Задание 439

Преобразуйте выражение в многочлен:
а) $4(1 - a)^2 + 3(a + 1)^2$;
б) $3(m - 2)^2 + 5(m + 1)$;
в) $(a - b)^2 - (a + b)^2$;
г) $(a + b)^2 - (a - b)^2$;
д) $2(x - 1)^2 - 3(x + 1)^2$;
е) $4(a - 2b)^2 - 9(2a - b)^2$;
ж) $3(2 - 3m)^2 - 3(2 - 3m)(3m + 2)$;
з) $2(1 - 5x)^2 - 2(5x + 1)(1 - 5x)$.

Решение

а) $4(1 - a)^2 + 3(a + 1)^2 = 4(1 - 2a + a^2) + 3(a^2 + 2a + 1) = 4 - 8a + 4a^2 + 3a^2 + 6a + 3 = 7a^2 - 2a + 7$

б) $3(m - 2)^2 + 5(m + 1) = 3(m^2 - 4m + 4) + 5m + 5 = 3m^2 - 12m + 12 + 5m + 5 = 3m^2 - 7m + 17$

в) $(a - b)^2 - (a + b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 - (a^2 + 2ab + b^2) = a^2 - 2ab + b^2 - a^2 - 2ab - b^2 = -4ab$

г) $(a + b)^2 - (a - b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2) = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = 4ab$

д) $2(x - 1)^2 - 3(x + 1)^2 = 2(x^2 - 2x + 1) - 3(x^2 + 2x + 1) = 2x^2 - 4x + 2 - 3x^2 - 6x - 3 = -x^2 - 10x - 1$

е) $4(a - 2b)^2 - 9(2a - b)^2 = 4(a^2 - 4ab + 4b^2) - 9(4a^2 - 4ab + b^2) = 4a^2 - 16ab + 16b^2 - 36a^2 + 36ab - 9b^2 = -32a^2 + 20ab + 7b^2$

ж) $3(2 - 3m)^2 - 3(2 - 3m)(3m + 2) = 3(4 - 12m + 9m^2) - 3(4 - 9m^2) = 12 - 36m + 27m^2 - 12 + 27m^2 = 54m^2 - 36m$

з) $2(1 - 5x)^2 - 2(5x + 1)(1 - 5x) = 2(1 - 10x + 25x^2) - 2(1 - 25x^2) = 2 - 20x + 50x^2 - 2 + 50x^2 = 100x^2 - 20x$

Задание 440

Докажите тождество:
а) $a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = (a + b)^3$;
б) $a^3 - 3ab(a - b) - b^3 = (a - b)^3$.

Решение

а) $a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3$
Тождество доказано.

б) $a^3 - 3ab(a - b) - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a - b)^3$
Тождество доказано.

Задание 441

Докажите тождество:
а) $(1 + x^6)(1 - x^3)(x^3 + 1) = 1 - x^{12}$;
б) $(m - n)(m^2 + n^2)(n + m) = m^4 - n^4$.

Решение

а) $(1 + x^6)(1 - x^3)(x^3 + 1) = (1 + x^6)(1 - x^3)(1 + x^3) = (1 + x^6)(1 - x^6) = 1 - x^{12}$
Тождество доказано.

б) $(m - n)(m^2 + n^2)(n + m) = (m - n)(m + n)(m^2 + n^2) = (m^2 - n^2)(m^2 + n^2) = m^4 - n^4$
Тождество доказано.

Задание 442

Докажите тождество:
а) $(m^2 + 1)(n^2 + 1) = (mn - 1)^2 + (n + m)^2$;
б) $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (bc + ad)^2$.

Решение

а) $(m^2 + 1)(n^2 + 1) = (mn - 1)^2 + (n + m)^2$
Преобразуем левую часть равенства:
$(m^2 + 1)(n^2 + 1) = m^2n^2 + n^2 + m^2 + 1$
Преобразуем правую часть равенства:
$(mn - 1)^2 + (n + m)^2 = m^2n^2 - 2mn + 1 + n^2 + 2mn + m^2 = m^2n^2 + n^2 + m^2 + 1$
Тождество доказано.

б) $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (bc + ad)^2$
Преобразуем левую часть равенства:
$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2c^2 + b^2c^2 + a^2d^2 + b^2d^2$
Преобразуем правую часть равенства:
$(ac - bd)^2 + (bc + ad)^2 = a^2c^2 - 2abcd + b^2d^2 + b^2c^2 + 2abcd + a^2d^2 = a^2c^2 + b^2c^2 + a^2d^2 + b^2d^2$
Тождество доказано.

Задание 443

Запишите выражение в виде степени двучлена:
а) $(a + b)^2 - 4ab$;
б) $(a - b)^2 + 4ab$;
в) $(x + 2y)^2 - 8xy$;
г) $(x - 3y)^2 + 12xy$.

Решение

а) $(a + b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

б) $(a - b)^2 + 4ab = a^2 - 2ab + b^2 + 4ab = a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

в) $(x + 2y)^2 - 8xy = x^2 + 4xy + 4y^2 - 8xy = x^2 - 4xy + 4y^2 = (x - 2y)^2$

г) $(x - 3y)^2 + 12xy = x^2 - 6xy + 9y^2 + 12xy = x^2 + 6xy + 9y^2 = (x + 3y)^2$

Задание 444

Докажите, что:
а) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел является нечетным числом;
б) разность квадратов двух последовательных четных чисел делится на 4;
в) разность квадратов двух последовательных нечетных чисел делится на 8.

Решение

а) Пусть x − первое число, тогда:
x + 1 − второе число.
Рассмотрим разность квадратов данных чисел:
$(x + 1)^2 - x^2 = (x + 1 - x)(x + 1 + x) = 2x + 1$ − нечетное число.
Утверждение доказано.

б) Пусть 2x − первое четное число, тогда:
2x + 2 − второе число.
Рассмотрим разность квадратов данных чисел:
$(2x + 2)^2 - (2x)^2 = (2x + 2 - 2x)(2x + 2 + 2x) = 2(4x + 2) = 8x + 4 = 4(2x + 1)$ − делится на 4.
Утверждение доказано.

в) Пусть 2x + 1 − первое четное число, тогда:
2x + 3 − второе число.
Рассмотрим разность квадратов данных чисел:
$(2x + 3)^2 - (2x + 1)^2 = (2x + 3 - 2x - 1)(2x + 3 + 2x + 1) = 2(4x + 4) = 8x + 8 = 8(x + 1)$ − делится на 8.
Утверждение доказано.

Задание 445

Докажите, что:
а) если к произведению двух целых последовательных чисел прибавить большее из них, то получится квадрат большего числа;
б) сумма квадрата разности двух чисел и их учетверенного произведения равна квадрату сумм этих чисел;
в) разность квадрата суммы двух чисел и их учетверенного произведения равна квадрату разности этих чисел.

Решение

а) Пусть x − первое целое число, тогда:
x + 1 − второе целое число.
По условию:
$x(x + 1) + (x + 1) = x^2 + x + x + 1 = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$ − квадрат большего числа.
Утверждение доказано.

б) Пусть x − одно число, тогда:
y − другое число.
По условию:
$(x - y)^2 + 4xy = x^2 - 2xy + y^2 + 4xy = x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$ − квадрат суммы данных чисел.
Утверждение доказано.

в) Пусть x − одно число, тогда:
y − другое число.
По условию:
$(x + y)^2 - 4xy = x^2 + 2xy + y^2 - 4xy = x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$ − квадрат разности данных чисел.
Утверждение доказано.

Задание 446

Вычислите:
а) $(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)$;
б) $\frac{(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) + 1}{2^{64}}$;
в) $\frac{(3 + 2)(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})(3^{32} + 2^{32}) + 2^{64}}{3^{64}}$.

Решение

а) $(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) = (2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) = (2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) = (2^4 - 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) = (2^8 - 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) = (2^{16} - 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) = (2^{32} - 1)(2^{32} + 1) = 2^{64} - 1$

б) $\frac{(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) + 1}{2^{64}} = \frac{(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) + 1}{2^{64}} = \frac{(2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) + 1}{2^{64}} = \frac{(2^4 - 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) + 1}{2^{64}} = \frac{(2^8 - 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) + 1}{2^{64}} = \frac{(2^{16} - 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) + 1}{2^{64}} = \frac{(2^{32} - 1)(2^{32} + 1) + 1}{2^{64}} = \frac{2^{64} - 1 + 1}{2^{64}} = \frac{2^{64}}{2^{64}} = 1$

в) $\frac{(3 + 2)(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})(3^{32} + 2^{32}) + 2^{64}}{3^{64}} = \frac{(3 - 2)(3 + 2)(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})(3^{32} + 2^{32}) + 2^{64}}{3^{64}} = \frac{(3^2 - 2^2)(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})(3^{32} + 2^{32}) + 2^{64}}{3^{64}} = \frac{(3^4 - 2^4)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})(3^{32} + 2^{32}) + 2^{64}}{3^{64}} = \frac{(3^8 - 2^8)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})(3^{32} + 2^{32}) + 2^{64}}{3^{64}} = \frac{(3^{16} - 2^{16})(3^{16} + 2^{16})(3^{32} + 2^{32}) + 2^{64}}{3^{64}} = \frac{(3^{32} - 2^{32})(3^{32} + 2^{32}) + 2^{64}}{3^{64}} = \frac{3^{64} - 2^{64} + 2^{64}}{3^{64}} = \frac{3^{64}}{3^{64}} = 1$

Задание 447

Задача Ибн Сины. Если число, будучи разделено на 9, дает остаток 1 или 8, то квадрат этого числа, деленный на 9, дает остаток 1. Докажите.

Решение

Пусть x − число, тогда:
x = 9n + 1
или
x = 9n + 8
Найдем квадрат данного числа:
$x^2 = (9n + 1)^2 = 81n^2 + 18n + 1 = 9(9n^2 + 2n) + 1$ − при делении на 9 дает остаток 1.
$x^2 = (9n + 8)^2 = 81n^2 + 144n + 64 = 81n^2 + 144n + 63 + 1 = 9(9n^2 + 16n + 7) + 1$ − при делении на 9 дает остаток 1.
Утверждение доказано.

Рейтинг: 5 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активна
 

© Копирование допустимо только с прямой активной ссылкой на страницу с оригиналом статьи.
При любых заболеваниях не занимайтесь диагностикой и лечением самостоятельно, необходимо обязательно обратиться к врачу - специалисту.
Изображения обложек учебной литературы приведены на страницах сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса РФ)