Задание №1120
Масса смеси, состоящей из двух веществ, составляла 800 г. После того как из нее выделили
5 8 первого вещества и 60 % второго, в смеси осталось первого вещества на 72 г меньше, чем второго. Сколько граммов каждого вещества было в смеси сначала?
Решение:
Пусть x г масса первого вещества, а y г масса второго вещества, тогда:
x + y = 800 г общая масса смеси.
x − 5 8 x = 3 8 x = 0, 375 x г осталось первого вещества в смеси;
y − 0,6y = 0,4y г осталось второго вещества в смеси;
0,4y − 0,375x = 72 г разность массы первого и второго веществ оставшихся в смеси.
Составим систему уравнений:
{ x + y = 800
0, 4 y − 0, 375 x = 72
{ x + y = 800
0, 4 y − 0, 375 x = 72
x + y = 800
x = 800 − y
0,4y − 0,375(800 − y) = 72
0,4y − 300 + 0,375y = 72
0,4y + 0,375y = 72 + 300
0,775y = 372
y = 372 : 0,775
y = 480 г масса второго вещества;
x = 800 − y = 800 − 480 = 320 г масса первого вещества.
Задание №1121
В куске сплава меди и цинка последнего было на 48 кг меньше, чем меди. После того как из сплава выделили
8 9 содержавшейся в нем меди и 80% цинка, масса сплава стала равной 10 кг. Сколько килограммов каждого вещества было в сплаве первоначально?
Решение:
Пусть x кг было меди, а y кг цинка, тогда:
x − y = 48 кг разность массы меди и цинка в куске сплава;
x − 8 9 x = 1 9 x кг меди осталось;
y − 0,8y = 0,2y = кг цинка осталось;
1 9 x + 0, 2 y = 10 кг масса нового сплава.
Составим систему уравнений:
{ x − y = 48
1 9 x + 0, 2 y = 10 | ∗ − 9
{ x − y = 48
− x − 1, 8 y = − 90
x − y − x − 1,8y = −90 + 48
−2,8y = −42
y = −42 : −2,8
y = 15 кг цинка содержалось в сплаве;
x − 15 = 48
x = 48 + 15 = 63 кг меди содержалось в сплаве.
Задание №1122
Сумма цифр двузначного числа равна 9, причем цифра в разряде десятков больше цифры в разряде единиц. При делении данного числа на разность его цифр получили неполное частное 14 и остаток 2. Найдите данное число.
Решение:
Пусть
m n ¯ − двузначное число, тогда:
m + n = 9 сумма его цифр;
m − n разность цифр;
m n ¯ = 10 m + n, где m > n;
(10m + n) : (m − n) = 14, ост 2.
14(m − n) + 2 = 10m + n
14m − 14n − 10m − n = −2
4m − 15n = −2.
Составим систему уравнений:
{ m + n = 9
4 m − 15 n = − 2
m + n = 9
m = 9 − n
4(9 − n) − 15n = −2
36 − 4n − 15n = −2
−19n = −2 − 36
n = −38 : −19
n = 2,
m = 9 − n = 9 − 2 = 7, следовательно искомое двузначное число 72.
Задание №1123
Разность цифр двузначного числа равна 6, причем цифра в разряде десятков меньше цифры в разряде единиц. Если же разделить данное число на сумму его цифр, то получим неполное частное 3 и остаток 3. Найдите данное число.
Решение:
Пусть
m n ¯ − двузначное число, где n > m, тогда:
n − m = 6 разность его цифр;
m n ¯ = 10 m + n
(10m + n) : (m + n) = 3, остаток 3.
3(m + n) + 3 = 10m + n
3m + 3n − 10m − n = −3
−7m + 2n = −3
Составим систему уравнений:
{ n − m = 6
− 7 m + 2 n = − 3
n − m = 6
n = 6 + m
−7m + 2(6 + m) = −3
−7m + 12 + 2m = −3
−7m + 2m = −3 − 12
−5m = −15
m = −15 : −5
m = 3;
n = 6 + m = 6 + 3 = 9, следовательно искомое двузначное число 39.
Задание №1124
В одном баке было 12 л воды, а в другом − 32 л. Если первый бак долить доверху водой из второго бака, то второй бак останется наполненным на половину своего объема. Если второй бак долить доверху водой водой из первого, то первый бак останется наполненным на шестую часть своего объема. Найдите объем каждого бака.
Решение:
Пусть x литров объем первого бака, y литров объем второго бака, тогда:
x л воды стало в первом баке;
1 2 y л воды стало во втором баке;
x + 1 2 y = 12 + 32 л воды всего.
1 6 x воды стало в первом баке;
y л воды стало во втором баке;
1 6 x + y = 12 + 32 л воды всего.
Составим систему уравнений:
{ x + 1 2 y = 12 + 32
1 6 x + y = 12 + 32
{ x + 1 2 y = 44 | ∗ 2
1 6 x + y = 44 | ∗ 6
{ 2 x + y = 88
x + 6 y = 264 | ∗ ( − 2 )
{ 2 x + y = 88
− 2 x − 12 y = − 528
2x + y − 2x − 12y = 88 − 528
−11y = −440
y = −440 : −11
y = 40 литров объем второго бака;
2x + 40 = 88
2x = 88 − 40
2x = 48
x = 48 : 2
x = 24 литров объем первого бака.
Задание №1125
В двух бочках емкостью 40 л и 60 л было некоторое количество воды. Если в меньшую бочку долить доверху воды из большей, то в большей останется
5 7 количества воды, которое было в ней сначала. Если в большую бочку долить доверху воды из меньшей, то в меньшей останется 5 14 количества воды, которое было в ней сначала. Сколько литров воды было в каждой бочке сначала?
Решение:
Пусть x литров воды было в первой бочке, y литров воды было во второй бочке, тогда:
у − 5 7 у = 2 7 у л воды перелили в первый бак;
x + 2 7 у = 40 л воды стало в первом баке.
x − 5 14 x = 9 14 x л воды перелили во второй бак;
у + 9 14 x = 60 л воды стало во втором баке.
Составим систему уравнений:
{ x + 2 7 у = 40 | ∗ 7
у + 9 14 x = 60 | ∗ 14
{ 7 x + 2 y = 280 | ∗ − 7
14 y + 9 x = 840
{ − 49 x − 14 y = − 1960
14 y + 9 x = 840
−49x − 14y + 14y + 9x = −1960 + 840
−40x = −1120
x = −1120 : −40
x = 28 литров воды было в первой бочке;
7 * 28 + 2y = 280
2y = 280 − 196
y = 84 : 2
y = 42 литров воды было во второй бочке.
Задание №1126
Существует ли двузначное число, удовлетворяющее таким условиям: цифра в разряде десятков этого числа на 2 больше цифры в разряде его единиц, а разность между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, равна:
1) 20;
2) 18?
Если такое число существует, найдите его.
Решение:
1) m n ¯ − двузначное число, тогда:
m n ¯ = 10 m + n
m − n = 2
n m ¯ = 10 n + m
(10m + n) − (10n + m) = 20
10m + n − 10n − m = 20
9m − 9n = 20
Составим систему уравнений:
{ m − n = 2
9 m − 9 n = 20
m − n = 2
m = 2 + n,
9(2 + n) − 9n = 20
18 + 9n − 9n = 20
0 = 20 − 18
0 ≠ 2, следовательно такого двузначного числа не существует.
2) m n ¯ − двузначное число, тогда:
m n ¯ = 10 m + n
m − n = 2
n m ¯ = 10 n + m
(10m + n) − (10n + m) = 18
10m + n − 10n − m = 18
9m − 9n = 18
Составим систему уравнений:
{ m − n = 2
9 m − 9 n = 18
m − n = 2
m = 2 + n,
9(2 + n) − 9n = 18
18 + 9n − 9n = 18
0 = 18 − 18
0 = 0, следовательно условию задачи удовлетворяет любое двузначное число у которого цифра в разряде десятков на 2 больше цифры в разряде его единиц, например числа 31, 42, 97.
Задание №1127
(Задача Л.Н.Толстого.) Вышла в поле артель косарей. Она должна выкосить два луга, из которых один в два раза больше другого. Полдня вся артель косила большой луг, а на вторую половину дня артель разделилась пополам, и одна половина осталась докашивать большой луг, а вторая начала косить меньший. До вечера большой луг был скошен, а от меньшего остался участок, который скосил на следующий день один косарь, работающий целый день. Сколько косарей было в артели?
Решение:
Пусть x косарей в артели, а y косит за день 1 косец, тогда:
x ∗ 1 2 y = 1 2 x y большого луга скосила за полдня артель косцов;
1 2 x косцов косили во второй половине дня;
1 2 x ∗ 1 2 y = 1 4 x y большого луга скосила за вторые полдня половина косцов;
1 2 x y + 1 4 x y = 2 + 1 4 x y = 3 4 x y площадь большого луга.
1 2 x ∗ 1 2 y = 1 4 x y меньшего луга скосила за вторые полдня половина косцов;
y меньшего луга скосил 1 косарь на следующий день;
1 4 x y + y площадь малого луга.
Так площадь большого луга в два раза больше площади меньшего, то:
2 ( 1 4 x y + y ) = 3 4 x y
1 2 x y + 2 y = 3 4 x y
1 2 x y − 3 4 x y = − 2 y
2 − 3 4 x y = − 2 y
− 1 4 x y = − 2 y
x = − 2 y : − 1 4 y
x = − 2 y ∗ − 4 y
x = 8 косарей было в артели.
