Ответы к параграфу 6.9 Применение формул сокращенного умножения

Задание 430

Запишите известные вам формулы сокращенного умножения.

Решение

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ − квадрат суммы;
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ − квадрат разности;
$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ − куб суммы;
$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ − куб разности;
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ − разность квадратов;
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ − сумма кубов;
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ − разность кубов.

Задание 431

Перепишите формулы сокращенного умножения, используя буквы:
а) x и y;
б) m и n.

Решение

а) $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$;
$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$;
$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$;
$(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$;
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$;
$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$;
$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

б) $(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$;
$(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$;
$(m + n)^3 = m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3$;
$(m - n)^3 = m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3$;
$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$;
$m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2)$;
$m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$.

Задание 432

Для чего применяются формулы сокращенного умножения?

Решение

Формулы сокращенного умножения применяются для разложения многочлена на множители.

Задание 433

Упростите выражение:
а) $(a + 1)^2 - 2(a + 1) + 1$;
б) $(m - n)^2 + 2n(m - n) + n^2$;
в) $(p - q)^2 - 2(p^2 - q^2) + (p + q)^2$;
г) $(x + 2y)^2 + 2(x^2 - 4y^2) + (2y - x)^2$.

Решение

а) $(a + 1)^2 - 2(a + 1) + 1 = (a + 1 - 1)^2 = a^2$

б) $(m - n)^2 + 2n(m - n) + n^2 = (m - n + n)^2 = m^2$

в) $(p - q)^2 - 2(p^2 - q^2) + (p + q)^2 = (p - q - (p + q))^2 = (p - q - p - q)^2 = (-2q)^2 = 4q^2$

г) $(x + 2y)^2 + 2(x^2 - 4y^2) + (2y - x)^2 = (x + y)^2 + 2(x - 2y)(x + 2y) + (x - 2y)^2 = (x + 2y + x - 2y)^2 = (2x)^2 = 4x^2$

Задание 434

Преобразуйте выражение в многочлен:
а) (x + y + z)(x + y − z);
б) (x − y + z)(x − y − z);
в) (x − y + z)(x + y + z);
г) (x − y − z)(x + y − z);
д) (x − y − z)(x + y + z);
е) (−x − y − z)(x − y − z).

Решение

а) $(x + y + z)(x + y - z) = (x + y)^2 - z^2 = x^2 + 2xy + y^2 - z^2$

б) $(x - y + z)(x - y - z) = (x - y)^2 - z^2 = x^2 - 2xy + y^2 - z^2$

в) $(x - y + z)(x + y + z) = (x + z - y)(x + z + y) = (x + z)^2 - y^2 = x^2 + 2xz + z^2 - y^2$

г) $(x - y - z)(x + y - z) = (x - z - y)(x - z + y) = (x - z)^2 - y^2 = x^2 - 2xz + z^2 - y^2$

д) $(x - y - z)(x + y + z) = (x - (y + z))(x + (y + z)) = x^2 - (y + z)^2 = x^2 - (y^2 + 2yz + z^2) = x^2 - y^2 - 2yz - z^2$

е) $(-x - y - z)(x - y - z) = -(x + y + z)(x - y - z) = -(x + (y + z))(x - (y + z)) = -(x^2 - (y + z)^2) = -x^2 + (y + z)^2 = -x^2 + y^2 + 2yz + z^2$

Задание 435

Преобразуйте выражение в многочлен:
а) (a + b + c + d)(a + b − c − d);
б) (a − b + c + d)(a − b − c − d);
в) (a + b − c + d)(a + b + c − d);
г) (a − b − c + d)(a − b + c − d).

Решение

а) $(a + b + c + d)(a + b - c - d) = ((a + b) + (c + d))((a + b) - (c + d)) = (a + b)^2 - (c + d)^2 = a^2 + 2ab + b^2 - c^2 - 2cd - d^2$

б) $(a - b + c + d)(a - b - c - d) = ((a - b) + (c + d))((a - b) - (c + d)) = (a - b)^2 - (c + d)^2 = a^2 - 2ab + b^2 - c^2 - 2cd - d^2$

в) $(a + b - c + d)(a + b + c - d) = ((a + b) - (c -d))((a + b) + (c - d)) = (a + b)^2 - (c - d)^2 = a^2 + 2ab + b^2 - c^2 + 2cd - d^2$

г) $(a - b - c + d)(a - b + c - d) = ((a - b) - (c - d))((a - b) + (c - d)) = (a - b)^2 - (c - d)^2 = a^2 - 2ab + b^2 - c^2 + 2cd - d^2$

Задание 436

Преобразуйте выражение в многочлен:
а) $(1 + x)(1 - x)(1 + x^2)$;
б) $(a - 1)(1 + a)(a^2 + 1)$;
в) $(m + n)(n - m)(m^2 + n^2)$;
г) $(3 - p)(p^2 + 9)(p + 3)$;
д) $(x + 2)(4 - x^2)(x - 2)$;
е) $(p + q)^2(p - q)^2$;
ж) (a − b)(a − b)(a + b)(a + b);
з) (5 + m)(m − 5)(m − 5)(m + 5).

Решение

а) $(1 + x)(1 - x)(1 + x^2) = (1 - x^2)(1 + x^2) = 1 - (x^2)^2 = 1 - x^4$

б) $(a - 1)(1 + a)(a^2 + 1) = (a - 1)(a + 1)(a^2 + 1) = (a^2 - 1)(a^2 + 1) = (a^2)^2 - 1 = a^4 - 1$

в) $(m + n)(n - m)(m^2 + n^2) = (n - m)(n + m)(n^2 + m^2) = (n^2 - m^2)(n^2 + m^2) = (n^2)^2 - (m^2)^2 = n^4 - m^4$

г) $(3 - p)(p^2 + 9)(p + 3) = (3 - p)(3 + p)(9 + p^2) = (9 - p^2)(9 + p^2) = 81 - p^4$

д) $(x + 2)(4 - x^2)(x - 2) = -(x + 2)(x - 2)(x^2 - 4) = -(x^2 - 4)(x^2 - 4) = -(x^2 - 4)^2 = -(x^4 - 8x^2 + 16) = -x^4 + 8x^2 - 16$

е) $(p + q)^2(p - q)^2 = ((p + q)(p - q))^2 = (p^2 - q^2)^2 = p^4 - 2p^2q^2 + q^4$

ж) $(a - b)(a - b)(a + b)(a + b) = (a - b)(a + b)(a - b)(a + b) = (a^2 - b^2)(a^2 - b^2) = (a^2 - b^2)^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$

з) $(5 + m)(m - 5)(m - 5)(m + 5) = (m + 5)(m - 5)(m - 5)(m + 5) = (m^2 - 25)(m^2 - 25) = (m^2 - 25)^2 = m^4 - 50m^2 + 625$

Задание 437

Преобразуйте выражение в многочлен:
а) $(a + 1)(a + 2)(a^2 + 4)(a^2 + 1)(a - 2)(a - 1)$;
б) (a + b + c)(a + b − c) − 2ab;
в) $(a - b)(a + b)(b^2 + a^2)(a^4 + b^4)$;
г) $(a + b)^3 - 3ab(a + b)$;
д) $3ab(a - b) + (a - b)^3$;
е) $(a^2 - 2)(a^2 + 2) - (2 - a^2)^2$.

Решение

а) $(a + 1)(a + 2)(a^2 + 4)(a^2 + 1)(a - 2)(a - 1) = (a + 1)(a - 1)(a + 2)(a - 2)(a^2 + 4)(a^2 + 1) = (a^2 - 1)(a^2 - 4)(a^2 + 4)(a^2 + 1) = (a^2 - 1)(a^2 + 1)(a^2 - 4)(a^2 + 4) = (a^4 - 1)(a^4 - 16) = a^8 - a^4 - 16a^4 + 16 = a^8 - 17a^4 + 16$

б) $(a + b + c)(a + b - c) - 2ab = (a + b)^2 - c^2 - 2ab = a^2 + 2ab + b^2 - c^2 - 2ab = a^2 + b^2 - c^2$

в) $(a - b)(a + b)(b^2 + a^2)(a^4 + b^4) = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) = (a^4 - b^4)(a^4 + b^4) = a^8 - b^8$

г) $(a + b)^3 - 3ab(a + b) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - 3a^2b - 3ab^2 = a^3 + b^3$

д) $3ab(a - b) + (a - b)^3 = 3a^2b - 3ab^2 + a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = a^3 - b^3$

е) $(a^2 - 2)(a^2 + 2) - (2 - a^2)^2 = (a^4 - 4) - (4 - 4a^2 + a^4) = a^4 - 4 - 4 + 4a^2 - a^4 = 4a^2 - 8$

Задание 438

Преобразуйте выражение в многочлен:
а) $(5 - a)(3 - a) - (a - 4)^2$;
б) $(x + 3)^2 + 3(x - 2)^2$;
в) $3(2 - m)^2 + 2(2 - m)^2$;
г) $5(2p - 3)^2 + 2(5 - 2p)^2$;
д) $4(3 - 5a)^2 - 5(a - 3)(2a - 3)$;
е) $(a + 1)^2 + 2(a + 1) - 3(a - 1)(a + 1)$;
ж) $3 - 2(5 - x)(x - 5) - 2(5 + x)^2$;
з) $(x - y - z)(x - y - z) - (x - y)^2$;
и) (x + y + z)(x − y − z) − (x + y − z)(x − y + z);
к) (x + y − z)(x − y + z) − (x + y + z)(x − y − z).

Решение

а) $(5 - a)(3 - a) - (a - 4)^2 = 15 - 5a - 3a + a^2 - (a^2 - 8a + 16) = 15 - 8a + a^2 - a^2 + 8a - 16 = -1$

б) $(x + 3)^2 + 3(x - 2)^2 = x^2 + 6x + 9 + 3(x^2 - 4x + 4) = x^2 + 6x + 9 + 3x^2 - 12x + 12 = 4x^2 - 6x + 21$

в) $3(2 - m)^2 + 2(2 - m)^2 = 3(4 - 4m + m^2) + 2(4 - 4m + m^2) = 12 - 12m + 3m^2 + 8 - 8m + 2m^2 = 5m^2 - 20m + 20$

г) $5(2p - 3)^2 + 2(5 - 2p)^2 = 5(4p^2 - 12p + 9) + 2(25 - 20p + 4p^2) = 20p^2 - 60p + 45 + 50 - 40p + 8p^2 = 28p^2 - 100p + 95$

д) $4(3 - 5a)^2 - 5(a - 3)(2a - 3) = 4(9 - 30a + 25a^2) - 5(2a^2 - 6a - 3a + 9) = 36 - 120a + 100a^2 - 5(2a^2 - 9a + 9) = 36 - 120a + 100a^2 - 10a^2 + 45a - 45 = 90a^2 - 75a - 9$

е) $(a + 1)^2 + 2(a + 1) - 3(a - 1)(a + 1) = a^2 + 2a + 1 + 2a + 2 - 3(a^2 - 1) = a^2 + 4a + 3 - 3a^2 + 3 = -2a^2 + 4a + 6$

ж) $3 - 2(5 - x)(x - 5) - 2(5 + x)^2 = 3 + 2(x - 5)(x - 5) - 2(25 + 10x + x^2) = 3 + 2(x - 5)^2 - 50 - 20x - 2x^2 = 3 + 2(x^2 - 10x + 25) - 50 - 20x - 2x^2 = 3 + 2x^2 - 20x + 50 - 50 - 20x - 2x^2 = 3 - 40x$

з) $(x - y - z)(x - y - z) - (x - y)^2 = (x - y - z)^2 - (x^2 - 2xy + y^2) = (x - y)^2 - 2(x - y)z + z^2 - x^2 + 2xy - y^2 = x^2 - 2xy + y^2 - 2xz + 2yz + z^2 - x^2 + 2xy - y^2 = z^2 -2xz + 2yz$

и) $(x + y + z)(x - y - z) - (x + y - z)(x - y + z) = (x + (y + z))(x - (y + z)) - (x + (y - z))(x - (y - z)) = x^2 - (y + z)^2 - (x^2 - (y - z)^2) = x^2 - (y + z)^2 - x^2 + (y - z)^2 = x^2 - (y^2 + 2yz + z^2) - x^2 + y^2 - 2yz + z^2 = -y^2 - 2yz - z^2 + y^2 - 2yz + z^2 = -4yz$

к) $(x + y - z)(x - y + z) - (x + y + z)(x - y - z) = (x + (y - z))(x - (y - z)) - (x + (y + z))(x - (y + z)) = x^2 - (y - z)^2 - (x^2 - (y + z)^2) = x^2 - (y^2 - 2yz + z^2) - (x^2 - (y^2 + 2yz + z^2)) = x^2 - y^2 + 2yz - z^2 - (x^2 - y^2 - 2yz - z^2) = x^2 - y^2 + 2yz - z^2 - x^2 + y^2 + 2yz + z^2 = 4yz$

Рейтинг: 5 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активна
 

© Копирование допустимо только с прямой активной ссылкой на страницу с оригиналом статьи.
При любых заболеваниях не занимайтесь диагностикой и лечением самостоятельно, необходимо обязательно обратиться к врачу - специалисту.
Изображения обложек учебной литературы приведены на страницах сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса РФ)