Задание №1112
Если каждую сторону прямоугольника увеличить на 3 см, то его площадь увеличится на 45 см2. Если две противоположные стороны увеличить на 4 см, а две другие уменьшить на 5 см, то его площадь уменьшится на 17 см2. Найдите стороны данного прямоугольника.
Решение:
Пусть x см одна сторона прямоугольника, а y см другая, тогда:
S = xy см2 площадь прямоугольника;
x + 3 см одна сторона прямоугольника после увеличения;
y + 3 cм другая сторона прямоугольника после уменьшения;
(x + 3)(y + 3) = xy + 45 см2 площадь прямоугольника после увеличения его сторон на 3 см.
x + 4 см одна сторона прямоугольника после увеличения;
y − 5 cм другая сторона прямоугольника после уменьшения;
(x + 4)(y − 5) = xy − 17 см2 площадь прямоугольника после увеличения двух сторон на 4 см и уменьшения двух сторона на 5 см.
Составим систему уравнений:
{ ( x + 3 ) ( y + 3 ) = x y + 45 ( x + 4 ) ( y − 5 ) = x y − 17
{ x y + 3 y + 3 x + 9 = x y + 45 x y + 4 y − 5 x − 20 = x y − 17
{ x y − x y + 3 y + 3 x = 45 − 9 x y − x y + 4 y − 5 x = 20 − 17
{ 3 y + 3 x = 36 | : 3 4 y − 5 x = 3 | : 5
{ y + x = 12 0, 8 y − x = 0, 6
y + x + 0,8y − x = 12 + 0,6
1,8y = 12,6
y = 12,6 : 1,8
y = 7 см другая сторона прямоугольника;
7 + x = 12
x = 12 − 7 = 5 см одна сторона прямоугольника.
Ответ:
5 см одна сторона прямоугольника;
7 см другая сторона прямоугольника.
Задание №1113
Из двух сел, расстояние между которыми равно 45 км, одновременно навстречу друг другу отправились велосипедист и пешеход и встретились через 3 ч после начала движения. Если бы велосипедист выехал на 1 ч 15 мин раньше, чем вышел пешеход, то они встретились бы через 2 ч после выхода пешехода. С какой скоростью двигался каждый из них.
Решение:
Пусть x км/ч скорость пешехода, а y км/ч скорость велосипедиста, тогда:
3x км прошел до встречи пешеход;
3y км проехал до встречи велосипедист;
3x + 3y = 45 общее расстояние, которое преодолели до встречи пешеход и велосипедист.
1 ч 15 мин = 1 15 60 = 1 1 4 = 1, 25 часа;
(1,25 + 2)x = 3,25y ехал бы до встречи велосипедист, выйдя раньше пешехода;
2x км шел бы до встречи пешеход;
2x + 3,25y = 45 общее расстояние, которое преодолели бы до встречи пешеход и велосипедист.
Составим систему уравнений:
{ 3 x + 3 y = 45 | ∗ 2 2 x + 3, 25 y = 45 | ∗ ( − 3 )
{ 6 x + 6 y = 90 − 6 x − 9, 75 y = − 135
6x + 6y − 6x − 9,75y = 90 − 135
−3,75y = −45
y = −45 : −3,75
y = 12 км/ч скорость велосипедиста;
3x + 3 * 12 = 45
3x = 45 − 36
x = 9 : 3
x = 3 км/ч скорость пешехода.
Задание №1114
Из пунктов A и B, расстояние между которыми равно 24 км, одновременно навстречу друг другу вышли два туриста. Через 2 ч после начала движения они еще не встретились, а расстояние между ними составляло 6 км. Еще через 2 ч одному из них оставалось пройти до пункта B на 4 км меньше, чем другому до пункта A. Найдите скорость каждого туриста.
Решение:
Пусть x км/ч скорость первого туриста, а y км/ч скорость второго туриста, тогда:
2x км прошел первый турист за 2 часа;
2y км прошел второй турист за 2 часа;
2x + 2y = 24 − 6 км общее расстояние которое прошли оба туриста за два часа.
(2 + 2)x = 4x км прошел первый турист за 4 часа;
(2 + 2)y = 4y км прошел второй турист за 4 часа;
4x − 4y = 4 км разность расстояний пройденных двумя туристами за 4 часа.
Составим систему уравнений:
{ 2 x + 2 y = 24 − 6 4 x − 4 y = 4
{ 2 x + 2 y = 18 | : 2 4 x − 4 y = 4 | : 4
{ x + y = 9 | : 2 x − y = 1 | : 4
x + y + x − y = 9 + 1
2x = 10
x = 10 : 2
x = 5 км/ч скорость первого туриста;
5 − y = 1
−y = 1 − 5
y = 4 км/ч скорость второго туриста.
Задание №1115
Велосипедист проехал из пункта A в пункт B за намеченное время, двигаясь с некоторой скорость. Если бы он увеличил скорость на 3 км/ч, то прибыл бы в пункт B на 1 ч раньше, а если бы он проезжал за час на км меньше, то прибыл бы на 1 ч позже. Найдите скорость велосипедиста.
Решение:
Пусть x км/ч искомая скорость велосипедиста, а y ч намеченное время, тогда:
xy км расстояние которое должен проехать велосипедист;
x + 3 км/ч увеличенная скорость велосипедиста;
y − 1 ч время потраченное на преодоление расстояния с увеличенной скоростью;
(x + 3)(y − 1) = xy, так как при любой скорости и времени велосипедисту нужно проехать одно и тоже расстояние.
x − 2 км/ч уменьшенная скорость велосипедиста;
y + 1 ч время потраченное на преодоление расстояния с уменьшенной скоростью;
(x − 2)(y + 1) = xy, так как при любой скорости и времени велосипедисту нужно проехать одно и тоже расстояние.
Составим систему уравнений:
{ ( x + 3 ) ( y − 1 ) = x y ( x − 2 ) ( y + 1 ) = x y
{ x y + 3 y − x − 3 = x y x y − 2 y + x − 2 = x y
{ x y − x y + 3 y − x = 3 x y − x y − 2 y + x = 2
{ 3 y − x = 3 x − 2 y = 2
3y − x + x − 2y = 3 + 2
y = 5 ч намеченное время;
x − 2 * 5 = 2
x = 2 + 10 = 12 км/ч искомая скорость велосипедиста.
Задание №1116
Груз перевезли на некотором количестве машин с одинаковой грузоподъемностью. Если бы на каждой машине груза было на 1 т больше, то машин понадобилось бы на 3 меньше, а если бы на 2 т больше, то машин понадобилось бы на 5 меньше. Найдите массу перевезенного груза.
Решение:
Пусть x т масса груза на одной машине, а y количество машин, тогда:
xy т общая масса груза которую необходимо перевезти;
x + 1 т увеличенная грузоподъемность одной машины;
y − 3 машин понадобилось бы с увеличенной грузоподъемностью;
(x + 1)(y − 3) = xy, так как общая масса груза величина неизменная.
x + 2 т увеличенная грузоподъемность одной машины;
y − 5 машин понадобилось бы с увеличенной грузоподъемностью;
(x + 2)(y − 5) = xy, так как общая масса груза величина неизменная.
Составим систему уравнений:
{ ( x + 1 ) ( y − 3 ) = x y ( x + 2 ) ( y − 5 ) = x y
{ x y + y − 3 x − 3 = x y x y + 2 y − 5 x − 10 = x y
{ x y − x y + y − 3 x = 3 x y − x y + 2 y − 5 x = 10
{ y − 3 x = 3 | ∗ ( − 2 )2 y − 5 x = 10
{ − 2 y + 6 x = − 6 2 y − 5 x = 10
−2y + 6x + 2y − 5x = −6 + 10
x = 4 т грузоподъемность одной машины;
y − 3 * 4 = 3
y = 12 + 3
y = 15 машин перевозило груз, следовательно:
xy = 4 * 15 = 60 т общая масса перевозимого груза.
Задание №1117
Расстояние между двумя станциями пассажирский поезд проходит на 3 ч быстрее, чем товарный, а поезд−экспресс − на 1 ч быстрее, чем пассажирский. Скорость товарного поезда на 25 км/ч меньше скорости пассажирского, а скорость экспресса на 15 км/ч больше скорости пассажирского. Найдите скорость каждого поезда и расстояние между станциями.
Решение:
Пусть x км/ч скорость пассажирского поезда, а y ч время прохождения им расстояния между станциями, тогда:
xy км расстояние между станциями;
x − 25 км/ч скорость товарного поезда;
x + 15 км/ч скорость экспресса;
y + 3 ч время прохождения расстояния между станциями товарным поездом;
y − 1 ч время прохождения расстояния между станциями экспрессом.
Составим систему уравнений:
{ ( x − 25 ) ( y + 3 ) = x y ( x + 15 ) ( y − 1 ) = x y
{ x y − 25 y + 3 x − 75 = x y x y + 15 y − x − 15 = x y
{ x y − x y − 25 y + 3 x = 75 x y − x y + 15 y − x = 15
{ − 25 y + 3 x = 75 15 y − x = 15 | ∗ 3
{ − 25 y + 3 x = 75 45 y − 3 x = 45
−25y + 3x + 45y − 3x = 75 + 45
20y = 120
y = 120 : 20
y = 6 ч время прохождения пассажирским поездом расстояния между станциями;
15 * 6 − x = 15
−x = 15 − 90
−x = −75
x = 75 км/ч скорость пассажирского поезда;
x − 25 = 75 − 25 = 50 км/ч скорость товарного поезда;
x + 15 = 75 + 15 = 90 км/ч скорость экспресса;
xy = 75 * 6 = 450 км расстояние между станциями.
Задание №1118
Автобус и маршрутное такси выезжают ежедневно навстречу друг другу по расписанию в 8 ч из городов Вишневое и Яблоневое, расстояние между которыми 18 км, и встречаются в 8 ч 10 мин. Однажды автобус выехал по расписанию, а такси − с опозданием в 8 ч 9 мин. Поэтому в тот день они встретились в 8 ч 15 мин. Найдите скорости автобуса и маршрутного такси.
Решение:
Пусть x км/ч скорость автобуса, а y км/ч скорость маршрутного такси, тогда:
8 ч 10 мин − 8 ч = 10 мин = 10 60 = 1 6 ч едут автобус и такси до встречи;
1 6 x км проезжает до встречи автобус;
1 6 y км проезжает до встречи такси;
1 6 x + 1 6 y = 18 км общее расстояние которое проезжают до встречи автобус и такси.
8 ч 15 мин − 8 ч = 15 мин = 15 60 = 1 4 ч ехал до встречи автобус из−за опоздания такси;
8 ч 15 мин − 8 ч 09 мин = 6 мин = 6 60 = 1 10 ч ехало до встречи опоздавшее такси;
1 4 x км проехал до встречи автобус;
1 10 y км проехало до встречи такси;
1 4 x + 1 10 y = 18 км общее расстояние которое проезжают до встречи автобус и такси.
Составим систему уравнений:
$\left\{\begin{array}{l}\frac16x+\frac16y=18\vert\ast6\\\frac14x+\frac1{10}y=18\vert\ast2\end{array}\right.$
{ x + y = 108
5 x + 2 y = 360
x + y = 108
x = 108 − y,
5(108 − y) + 2y = 360
540 − 5y + 2y = 360
−3y = 360 − 540
y = −180 : −3
y = 60 км/ч скорость маршрутного такси;
x = 108 − 60 = 48 км/ч скорость автобуса.
Задание №1119
Из города Солнечный в село Веселое в 9 ч 5 мин и в 9 ч 45 мин выехали с одинаковой скоростью два автобуса. Из веселого в Солнечный в 9 ч 30 мин выехал велосипедист, который встретился с первым автобусом в 9 ч 45 мин, а со вторым − в 10 ч 15 мин. Найдите скорости автобусов и велосипедиста, если расстояние между Солнечным и Веселым равно 36 км.
Решение:
Пусть x км/ч скорости автобусов, а y км/ч скорость велосипедиста, тогда:
9 ч 45 мин − 9 ч 5 мин = 40 мин = 40 60 = 2 3 ч ехал до встречи с велосипедистом первый автобус;
9 ч 45 мин − 9 ч 30 мин = 15 мин = 15 60 = 1 4 ч ехал до встречи с первым автобусом велосипедист;
2 3 x км проехал до встречи с велосипедистом первый автобус;
1 4 y км проехал до встречи с первым автобусом велосипедист;
2 3 x + 1 4 y = 36 км общее расстояние которое проехали до встречи первый автобус и велосипедист.
10 ч 15 мин − 9 ч 45 мин = 30 мин = 30 60 = 1 2 ч ехал до встречи с велосипедистом второй автобус;
10 ч 15 мин − 9 ч 30 мин = 45 мин = 45 60 = 3 4 ч ехал до встречи со вторым автобусом велосипедист;
1 2 x км проехал до встречи с велосипедистом второй автобус;
3 4 y км проехал до встречи со вторым автобусом велосипедист;
1 2 x + 3 4 y = 36 км общее расстояние которое проехали до встречи второй автобус и велосипедист.
Составим систему уравнений:
{ 2 3 x + 1 4 y = 36 | ∗ 12
1 2 x + 3 4 y = 36 | ∗ 4
{ 8 x + 3 y = 432
2 x + 3 y = 144 | ∗ ( − 1 )
{ 8 x + 3 y = 432
− 2 x − 3 y = − 144
8x + 3y − 2x − 3y = 432 − 144
6x = 288
x = 288 : 6
x = 48 км/ч скорости автобусов;
2 * 48 + 3y = 144
3y = 144 − 96
y = 48 : 3
y = 16 км/ч скорость велосипедиста.
