2 b2 + 1 ).
Решение:
1) 6 x2 + ( 2 y − 3 x ) ( 2 y + 3 x ) = 6 x2 + ( ( 2 y )2 − ( 3 x )2 ) = 6 x2 + 4 y2 − 9 x2 = 4 y2 − 3 x2
2) ( a + 2 ) ( a − 3 ) − ( 4 − a ) ( a + 4 ) = a2 + 2 a − 3 a − 6 − ( 4 a − a2 + 16 − 4 a ) = a2 + 2 a − 3 a − 6 − 4 a + a2 − 16 + 4 a = ( a2 + a2 ) + ( 2 a − 3 a − 4 a + 4 a ) + ( − 6 − 16 ) = 2 a2 − a − 22
3) ( 5 − 2 x ) ( 5 + 2 x ) − ( 3 − 2 x ) ( 4 − 2 x ) = 5 2 − ( 2 x )2 − ( 12 − 8 x − 6 x + 4 x2 ) = 25 − 4 x2 − 12 + 8 x + 6 x − 4 x2 = ( − 4 x2 − 4 x2 ) + ( 8 x + 6 x ) + ( 25 − 12 ) = − 8 x2 + 14 x + 13
4) ( 2 a b + 1 ) ( 2 a b − 1 ) ( 16 a4 b4 + 1 ) ( 4 a2 b2 + 1 ) = ( 4 a2 b2 − 1 ) ( 16 a4 b4 + 1 ) ( 4 a2 b2 + 1 ) = ( 16 a4 b4 − 1 ) ( 16 a4 b4 + 1 ) = 256 a8 b8 − 1
Задание №1172
Вычислите значение произведения, используя формулу
( a − b ) ( a + b ) = a2 − b 2:
1) 19 * 21;
2) 98 * 102;
3) 2 2 3 ∗ 3 1 3;
4) 7,9 * 8,1.
Решение:
1) 19 * 21 = (20 − 1)(20 + 1) = 20^2 − 1^2 = 400 − 1 = 399
2) 98 * 102 = (100 − 2)(100 + 2) = 100^2 − 2^2 = 10000 − 4 = 9996
3) 2 2 3 ∗ 3 1 3 = ( 3 − 1 3 ) ( 3 + 1 3 ) = 3 2 − ( 1 3 )2 = 9 − 1 9 = 8 8 9
4) 7,9 * 8,1 = (8 − 0,1)(8 + 0,1) = 8^2 − 0,1^2 = 64 − 0,01 = 63,99
Задание №1173
Решите уравнение:
1) 4x(7 + 9x) − (6x + 5)(6x − 5) = 39;
2) (x − 8)(x + 10) − (x + 7)(x − 7) = 5x − 31.
Решение:
1) 4x(7 + 9x) − (6x + 5)(6x − 5) = 39
28 x + 36 x2 − ( 36 x2 − 25 ) = 39
28 x + 36 x2 − 36 x2 + 25 = 39
28x = 39 − 25
x = 14 : 28
x = 0,5
2) (x − 8)(x + 10) − (x + 7)(x − 7) = 5x − 31
x2 − 8 x + 10 x − 80 − ( x2 − 49 ) = 5 x − 31
x2 − 8 x + 10 x − 80 − x2 + 49 = 5 x − 31
−8x + 10x − 5x = −31 + 80 − 49
−3x = 0
x = 0
Задание №1174
Докажите, что значение выражения
(a + b − c)(a − b) + (b + c − a)(b − c) + (c + a − b)(c − a)
тождественно равно нулю.
Решение:
( a + b − c ) ( a − b ) + ( b + c − a ) ( b − c ) + ( c + a − b ) ( c − a ) = a2 + a b − a c − a b − b2 + b c + b2 + b c − a b − b c − c2 + a c + c2 + a c − b c − a c − a2 + a b = ( a2 − a2 ) + ( a b − a b − a b + a b ) + ( − a c + a c + a c − a c ) + ( − b2 + b2 ) + ( b c + b c − b c − b c ) + ( − c2 + c2 ) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Задание №1175
Найдите значение выражения:
1) 43 2 − 23 2;
2) 256 2 − 244 2;
3) 7, 2 2 − 2, 8 2.
Решение:
1) 43 2 − 23 2 = ( 43 − 23 ) ( 43 + 23 ) = 20 ∗ 66 = 1320
2) 256 2 − 244 2 = ( 256 − 244 ) ( 256 + 244 ) = 12 ∗ 500 = 6000
3) 7, 2 2 − 2, 8 2 = ( 7, 2 − 2, 8 ) ( 7, 2 + 2, 8 ) = 4, 4 ∗ 10 = 44
Задание №1176
Вычислите:
1) 39 2 − 33 2 24 2 − 12 2;
2) 5, 3 2 − 1, 7 2 2, 65 2 − 0, 85 2.
Решение:
1) 39 2 − 33 2 24 2 − 12 2 = ( 39 − 33 ) ( 39 + 33 ) ( 24 − 12 ) ( 24 + 12 ) = 6 ∗ 72 12 ∗ 36 = 1 ∗ 2 2 ∗ 1 = 1
2) 5, 3 2 − 1, 7 2 2, 65 2 − 0, 85 2 = ( 5, 3 − 1, 7 ) ( 5, 3 + 1, 7 ) ( 2, 65 − 0, 85 ) ( 2, 65 + 0, 85 ) = 3, 6 ∗ 7 1, 8 ∗ 3, 5 = 2 ∗ 2 1 ∗ 1 = 4
Задание №1177
Решите уравнение:
1) 36 x2 − ( 3 x − 27 )2 = 0;
2) ( 4 x − 7 )2 − ( 2 x + 17 )2 = 0.
Решение:
1) 36 x2 − ( 3 x − 27 )2 = 0
(6x − 3x + 27)(6x + 3x − 27) = 0
(3x + 27)(9x − 27) = 0
3x + 27 = 0
3x = −27
x = −27 : 3
x1 = − 9;
9x − 27 = 0
9x = 27
x = 27 : 9
x2 = 3.
2) ( 4 x − 7 )2 − ( 2 x + 17 )2 = 0
(4x − 7 − 2x − 17)(4x − 7 + 2x + 17) = 0
(2x − 24)(6x + 10) = 0
2x − 24 = 0
2x = 24
x = 24 : 2
x1 = 12;
6x + 10 = 0
6x = −10
x2 = − 10 6 = − 5 3 = − 1 2 3.
Задание №1178
Докажите, что при любом значении n значение выражения:
1) ( 4 n + 19 )2 − ( 3 n − 5 )2 делится нацело на 7;
2) ( 2 n + 5 )2 − ( 2 n − 3 )2 делится нацело на 16.
Решение:
1) ( 4 n + 19 )2 − ( 3 n − 5 )2 = ( 4 n + 19 − 3 n + 5 ) ( 4 n + 19 + 3 n − 5 ) = ( n + 24 ) ( 7 n + 14 ) = 7 ( n + 24 ) ( n + 2 ), следовательно значение данного выражения делится нацело на 7.
2) ( 2 n + 5 )2 − ( 2 n − 3 )2 = ( 2 n + 5 − 2 n + 3 ) ( 2 n + 5 + 2 n − 3 ) = 8 ( 4 n + 2 ) = 16 ( 2 n + 1 ), следовательно значение данного выражения делится нацело на 16.
Задание №1179
Докажите, что при любом значении n значение выражения
( n2 − 3 n + 1 )2 − n4 − 8 n2 + 3 n + 5 кратно 6.
Решение:
( n2 − 3 n + 1 )2 − n4 − 8 n2 + 3 n + 5 = ( n2 − 3 n )2 + 2 ( n2 − 3 n ) + 1 − n4 − 8 n2 + 3 n + 5 = n4 − 6 n3 + 9 n2 + 2 n2 − 6 n + 1 − n4 − 8 n2 + 3 n + 5 = ( n4 − n4 ) − 6 n3 + ( 9 n2 + 2 n2 − 8 n2 ) + ( − 6 n + 3 n ) + ( 1 + 5 ) = − 6 n3 + 3 n2 − 3 n + 6 = ( − 6 n3 + 6 ) + ( 3 n2 − 3 n ) = − 6 ( n3 − 1 ) + 3 n ( n − 1 )
Слагаемое − 6 ( n3 − 1 ), а в слагаемом 3n(n − 1) числа n и n − 1 последовательные, а значит одно из них четное, следовательно слагаемое 3n(n − 1) также кратно 6. Поэтому в выражении − 6 ( n3 − 1 ) + 3 n ( n − 1 ) число 6 можно вынести за скобку, а значит данное выражение кратно 6.
Задание №1180
Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения
16 n4 − ( 4 n2 − 2 n − 1 )2 + 8 n + 1 кратно 4.
Решение:
16 n4 − ( 4 n2 − 2 n − 1 )2 + 8 n + 1 = 16 n4 − ( ( 4 n2 − 2 n )2 − 2 ( 4 n2 − 2 n ) + 1 ) + 8 n + 1 = 16 n4 − ( 16 n4 − 16 n3 + 4 n2 − 8 n2 + 4 n + 1 ) + 8 n + 1 = 16 n4 − 16 n4 + 16 n3 − 4 n2 + 8 n2 − 4 n − 1 + 8 n + 1 = ( 16 n4 − 16 n4 ) + 16 n3 + ( − 4 n2 + 8 n2 ) + ( − 4 n + 8 n ) + ( − 1 + 1 ) = 16 n3 + 4 n2 + 4 n = 4 ( 4 n3 + n2 + n ), следовательно значение данного выражения кратно 4.
Задание №1181
При каком значении a уравнение
( a − 3 ) ( a + 5 ) x = a2 − 9:
1) имеет бесконечно много корней;
2) не имеет корней;
3) имеет один корень?
Решение:
1) (a − 3)(a + 5)x = 0
a − 3 = 0
a 1 = 3;
a + 5 = 0
a 2 = − 5.
a 2 − 9 = 0
a 2 = 9
a 3 = 3;
a 4 = − 3, следовательно при a = 3 уравнение имеет бесконечно много корней:
( 3 − 3 ) ( 3 + 5 ) x = 3 2 − 9
0 * 8x = 9 − 9
0 = 0
2) (a − 3)(a + 5)x = 0
a − 3 = 0
a 1 = 3;
a + 5 = 0
a 2 = − 5.
a 2 − 9 ≠ 0
a 2 ≠ 9
a 3 ≠ 3;
a 4 ≠ − 3, следовательно при a = −5 уравнение не имеет корней:
( − 5 − 3 ) ( − 5 + 5 ) x = ( − 5 )2 − 9
−8 * 0x = 25 − 9
0 ≠ 16
3) Так как при a = 3 уравнение имеет бесконечно много корней, а при a = −5 уравнение не имеет корней, то при a ≠ 3 и a ≠ −5 уравнение будет иметь один корень.
Задание №1182
Используя формулу квадрата суммы или формулу квадрата разности, вычислите:
1) 69 2;
2) 91 2;
3) 52 2;
4) 97 2;
5) 299 2;
6) 10, 2 2.
Решение:
1) 69 2 = ( 70 − 1 )2 = 4900 − 140 + 1 = 4761
2) 91 2 = ( 90 + 1 )2 = 8100 + 180 + 1 = 8281
3) 52 2 = ( 50 + 2 )2 = 2500 + 200 + 4 = 2704
4) 97 2 = ( 100 − 3 )2 = 10000 − 600 + 9 = 9409
5) 299 2 = ( 300 − 1 )2 = 90000 − 600 + 1 = 89401
6) 10, 2 2 = ( 10 + 0, 2 )2 = 100 + 4 + 0, 04 = 104, 04
Задание №1183
На сколько значение выражения
( 3 a2 − 2 )2 − ( 3 a2 − 1 ) ( 3 a2 + 1 ) + 12 a2 больше числа 2?
Решение:
( 3 a2 − 2 )2 − ( 3 a2 − 1 ) ( 3 a2 + 1 ) + 12 a2 − 2 = 9 a4 − 12 a2 + 4 − ( 9 a4 − 1 ) + 12 a2 − 2 = 9 a4 − 12 a2 + 4 − 9 a4 + 1 + 12 a2 − 2 = 4 + 1 − 2 = 3
Задание №1184
Докажите, что не существует натурального значения n, при котором значение выражения
( 8 n + 5 ) ( 2 n + 1 ) − ( 4 n + 1 )2 делилось бы нацело на 5.
Решение:
( 8 n + 5 ) ( 2 n + 1 ) − ( 4 n + 1 )2 = 16 n2 + 10 n + 8 n + 5 − ( 16 n2 + 8 n + 1 ) = 16 n2 + 10 n + 8 n + 5 − 16 n2 − 8 n − 1 = 10 n + 4
В сумме 10n + 4 слагаемое 10n делится нацело на 5 при любом значении n, однако слагаемое 4 не будет делится нацело на 5 ни при каком значении n, следовательно не существует натурального значения n, при котором значение данного выражения делилось бы нацело на 5.
