Задание 412

Докажите тождество:
а) $(a + b)(a - b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2) = a^6 - b^6$;
б) $(a - 1)(a - 2)(a^2 + a + 1)(a^2 + 2a + 4) = a^6 - 9a^3 + 8$.

Решение

а) $(a + b)(a - b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2) = a^6 - b^6$
Преобразуем левую часть равенства:
$(a + b)(a - b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2) = (a + b)(a^2 - ab + b^2)(a - b)(a^2 + ab + b^2) = (a^3 + b^3)(a^3 - b^3) = a^6 - b^6$
Тождество доказано.

б) $(a - 1)(a - 2)(a^2 + a + 1)(a^2 + 2a + 4) = a^6 - 9a^3 + 8$
Преобразуем левую часть равенства:
$(a - 1)(a^2 + a + 1)(a - 2)(a^2 + 2a + 4) = (a^3 - 1)(a^3 - 8) = a^6 - a^3 - 8a^3 + 8 = a^6 - 9a^3 + 8$
Тождество доказано.

Ответы к параграфу 6.7. Куб суммы

Задание 413

Запишите и прочитайте формулу куба суммы.

Решение

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа и второго плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго плюс куб второго числа.

Задание 414

Заполните пропуски, применив формулу куба суммы:
а) $(x + y)^3 = ...$;
б) $m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3 = ...$ .

Решение

а) $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

б) $m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3 = (m + n)^3$

Задание 415

Запишите:
а) сумму a и b;
б) квадрат суммы a и b;
в) куб суммы a и b;
г) сумму квадратов a и b;
д) сумму кубов a и b;
е) удвоенное произведение a и b;
ж) утроенное произведение a и b;
з) утроенное произведение квадрата a и b;
и) утроенное произведение a и квадрата b.

Решение

а) a + b

б) $(a + b)^2$

в) $(a + b)^3$

г) $a^2 + b^2$

д) $a^3 + b^3$

е) 2ab

ж) 3ab

з) $3a^2b$

и) $3ab^2$

Задание 416

Запишите выражение в виде многочлена:
а) $(x + y)^3$;
б) $(x + 1)^3$;
в) $(x + 2)^3$;
г) $(3 + y)^3$.

Решение

а) $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

б) $(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 * 1 + 3x * 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

в) $(x + 2)^3 = x^3 + 3x^2 * 2 + 3x * 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 3x * 4 + 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

г) $(3 + y)^3 = 3^3 + 3 * 3^2 * y + 3 * 3 * y^2 + y^3 = 27 + 3 * 9y + 9y^2 + y^3 = 27 + 27y + 9y^2 + y^3$

Задание 417

Запишите выражение в виде многочлена:
а) $(a + b)^3$;
б) $(a + 4)^3$;
в) $(2a + 1)^3$;
г) $(2a + 3b)^3$;
д) $(x + 3z)^3$;
е) $(2b + 3)^3$.

Решение

а) $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

б) $(a + 4)^3 = a^3 + 3a^2 * 4 + 3a * 4^2 + 4^3 = a^3 + 12a^2 + 3a * 16 + 64 = a^3 + 12a^2 + 48a + 64$

в) $(2a + 1)^3 = (2a)^3 + 3 * (2a)^2 * 1 + 3 * 2a * 1^2 + 1^3 = 8a^3 + 3 * 4a^2 + 6a + 1 = 8a^3 + 12a^2 + 6a + 1$

г) $(2a + 3b)^3 = (2a)^3 + 3 * (2a)^2 * 3b + 3 * 2a * (3b)^2 + (3b)^3 = 8a^3 + 9 * 4a^2b + 6a * 9b^2 + 27b^3 = 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3$

д) $(x + 3z)^3 = x^3 + 3x^2 * 3z + 3x * (3z)^2 + (3z)^3 = x^3 + 9x^2z + 3x * 9z^2 + 27z^3 = x^3 + 9x^2z + 27xz^2 + 27z^3$

е) $(2b + 3)^3 = (2b)^3 + 3 * (2b)^2 * 3 + 3 * 2b * 3^2 + 3^3 = 8b^3 + 9 * 4b^2 + 6b * 9 + 27 = 8b^3 + 36b^2 + 54b + 27$

Рейтинг: 5 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активна
 

© Копирование допустимо только с прямой активной ссылкой на страницу с оригиналом статьи.
При любых заболеваниях не занимайтесь диагностикой и лечением самостоятельно, необходимо обязательно обратиться к врачу - специалисту.
Изображения обложек учебной литературы приведены на страницах сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса РФ)