Задание 406

Является ли выражение полным или неполным квадратом суммы:
а) $x^2 + x + 1$;
б) $4 + 4x + x^2$;
в) $a^2 + 6ab + 9b^2$;
г) $100 + 10x + x^2$;
д) $\frac{1}{4}m^2 + \frac{1}{2}m + 1$;
е) $4p + 1 + 4p^2$;
ж) $0,25m^2 + mn + n^2$;
з) $4p^2 + \frac{1}{16}q^2 + pq$?

Решение

а) $x^2 + x + 1$ − неполный квадрат

б) $4 + 4x + x^2 = (2 + x)^2$ − полный квадрат

в) $a^2 + 6ab + 9b^2 = (a + 3b)^2$ − полный квадрат

г) $100 + 10x + x^2 = 10^2 + 10x + x^2$ − неполный квадрат

д) $\frac{1}{4}m^2 + \frac{1}{2}m + 1 = (\frac{1}{2}m)^2 + \frac{1}{2}m + 1$ − неполный квадрат

е) $4p + 1 + 4p^2 = 1 + 4p + 4p^2 = (1 + 2p)^2$ − полный квадрат

ж) $0,25m^2 + mn + n^2 = (0,5m + n)^2$ − полный квадрат

з) $4p^2 + \frac{1}{16}q^2 + pq = 4p^2 + pq + \frac{1}{16}q^2 = (2p + \frac{1}{4}q)^2$ − полный квадрат

Задание 407

Запишите выражение в виде многочлена:
а) $(x - y)(x^2 + xy + y^2)$;
б) $(5 - a)(a^2 + 5a + 25)$;
в) $(2m - 5n)(4m^2 + 10mn + 25n^2)$;
г) $(7p + q)(49p^2 - 7pq + q^2)$;
д) $(\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y)(\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{6}xy + \frac{1}{9}y^2)$;
е) $(0,1a - 0,2b)(0,04b^2 + 0,02ab + 0,01a^2)$.

Решение

а) $(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$

б) $(5 - a)(a^2 + 5a + 25) = 5^3 - a^3 = 125 - a^3$

в) $(2m - 5n)(4m^2 + 10mn + 25n^2) = (2m)^3 - (5n)^3 = 8m^3 - 125n^3$

г) $(7p + q)(49p^2 - 7pq + q^2) = (7p)^3 + q^3 = 343p^3 + q^3$

д) $(\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y)(\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{6}xy + \frac{1}{9}y^2) = (\frac{1}{2}x)^3 - (\frac{1}{3}y)^3 = \frac{1}{8}x^3 - \frac{1}{27}y^3$

е) $(0,1a - 0,2b)(0,04b^2 + 0,02ab + 0,01a^2) = (0,1a)^3 - (0,2b)^3 = 0,001a^3 - 0,008b^3$

Задание 408

Упростите выражение:
а) $(3p - 10q)(100q^2 + 30pq + 9p^2)$;
б) $(7m + 2n)(4n^2 - 14mn + 49m^2)$;
в) $(ab - 3)(a^2b^2 + 3ab + 9)$;
г) $(km - n^2)(k^2m^2 + kmn^2 + n^4)$;
д) $(4y^2 - xy + \frac{1}{4}x^2)(\frac{1}{2}x + 2y)$;
е) $(1,21q^2 + 0,22pq + 0,04p^2)(0,2p - 1,1q)$;
ж) $(\frac{1}{9}m^4 + m^2nk + 9n^2k^2)(\frac{1}{3}m^2 - 3nk)$;
з) $(1\frac{1}{2}a^3 - 0,5b^2)(2\frac{1}{4}a^6 + \frac{3}{4}a^3b^2 + 0,25b^4)$.

Решение

а) $(3p - 10q)(100q^2 + 30pq + 9p^2) = (3p - 10q)(9p^2 + 30pq + 100q^2) = (3p)^3 - (10q)^3 = 27p^3 - 1000q^3$

б) $(7m + 2n)(4n^2 - 14mn + 49m^2) = (2n + 7m)(4n^2 - 14mn + 49m^2) = (2n)^3 + (7m)^3 = 8n^3 + 343m^3$

в) $(ab - 3)(a^2b^2 + 3ab + 9) = (ab)^3 - 3^3 = a^3b^3 - 27$

г) $(km - n^2)(k^2m^2 + kmn^2 + n^4) = (km)^3 - (n^2)^3 = k^3m^3 - n^6$

д) $(4y^2 - xy + \frac{1}{4}x^2)(\frac{1}{2}x + 2y) = (2y + \frac{1}{2}x)(4y^2 - xy + \frac{1}{4}x^2) = (2y)^3 + (\frac{1}{2}x)^3 = 8y^3 + \frac{1}{8}x^3$

е) $(1,21q^2 + 0,22pq + 0,04p^2)(0,2p - 1,1q) = (0,2p - 1,1q)(0,04p^2 + 0,22pq + 1,21q^2) = (0,2p)^3 - (1,1q)^3 = 0,008p^3 - 1,331q^3$

ж) $(\frac{1}{9}m^4 + m^2nk + 9n^2k^2)(\frac{1}{3}m^2 - 3nk) = (\frac{1}{3}m^2)^3 - (3nk)^3 = \frac{1}{27}m^6 - 27n^3k^3$

з) $(1\frac{1}{2}a^3 - 0,5b^2)(2\frac{1}{4}a^6 + \frac{3}{4}a^3b^2 + 0,25b^4) = (\frac{3}{2}a^3)^3 - (0,5b^2)^3 = \frac{27}{8}a^9 - 0,125b^6 = 3\frac{3}{8}a^9 - 0,125b^6$

Задание 409

Разложите двучлен на множители:
а) $m^3 - 1$;
б) $p^3 - 27q^3$;
в) $125x^3 - 8y^3$;
г) $64a^3 + 1000b^3$;
д) $x^6 - y^6$;
е) $m^{12} - 64$;
ж) $x^9 - x^6$;
з) $c^6d^3 - k^3$.

Решение

а) $m^3 - 1 = (m - 1)(m^2 + m + 1)$

б) $p^3 - 27q^3 = p^3 - (3q)^3 = (p - 3q)(p^2 + 3pq + (3q)^2) = (p - 3q)(p^2 + 3pq + 9q^2)$

в) $125x^3 - 8y^3 = (5x)^3 - (2y)^3 = (5x - 2y)((5x)^2 + 5x * 2y + (2y)^2) = (5x - 2y)(25x^2 + 10xy + 4y^2)$

г) $64a^3 + 1000b^3 = (4a)^3 + (10b)^3 = (4a + 10b)((4a)^2 - 4a * 10b + (10b)^2) = (4a + 10b)(16a^2 - 40ab + 100b^2)$

д) $x^6 - y^6 = (x^2)^3 - (y^2)^3 = (x - y)((x^2)^2 + x^2y^2 + (y^2)^2) = (x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$

е) $m^{12} - 64 = (m^4)^3 - 4^3 = (m^4 - 4)((m^4)^2 + 4m^4 + 4^2) = (m^4 - 4)(m^8 + 4m^4 + 16)$

ж) $x^9 - x^6 = (x^3)^3 - (x^2)^3 = (x^3 - x^2)((x^3)^2 + x^3 * x^2 + (x^2)^2) = (x^3 - x^2)(x^6 + x^5 + x^4) = x^2(x - 1)x^4(x^2 + x + 1) = x^6(x - 1)(x^2 + x + 1)$

з) $c^6d^3 - k^3 = (c^2d)^3 - k^3 = (c^2d - k)((c^2d)^2 + c^2dk + k^2) = (c^2d - k)(c^4d^2 + c^2dk + k^2)$

Задание 410

Подберите одночлены A, B и C так, чтобы выполнялось равенство:
а) $x^3 + A = (x + B)(x^2 - 4x + 16)$;
б) $A - 8c^6 = (3a - B)(C + 6ac^2 + 4c^4)$;
в) $B - 125m^9 = (A - 5m^3)(a^2 + 5am^3 + 25m^6)$;
г) $64m^9 + A = (4m^3 + C)(16m^6 - B + 4a^8)$.

Решение

а) $x^3 + A = (x + B)(x^2 - 4x + 16)$
$B^2 = 16$
$B^2 = 4^2$
B = 4
$A = B^3 = 4^3 = 64$
Ответ:
$x^3 + 64 = (x + 4)(x^2 - 4x + 16)$

б) $A - 8c^6 = (3a - B)(C + 6ac^2 + 4c^4)$
$B^2 = 4c^4$
$B^2 = (2c^2)^2$
$B = 2c^2$
$A = (3a)^3 = 27a^3$
$C = (3a)^2 = 9a^2$
Ответ:
$27a^3 - 8c^6 = (3a - 2c^2)(9a^2 + 6ac^2 + 4c^4)$

в) $B - 125m^9 = (A - 5m^3)(a^2 + 5am^3 + 25m^6)$
$A^2 = a^2$
A = a
$B = A^3 = a^3$
Ответ:
$a^3 - 125m^9 = (a - 5m^3)(a^2 + 5am^3 + 25m^6)$

г) $64m^9 + A = (4m^3 + C)(16m^6 - B + 4a^8)$
$C^2 = 4a^8$
$C^2 = (2a^4)^2$
$C = 2a^4$
$A = C^3 = (2a^4)^3 = 8a^{12}$
$B = 4m^3 * C = 4m^3 * 2a^4 = 8a^{4}m^3$
Ответ:
$64m^9 + 8a^{12} = (4m^3 + 2a^4)(16m^6 - 8a^{4}m^3 + 4a^8)$

Задание 411

Упростите выражение:
а) $(x - 1)(x^2 + x + 1) - (1 + x)(1 - x + x^2)$;
б) $(a^2 - 3)(a^4 + 3a^2 + 9) + a^4(1 - a)(1 + a)$;
в) $2p^2(2 - p)(p^2 + 2p + 4) - 4(p - 5)(5 + p)$;
г) $n^5(2 + n^2)(n^2 - 2) - (m - n^3)(m^2 + mn^3 + n^6)$.

Решение

а) $(x - 1)(x^2 + x + 1) - (1 + x)(1 - x + x^2) = x^3 - 1 - (1 + x^3) = x^3 - 1 - 1 - x^3 = -2$

б) $(a^2 - 3)(a^4 + 3a^2 + 9) + a^4(1 - a)(1 + a) = (a^2)^3 - 3^3 + a^4(1 - a^2) = a^6 - 27 + a^4 - a^6 = a^4 - 27$

в) $2p^2(2 - p)(p^2 + 2p + 4) - 4(p - 5)(5 + p) = 2p^2(2 - p)(4 + 2p + p^2) - 4(p - 5)(p + 5) = 2p^2(2^3 - p^3) - 4(p^2 - 5^2) = 2p^2(8 - p^3) - 4(p^2 - 25) = 16p^2 - 2p^5 - 4p^2 + 100 = -2p^5 + 12p^2 + 100$

г) $n^5(2 + n^2)(n^2 - 2) - (m - n^3)(m^2 + mn^3 + n^6) = n^5(n^2 + 2)(n^2 - 2) - (m^3 - (n^3)^3) = n^5(n^4 - 4) - (m^3 - n^9) = n^9 - 4n^5 - m^3 + n^9 = 2n^9 - 4n^5 - m^3$

Рейтинг: 5 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активна
 

© Копирование допустимо только с прямой активной ссылкой на страницу с оригиналом статьи.
При любых заболеваниях не занимайтесь диагностикой и лечением самостоятельно, необходимо обязательно обратиться к врачу - специалисту.
Изображения обложек учебной литературы приведены на страницах сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса РФ)