Задание 418
Запишите выражение в виде степени двучлена:
а) $a^2 + 2ab + b^2$;
б) $a^2 - 2ab + b^2$;
в) $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$;
г) $a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$.
Решение
а) $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
б) $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
в) $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3$
г) $a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3 = (a + 2b)^3$
Задание 419
Выясните, является ли многочлен кубом какого−либо двучлена:
а) $8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3$;
б) $a^3 + 3a^2 + 3a + 1$;
в) $27 + 27b + 9b^2 + b^3$.
Решение
а) $8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 = (2x)^3 + 3 * (2x)^2 * y + 3 * 2x * y^2 + y^3 = (2x + y)^3$ − является
б) $a^3 + 3a^2 + 3a + 1 = a^3 + 3a^2 * 1 + 3a * 1^2 + 1^3 = (a + 1)^3$ − является
в) $27 + 27b + 9b^2 + b^3 = 3^3 + 3 * 3^2 * b + 3 3 * b^2 + b^3 = (3 + b)^3$ − является
Задание 420
Упростите выражение двумя способами:
а) $(x + 3)^3 - (x + 2)^3$;
б) $(x + 2)^3 - (x + 1)^3$.
Решение
а) Способ 1:
$(x + 3)^3 - (x + 2)^3 = x^3 + 3x^2 * 3 + 3x * 3^2 + 3^3 - (x^3 + 3x^2 * 2 + 3x * 2^2 + 2^3) = x^3 + 9x^2 + 27x + 27 - x^3 - 6x^2 - 12x - 8 = 3x^2 + 15x + 19$
Способ 2:
$(x + 3)^3 - (x + 2)^3 = (x + 3 - (x + 2))((x + 3)^2 + (x + 3)(x + 2) + (x + 2)^2) = (x + 3 - x - 2)(x^2 + 6x + 9 + x^2 + 3x + 2x + 6 + x^2 + 4x + 4) = 1(3x^2 + 15x + 19) = 3x^2 + 15x + 19$
б) Способ 1:
$(x + 2)^3 - (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 * 2 + 3x * 2^2 + 2^3 - (x^3 + 3x^2 * 1 + 3x * 1^2 + 1^3) = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 - x^3 - 3x^2 - 3x - 1 = 3x^2 + 9x + 7$
Способ 2:
$(x + 2)^3 - (x + 1)^3 = (x + 2 - (x + 1))((x + 2)^2 + (x + 2)(x + 1) + (x + 1)^2) = (x + 2 - x - 1)(x^2 + 4x + 4 + x^2 + 2x + x + 2 + x^2 + 2x + 1) = 1(3x^2 + 9x + 7) = 3x^2 + 9x + 7$
Ответы к параграфу 6.8. Куб разности
Задание 421
Запишите и прочитайте формулу куба разности.
Решение
$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа и второго плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго минус куб второго числа.
Задание 422
Заполните пропуски, применив формулу куба разности:
а) $(x - y)^3 = ...$;
б) $m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3 = ...$ .
Решение
а) $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$
б) $m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3 = (m - n)^3$
Задание 423
Запишите:
а) разность a и b;
б) квадрат разности a и b;
в) разность квадратов a и b;
г) куб разности a и b;
д) разность кубов a и b.
Решение
а) a − b
б) $(a - b)^2$
в) $a^2 - b^2$
г) $(a - b)^3$
д) $a^3 - b^3$
Задание 424
Запишите выражение в виде многочлена:
а) $(x - y)^3$;
б) $(x - 1)^3$;
в) $(x - 2)^3$;
г) $(x - 3)^3$.
Решение
а) $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$
б) $(x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 * 1 + 3x * 1^2 - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$
в) $(x - 2)^3 = x^3 - 3x^2 * 2 + 3x * 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$
г) $(x - 3)^3 = x^3 - 3x^2 * 3 + 3x * 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$
Задание 425
Запишите выражение в виде многочлена:
а) $(a + b)^3$;
б) $(a - b)^3$;
в) $(a + 2)^3$;
г) $(a - 2)^3$;
д) $(a + 3)^3$;
е) $(a - 3)^3$;
ж) $(a + 4)^3$;
з) $(a - 4)^3$;
и) $(2a + b)^3$;
к) $(a - 2b)^3$;
л) $(3a + 2b)^3$;
м) $(2a - 3b)^3$.
Решение
а) $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
б) $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
в) $(a + 2)^3 = a^3 + 3a^2 * 2 + 3a * 2^2 + 2^3 = a^3 + 6a^2 + 12a + 8$
г) $(a - 2)^3 = a^3 - 3a^2 * 2 + 3a * 2^2 - 2^3 = a^3 - 6a^2 + 12a - 8$
д) $(a + 3)^3 = a^3 + 3a^2 * 3 + 3a * 3^2 + 3^3 = a^3 + 9a^2 + 27a + 27$
е) $(a - 3)^3 = a^3 - 3a^2 * 3 + 3a * 3^2 - 3^3 = a^3 - 9a^2 + 27a - 27$
ж) $(a + 4)^3 = a^3 + 3a^2 * 4 + 3a * 4^2 + 4^3 = a^3 + 12a^2 + 48a + 64$
з) $(a - 4)^3 = a^3 - 3a^2 * 4 + 3a * 4^2 - 4^3 = a^3 - 12a^2 + 48a - 64$
и) $(2a + b)^3 = (2a)^3 + 3 * (2a)^2 * b + 3 * 2a * b^2 + b^3 = 8a^3 + 12a^2b + 6ab^2 + b^3$
к) $(a - 2b)^3 = a^3 - 3a^2 * 2b + 3a * (2b)^2 - (2b)^3 = a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3$
л) $(3a + 2b)^3 = (3a)^3 + 3 * (3a)^2 * 2b + 3 * 3a * (2b)^2 + (2b)^3 = 27a^3 + 54a^2b + 36ab^2 + 8b^3$
м) $(2a - 3b)^3 = (2a)^3 - 3 * (2a)^2 * 3b + 3 * 2a * (3b)^2 - (3b)^3 = 8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3$
