Ответы к странице 234 №1200-1213 ГДЗ к учебнику Алгебра 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир

Задание №1200

Докажите, что разность куба натурального числа и самого этого числа делится нацело на 6.

Решение:

Пусть n − натуральное число, тогда:
n 3 − n = n ( n² − 1 ) = n ( n − 1 ) ( n + 1 ) получили произведение трех последовательных натуральных чисел. Данное произведение делится и на 2 и на 3, следовательно делится нацело и на 6.

Задание №1201

Докажите, что сумма произведения трех последовательных натуральных чисел и среднего из этих чисел равна кубу среднего числа.

Решение:

Пусть n − 1 первое натуральное число, тогда:
n − второе натуральное число;
n + 1 − третье натуральное число.
n ( n − 1 ) ( n + 1 ) + n = n ( n² − 1 ) + n = n³ − n + n = n 3

Задание №1202

Пусть x + y = a, xy = b. Докажите, что:
1) x² + y² = a² − 2 b;
2) x³ + y³ = a³ − 3 a b;
3) x⁴ + y⁴ = a⁴ − 4 a² b + 2 b 4.

Решение:

1) x² + y² = a² − 2 b
x² + y² = ( x + y )² − 2 x y
x² + y² = x² + 2 x y + y² − 2 x y
x² + y² = x² + y²

2) x³ + y³ = ( x + y )³ − 3 x y ( x + y )
x 3 + y³ = x³ + 3 x² y + 3 x y² + y³ − 3 x² y − 3 x y²
x 3 + y³ = x³ + y³

3) x⁴ + y⁴ = a⁴ − 4 a² b + 2 b²
x 4 + y⁴ = a⁴ − 4 a² b + 2 b²
x 4 + y⁴ = a² ( a² − 4 b ) + 2 b²
x 4 + y⁴ = ( x + y )² ( ( x + y )² − 4 x y ) + 2 x² y²
x 4 + y⁴ = ( x + y )² ( x² + 2 x y + y² − 4 x y ) + 2 x² y²
x 4 + y⁴ = ( x² + 2 x y + y² ) ( x² − 2 x y + y² ) + 2 x² y²
x 4 + y⁴ = x⁴ + 2 x³ y + x² y² − 2 x³ y − 4 x² y² + 2 x y³ + x² y² − 2 x y³ + y⁴ + 2 x² y²
x 4 + y⁴ = x⁴ + ( 2 x³ y − 2 x³ y ) + ( x² y² − 4 x² y² + x² y² + 2 x² y² ) + ( 2 x y³ − 2 x y³ ) + y 4
x 4 + y⁴ = x⁴ + 0 + 0 + 0 + y 4
x 4 + y⁴ = x⁴ + y 4

Задание №1203

Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 равно квадрату некоторого натурального числа.

Решение:

n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) + 1 = n ( n + 3 ) ( n² + n + 2 n + 2 ) + 1 = n ( n + 3 ) ( n² + 3 n + 2 ) + 1 = ( n² + 3 n + 1 − 1 ) ( n² + 3 n + 1 + 1 ) + 1 = ( n² + 3 n + 1 )² − 1 2 + 1 = ( n² + 3 n + 1 ) ²

Задание №1204

Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения n(n + 2)(n + 4)(n + 6) + 16 равно квадрату некоторого натурального числа.

Решение:

n ( n + 2 ) ( n + 4 ) ( n + 6 ) + 16 = ( n² + 6 n ) ( n² + 2 n + 4 n + 8 ) + 16 = ( n² + 6 n + 4 − 4 ) ( n² + 6 n + 4 + 4 ) + 16 = ( n² + 6 n + 4 )² − 4 2 + 16 = ( n² + 6 n + 4 )² − 16 + 16 = ( n² + 6 n + 4 ) ²

Задание №1205

Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.

Решение:

Пусть n = 3k + 1 − натуральное число не кратное 3, тогда:
( 3 k + 1 )² − 1 = ( 3 k + 1 − 1 ) ( 3 k + 1 + 1 ) = 3 k ( 3 k + 2 ), кратно 3.
Пусть n = 3k + 2 − натуральное число не кратное 3, тогда:
( 3 k + 2 )² − 1 = ( 3 k + 2 − 1 ) ( 3 k + 2 + 1 ) = ( 3 k + 1 ) ( 3 k + 3 ) = 3 ( 3 k + 1 ) ( k + 1 ), кратно 3.

Задание №1206

Докажите, что при любом натуральном значении n, не кратном 5, значение выражения

n 4 − 1 делится нацело на 5.

Решение:

Пусть n = 5k + 1 − натуральное число не кратное 5, тогда:
n 4 − 1 = ( ( 5 k + 1 )² − 1 ) ( ( 5 k + 1 )² + 1 ) = ( 25 k² + 10 k + 1 − 1 ) ( 25 k² + 10 k + 1 + 1 ) = ( 25 k² + 10 k ) ( 25 k² + 10 k + 2 ) = 5 ( 5 k² + 2 k ) ( 25 k² + 10 k + 2 ) кратно 5.
Пусть n = 5k + 2 − натуральное число не кратное 5, тогда:
n 4 − 1 = ( ( 5 k + 2 )² − 1 ) ( ( 5 k + 2 )² + 1 ) = ( 25 k² + 20 k + 4 − 1 ) ( 25 k² + 20 k + 4 + 1 ) = ( 25 k² + 20 k + 3 ) ( 25 k² + 20 k + 5 ) = 5 ( 25 k² + 20 k + 3 ) ( 5 n² + 4 k + 1 ) кратно 5.
Пусть n = 5k + 3 − натуральное число не кратное 5, тогда:
n 4 − 1 = ( ( 5 k + 3 )² − 1 ) ( ( 5 k + 3 )² + 1 ) = ( 25 k² + 30 k + 9 − 1 ) ( 25 k² + 30 k + 9 + 1 ) = ( 25 k² + 30 k + 8 ) ( 25 k² + 30 k + 10 ) = 5 ( 25 k² + 30 k + 8 ) ( 5 k² + 6 k + 2 ) кратно 5.
Пусть n = 5k + 4 − натуральное число не кратное 5, тогда:
n 4 − 1 = ( ( 5 k + 4 )² − 1 ) ( ( 5 k + 4 )² + 1 ) = ( 25 k² + 40 k + 16 − 1 ) ( 25 k² + 40 k + 16 + 1 ) = ( 25 k² + 40 k + 15 ) ( 25 k² + 40 k + 17 ) = 5 ( 5 k² + 8 k + 3 ) ( 25 k² + 40 k + 17 ) кратно 5.

Задание №1207

Можно ли утверждать, что значение выражения

n 3 + 2 n делится нацело на 3 при любом натуральном значении n?

Решение:

Пусть n = 3k натуральное число кратное 3, тогда:
( 3 k )³ + 2 ∗ 3 k = 27 k³ + 6 k = 3 ( 9 k³ + 2 k ) делится на 3.
Пусть n = 3k + 1 натуральное число кратное 3, тогда:
( 3 k + 1 )³ + 2 ( 3 k + 1 ) = 27 k³ + 27 k² + 9 k + 1 + 6 k + 2 = 27 k³ + 27 k² + 15 k + 3 = 3 ( 9 k³ + 9 k² + 5 k + 1 ) делится на 3.
Пусть n = 3k + 2 натуральное число кратное 3, тогда:
( 3 k + 2 )³ + 2 ( 3 k + 2 ) = 27 k³ + 54 k² + 36 k + 8 + 6 k + 4 = 27 k³ + 54 k² + 42 k + 12 = 3 ( 9 k³ + 18 k² + 14 k + 4 ) делится на 3.
Получается можно утверждать, что значение выражения n³ + 2 n делится нацело на 3 при любом натуральном значении n.

Задание №1208

Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения

n 7 − n кратно 42.

Решение:

n 7 − n = n ( n⁶ − 1 ) = n ( n³ − 1 ) ( n³ + 1 ) = n ( n − 1 ) ( n + 1 ) ( n² + n + 1 ) ( n² − n + 1 ) = n ( n − 1 ) ( n + 1 ) ( ( n² + 1 )² − n² )
n(n − 1)(n + 1) данное произведение делится нацело на 2 и на 3, а следовательно и на 6, так как является произведением трех последовательных натуральных чисел.
Докажем, что n ( n − 1 ) ( n + 1 ) ( ( n² + 1 )² − n² ) при любом n кратен 7:
при n = 1: 1(1 − 1)(1 + 1) = 0
при n = 6: 6(6 − 1)(6 + 1) = 6 * 5 * 7 кратно 7.
при n = 8: 8(8 − 1)(8 + 1) = 8 * 7 * 9 кратно 7.
при n = 2: ( 2 2 + 1 )² − 2 2 = 25 − 4 = 21 = 3 ∗ 7 кратно 7;
при n = 3: ( 3 2 + 1 )² − 3 2 = 100 − 9 = 91 = 13 ∗ 7 кратно 7;
при n = 4: ( 4 2 + 1 )² − 4 2 = 289 − 16 = 273 = 39 ∗ 7 кратно 7;
при n = 5: ( 5 2 + 1 )² − 5 2 = 676 − 25 = 651 = 93 ∗ 7 кратно 7;
при n = 9: ( 9 2 + 1 )² − 9 2 = 6724 − 81 = 6643 = 949 ∗ 7 кратно 7.
Следовательно при любом натуральном значении n значение выражения n⁷ − n одновременно делится нацело на 6 и на 7, а значит и на 42.

Задание №1209

Даны функции

ƒ ( x ) = x² − 2 x и g ( x ) = x − 2 x. Сравните:
1) ƒ(2) и g(−1);
2) ƒ(0) и g(2);
3) ƒ(1) и g(1).

Решение:

1) ƒ ( 2 ) = 2 2 − 2 ∗ 2 = 4 − 4 = 0
g ( − 1 ) = − 1 − 2 − 1 = − 3 − 1 = 3, следовательно:
ƒ(2) < g(−1)

2) ƒ ( 0 ) = 0 2 − 0 ∗ 2 = 0 − 0 = 0
g ( 2 ) = 2 − 2 2 = 0 2 = 0, следовательно:
ƒ(0) = g(2)

3) ƒ ( 1 ) = 1 2 − 2 ∗ 1 = 1 − 2 = − 1
g ( 1 ) = 1 − 2 1 = − 1 1 = − 1, следовательно:
ƒ(1) = g(1)

Задание №1210

Функция задана таблично.

Задайте эту функцию описательно и формулой.

Решение:

Значения функции на 2 меньше значения аргумента: y = x − 2, где −3 ⩽ x ⩽ 5.

Задание №1211

При всех положительных значениях аргумента значение функции ƒ равно −1, при всех отрицательных − равно 1, а ƒ(0) = 0. Постройте график функции ƒ.

Решение:

Задание №1212

Найдите координаты точки графика функции y = 6x − 5;
1) абсцисса и ордината которой равны между собой;
2) сумма координат которой равна 30.

Решение:

1) y = 6x − 5
при y = x:
x = 6x − 5
x − 6x = −5
−5x = −5
x = −5 : −5
x = 1;
y = x = 1.
Ответ: (1;1)

2) y = 6x − 5
при x + y = 30:
y = 30 − x
30 − x = 6x − 5
−x − 6x = −5 − 30
−7x = −35
x = −35 : −7
x = 5;
y = 30 − x = 30 − 5 = 25.
Ответ: (5;25)

Задание №1213

При каком значении a через точку M(3; −2) проходит график функции:
1) y = ax − 8;
2) y = 1 3 x − a?

Решение:

1) y = ax − 8
M(3; −2)
−2 = 3a − 8
3a = 8 − 2
a = 6 : 3
a = 2

2) y = 1 3 x − a
M(3; −2)
− 2 = 1 3 ∗ 3 − a
−2 = 1 − a
a = 1 + 2
a = 3