Задание №1214
Является ли линейной функция:
1) ƒ(x) = (x − 1)(x + 1) − x(x − 3);
2) ƒ ( x ) = ( 2 x − 3 )2 − ( x + 4 ) ( x − 2 );
3) ƒ ( x ) = ( x + 3 )2 − x ( x + 6 )?
В случае утвердительного ответа постройте ее график.
Решение:
1) ƒ ( x ) = ( x − 1 ) ( x + 1 ) − x ( x − 3 ) = x2 − 1 − x2 + 3 x = 3 x − 1 функция линейная.
2) ƒ ( x ) = ( 2 x − 3 )2 − ( x + 4 ) ( x − 2 ) = 4 x2 − 12 x + 9 − x2 − 4 x + 2 x + 8 = 3 x2 − 14 x + 17 функция не линейная.
3) ƒ ( x ) = ( x + 3 )2 − x ( x + 6 ) = x2 + 6 x + 9 − x2 − 6 x = 9 функция линейная.
Задание №1215
Графики функций y = (5 − a)x + a и y = ax + 2 пересекаются в точке, абсцисса которой равна −3. Найдите ординату этой точки.
Решение:
(5 − a)x + a = ax + 2
при x = −3
−3(5 − a) + a = −3a + 2
−15 + 3a + a = −3a + 2
3a + a + 3a = 2 + 15
7a = 17
a = 17 7 = 2 3 7;
y = a x + 2 = 17 7 ∗ − 3 + 2 = − 51 7 + 2 = − 7 2 7 + 2 = − 5 2 7
Задание №1216
Постройте график функции y = 2x + 3. Пользуясь графиком найдите значения аргумента, при которых значение функции:
1) равно 5;
2) больше 5;
3) меньше 5;
4) больше − 3, но меньше 7.
Решение:
y = 2x + 3
1) при y = 5: x = 1
2) при y > 5: x > 1
3) при y < 5: x < 1
4) при −3 < y < 7: −3 < x = < 2
Задание №1217
Не выполняя построения графика функции y = 12x − 6, найдите координаты:
1) точек пересечения графика с осями координат;
2) точки пересечения графика данной функции с графиком функции y = 6x + 24.
Решение:
1) y = 12x − 6
при x = 0:
y = 12 * 0 − 6 = −6, следовательно график функции пресекает ось ординат в точке (0;6);
при y = 0:
12x − 6 = 0
x = 6 : 12
x = 0,5, следовательно график функции пресекает ось абсцисс в точке (0,5;0).
2) 12x − 6 = 6x + 24
12x − 6x = 24 + 6
6x = 30
x = 30 : 6
x = 5;
y = 6x + 24 = 6 * 5 + 24 = 30 + 24 = 54, следовательно точка пересечения графика функции y = 12x − 6 с графиком функции y = 6x + 24.
Задание №1218
Постройте график функции:
1) y = |x| − 3;
2) y = |x − 3|.
Решение:
1) y = |x| − 3
2) y = |x − 3|
Задание №1219
При каком значении a пара (a; −a) является решением уравнения:
1) 6x + 5y = 7;
2) 8x − 2y = 4;
3) x2 − 3 y = 0;
4) x + |y| = −2?
Решение:
1) 6x + 5y = 7
(a; −a)
6a − 5a = 7
a = 7
2) 8x − 2y = 4
(a; −a)
8a + 2a = 4
10a = 4
a = 4 : 10
a = 0,4
3) x2 − 3 y = 0
a 2 + 3 a = 0
a(a + 3) = 0
a 1 = 0;
a + 3 = 0
a 2 = − 3.
4) x + |y| = −2
a + |−a| = −2
a + a = −2
2a = −2
a = −2 : 2
a = −1
Задание №1220
Постройте график уравнения y + 1,5x = c, если он проходит через точку A(−2;1).
Решение:
y + 1,5x = c
A(−2;1)
1 + 1,5 * −2 = с
с = 1 − 3 = −2
y + 1,5x = c
y = −2 − 1,5x
Задание №1221
Составьте систему двух линейных уравнений с двумя переменными, решением которой является пара чисел:
1) (1;1);
2) (−3;5).
Решение:
1) { x + y = 2 5 x + 2 y = 7
2) { x − y = − 8 x + 2 y = 7
Задание №1222
Решите систему уравнений:
1)
{ 3 x + 7 y = 1,
6 y − 5 x = 16 ;
2)
{ 3 x − 5 y = 19,
2 x + 3 y = 0 ;
3)
{ 3 ( 2 a − 1 ) + 6 ( 7 − b ) = 51,
2 ( a + 6 ) − 7 ( 1 + 6 b ) = 49 ;
4)
{ 3 x − 2 y4 − 4 x + 5 3 = − 5,
6 x − 5 y2 + 2 x + y5 = 9.
Решение:
1) { 3 x + 7 y = 1 | ∗ 5
6 y − 5 x = 16 | ∗ 3
{ 15 x + 35 y = 5
18 y − 15 x = 48
15x + 35y + 18y − 15x = 5 + 48
53y = 53
y = 53 : 53
y = 1;
3x + 7 * 1 = 1
3x = 1 − 7
x = −6 : 3
x = −2.
Ответ: (−2;1).
2) { 3 x − 5 y = 19 | ∗ − 2
2 x + 3 y = 0 | ∗ 3
{ − 6 x + 10 y = − 38
6 x + 9 y = 0
−6x + 10y + 6x + 9y = −38
10y + 9y = −38
y = −38 : 19
y = −2;
2x + 3 * −2 = 0
2x = 6
x = 6 : 2
x = 3.
Ответ: (3;−2).
3) { 3 ( 2 a − 1 ) + 6 ( 7 − b ) = 51
2 ( a + 6 ) − 7 ( 1 + 6 b ) = 49
{ 6 a − 3 + 42 − 6 b = 51
2 a + 12 − 7 − 42 b = 49
{ 6 a − 6 b = 51 + 3 − 42
2 a − 42 b = 49 − 12 + 7
{ 6 a − 6 b = 12 | : 6
2 a − 42 b = 44 | ∗ − 2
{ a − b = 2 | : 6
− a + 21 b = − 22 | ∗ − 2
a − b − a + 21b = 2 − 22
20b = −20
b = −20 : 20
b = −1;
a − b = 2
a + 1 = 2
a = 2 − 1 = 1.
Ответ: (1;−1).
4) { 3 x − 2 y4 − 4 x + 5 3 = − 5 | ∗ 12 6 x − 5 y2 + 2 x + y5 = 9 | ∗ 10
{ 3 ( 3 x − 2 y ) − 4 ( 4 x + 5 ) = − 60 5 ( 6 x − 5 y ) + 2 ( 2 x + y ) = 90
{ 9 x − 6 y − 16 x − 20 = − 60 30 x − 25 y + 4 x + 2 y = 90
{ − 7 x − 6 y = − 60 + 20 34 x − 23 y = 90
{ − 7 x − 6 y = − 40 | ∗ − 23 34 x − 23 y = 90 | ∗ 6
{ 161 x + 138 y = 920 204 x − 138 y = 540
161x + 138y + 204x − 138y = 920 + 540
365x = 1460
x = 1460 : 365
x = 4;
−7 * 4 − 6y = −40
−6y = −40 + 28
−6y = −12
y = −12 : −6
y = 2.
Ответ: (4;2).
Задание №1223
При каком значении a сумма x + y принимает наименьшее значение, если:
{ 2 x + 3 y = 2 a2 − 12 a + 8,
3 x − 2 y = 3 a2 + 8 a + 12 ?
Решение:
{ 2 x + 3 y = 2 a2 − 12 a + 8 | ∗ 3
3 x − 2 y = 3 a2 + 8 a + 12 | ∗ − 2
{ 6 x + 9 y = 6 a2 − 36 a + 24
− 6 x + 4 y = − 6 a2 − 16 a − 24
6 x + 9 y − 6 x + 4 y = 6 a2 − 36 a + 24 − 6 a2 − 16 a − 24
13y = −52a
y = −52a : 13
y = −4a;
{ 2 x + 3 y = 2 a2 − 12 a + 8 | ∗ 2
3 x − 2 y = 3 a2 + 8 a + 12 | ∗ 3
{ 4 x + 6 y = 4 a2 − 24 a + 16
9 x − 6 y = 9 a2 + 24 a + 36
4 x + 6 y + 9 x − 6 y = 4 a2 − 24 a + 16 + 9 a2 + 24 a + 36
13 x = 13 a2 + 52
x = 13 a2 + 52 13
x = a2 + 4.
x + y = a2 + 4 − 4 a = a2 − 4 a + 4 = ( a − 2 )2 ⩾ 0
Наименьшим значение буде при:
( a − 2 )2 = 0
a − 2 = 0
a = 2
