Задание №1128
В равенстве 4(0,5x − 3) = 3x + * замените звездочку таким выражением, чтобы образовалось уравнение:
1) не имеющее корней;
2) имеющее бесконечно много корней;
3) имеющее один корень.
Решение:
1) 4(0,5x − 3) = 3x + *
2x − 12 = 3x + *
* = −3x + 2x − 12
* = −x − 12, тогда при * = −x:
−x = −x − 12
−x + x = −12
0 ≠ −12, следовательно при * = −x уравнение не имеет корней.
2) 4(0,5x − 3) = 3x + *
2x − 12 = 3x + *
* = −3x + 2x − 12
* = −x − 12, тогда при * = −x − 12:
−x − 12 = −x − 12
−x + x = −12 + 12
0 = 0, следовательно при * = −x − 12 уравнение имеет бесконечно много корней.
3) 4(0,5x − 3) = 3x + *
2x − 12 = 3x + *
* = −3x + 2x − 12
* = −x − 12, тогда при * = 4x + 17:
4x + 17 = −x − 12
4x + x = −12 + 17
5x = 5
x = 5 : 5
x = 1, следовательно при * = 4x + 17 уравнение имеет один корень.
Задание №1129
Постройте график функции:
1) y = ( 2 x − 1 ) ( 4 x2 + 2 x + 1 ) − 8 x 3;
2) y = ( x + 1 ) ( x + 4 ) − ( x + 3 )2;
3) y = ( 0, 5 x + 2 )2 − ( 0, 5 x − 1 ) ( 0, 5 x + 1 ).
Решение:
1) y = ( 2 x − 1 ) ( 4 x2 + 2 x + 1 ) − 8 x3
y = ( 2 x )3 − 1 3 − 8 x3
y = 8 x3 − 1 − 8 x3
y = −1
2) y = ( x + 1 ) ( x + 4 ) − ( x + 3 ) 2
y = x2 + x + 4 x + 4 − ( x2 + 6 x + 9 )
y = x2 + x + 4 x + 4 − x2 − 6 x − 9
y = x + 4x + 4 − 6x − 9
y = −x − 5
3) y = ( 0, 5 x + 2 )2 − ( 0, 5 x − 1 ) ( 0, 5 x + 1 )
y = 0, 25 x2 + 2 x + 4 − ( 0, 25 x2 − 1 )
y = 0, 25 x2 + 2 x + 4 − 0, 25 x2 + 1
y = 2x + 5
Задание №1130
Представьте выражение 12ab в виде разности квадратов двух многочленов. Сколько решений имеет задача?
Решение:
12 a b = ( a + 3 b )2 − ( a − 3 b )2 = ( a2 + 6 a b + b2 ) − ( a2 − 6 a b + b2 ) = a2 + 6 a b + b2 − a2 + 6 a b − b2 = 12 a b
Ответ: 12 a b = ( a + 3 b )2 − ( a − 3 b ) 2
Задание №1131
Докажите, что при любом целом значении a значение выражения
( a − 3 ) ( a2 − a + 2 ) − a ( a − 2 )2 + 2 a делится нацело на 3.
Решение:
( a − 3 ) ( a2 − a + 2 ) − a ( a − 2 )2 + 2 a = a3 − 3 a2 − a2 + 3 a + 2 a − 6 − a ( a2 − 4 a + 4 ) + 2 a = a3 − 4 a2 + 5 a − 6 − a3 + 4 a2 − 4 a + 2 a = 5 a − 6 − 4 a + 2 a = 3 a − 6 = 3 ( a − 2 ), следовательно данное выражение нацело делится на 3.
Задание №1132
Докажите тождество
( a − b c )2 − 2 ( b2 c2 − a2 ) + ( b c + a )2 = 4 a 2.
Решение:
( a − b c )2 − 2 ( b2 c2 − a2 ) + ( b c + a )2 = 4 a2
a 2 − 2 a b c + b2 c2 − 2 b2 c2 + 2 a2 + b2 c2 + 2 a b c + a2 = 4 a2
( a2 + 2 a2 + a2 ) + ( − 2 a b c + 2 a b c ) + ( b2 c2 − 2 b2 c2 + b2 c2 ) = 4 a2
4 a2 + 0 + 0 = 4 a2
4 a2 = 4 a 2
Задание №1133
Разложите на множители выражение:
1) 4 k n + 6 a k + 6 a n + 9 a 2;
2) b6 − 4 b4 + 12 b2 − 9;
3) y4 ( x2 + 8 x + 16 ) − a 8;
4) 9 x2 − 6 x − 35.
Решение:
1) 4 k n + 6 a k + 6 a n + 9 a2 = ( 4 k n + 6 a k ) + ( 6 a n + 9 a2 ) = 2 k ( 2 n + 3 a ) + 3 a ( 2 n + 3 a ) = ( 2 n + 3 a ) ( 2 k + 3 a )
2) b6 − 4 b4 + 12 b2 − 9 = b6 − ( 4 b4 − 12 b2 + 9 ) = ( b3 )2 − ( 2 b2 − 3 )2 = ( b3 − 2 b2 + 3 ) ( b3 + 2 b2 − 3 )
3) y4 ( x2 + 8 x + 16 ) − a8 = y4 ( x + 4 )2 − a8 = ( y2 )2 ( x + 4 )2 − ( a4 )2 = ( y2 ( x + 4 ) − a4 ) ( y2 ( x + 4 ) + a4 ) = ( x y2 + 4 y2 − a4 ) ( x y2 + 4 y2 + a4 )
4) 9 x2 − 6 x − 35 = 9 x2 − 6 x + 1 − 36 = ( 9 x2 − 6 x + 1 ) − 36 = ( 3 x − 1 )2 − 6 2 = ( 3 x − 1 − 6 ) ( 3 x − 1 + 6 ) = ( 3 x − 7 ) ( 3 x + 5 )
Задание №1134
Известно, что x + y = a, xy = b,
x2 + y2 = c. Найдите зависимость между a, b и c.
Решение:
x + y = a, тогда:
( x + y )2 = a2
x2 + 2 x y + y2 = a2
( x2 + y2 ) + 2 x y = a2
с + 2 b = a 2
Задание №1135
Точки A(2;3) и B(5;a) принадлежат прямой y = kx. Найдите значение a.
Решение:
y = kx
A(2;3)
3 = 2k
k = 3 : 2
k = 1,5, следовательно:
y = 1,5x
B(5;a)
a = 1,5 * 5
a = 7,5.
Задание №1136
Найдите такие значения x, при которых выражение
( a − 1 )2 + 4 ( a − 1 ) − x можно представить в виде квадрата суммы.
Решение:
( a − 1 )2 + 4 ( a − 1 ) − x
x = − ( 4 ( a − 1 )2 ( a − 1 ) )2 = − 2 2 = − 4, тогда:
( a − 1 )2 + 4 ( a − 1 ) + 4 = ( ( a − 1 ) + 2 )2 = ( a + 1 ) 2.
Ответ: x = −4.
Задание №1137
Графики функций y = ax + 12 и y = (3 − a)x + a пересекаются в точке с абсциссой 2. Найдите ординату точки их пересечения.
Решение:
y = ax + 12 и y = (3 − a)x + a
при x = 2:
y = 2a + 12
y = 2(3 − a) + a
Составим систему уравнений:
{ 2 a + 12 = y
2 ( 3 − a ) + a = y
{ 2 a + 12 = y
6 − 2 a + a = y
{ 2 a − y = − 12
y + a = 6
2a − y + a + y = −12 + 6
3a = −6
a = −6 : 3
a = −2;
y − 2 = 6
y = 6 + 2 = 8.
Ответ: y = 8.
Задание №1138
Докажите, что квадрат натурального числа имеет нечетное количество делителей.
Решение:
Любое натуральное число n можно представить в виде произведения пары множителей, каждый из которых будет делителем данного натурального числа. Следовательно у любого натурального числа четное количество делителей.
Однако при возведении числа n в квадрат одна из пар множителей будет представлена следующим образом:
n 2 = n ∗ n, поэтому любой квадрат натурального числа можно представить в виде пары множителей + само число n, которые будут являться его делителями.
Следовательно квадрат натурального числа всегда имеет нечетное количество делителей.
Еще вариант доказательства для тех, кто не понял:
Очевидно, что число 1 имеет нечетное количество делителей. Пусть d – делитель числа n2 (n ∈ N, n ≠ 1), отличный от n. Тогда число `(n^2)/d` – также делитель числа n2, отличный от n. Таким образом, все делители числа n2, отличные от n, можно объединить в пары вида (d; `(n^2)/d` ) , где компоненты в каждой паре – неравные числа.
