Задание №1092
В двух бидонах было молоко. Если из первого бидона перелить во второй 10 л молока, то в обоих бидонах молока станет поровну. Если из второго бидона перелить в первый 20 л молока, то в первом станет в 2,5 раза больше молока, чем во втором. Сколько литров молока было в каждом бидоне?
Решение:
Пусть x л молока было в первом бидоне, а y л молока было во втором бидоне, тогда:
x − 10 л молока осталось в первом бидоне;
y + 10 л молока стало во втором бидоне;
x − 10 = y + 10 в обоих бидонах молока станет поровну.
x + 20 л молока стало в первом бидоне;
y − 20 л молока осталось во втором бидоне;
2,5(y − 20) = x + 20 в первом стало в 2,5 раза больше молока, чем во втором.
Составим систему уравнений:
{ x − 10 = y + 10
2, 5 ( y − 20 ) = x + 20
{ x − y = 10 + 10
2, 5 y − 50 = x + 20
{ x − y = 20
2, 5 y − x = 70
x − y + 2,5y − x = 20 + 70
1,5y = 90
y = 90 : 1,5
y = 60 л молока было во втором бидоне;
x − 60 = 20
x = 20 + 60 = 80 л молока было в первом бидоне.
Ответ: 80 л и 60 л молока.
Задание №1093
Когда в первый вагон электрички вошли 4 пассажира, а из второго вагона вышли 4 пассажира, то в обоих вагонах пассажиров стало поровну. Если бы в первый вагон вошли 2 пассажира, а во второй − 24 пассажира, то в первом вагоне стало бы в 2 раза меньше пассажиров, чем во втором. Сколько пассажиров было сначала в каждом вагоне?
Решение:
Пусть x пассажиров было в первом вагоне, а y пассажиров во втором вагоне, тогда:
x + 4 пассажиров стало в первом вагоне;
y − 4 пассажиров осталось во втором вагоне;
x + 4 = y − 4 пассажиров в вагонах стало поровну.
x + 2 пассажиров стало в первом вагоне;
y + 24 пассажиров стало во втором вагоне;
2(x + 2) = y + 24 в первом вагоне стало в 2 раза меньше пассажиров, чем во втором.
Составим систему уравнений:
{ x + 4 = y − 4
2 ( x + 2 ) = y + 24
{ x − y = − 4 − 4
2 x + 4 = y + 24
{ x − y = − 8 | ∗ ( − 1 )
2 x − y = 20
{ − x + y = 8
2 x − y = 20
−x + y + 2x − y = 8 + 20
x = 28 пассажиров было в первом вагоне;
28 − y = −8
−y = −8 − 28
−y = −36
y = 36 пассажиров было во втором вагоне.
Ответ: 28 и 36 пассажиров.
Задание №1094
Моторная лодка за 3 ч движения против течения реки и 2,5 ч по течению проходит 98 км. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения, если за 5 ч движения по течению она проходит на 36 км больше, чем за 4 ч против течения реки.
Решение:
Пусть x км/ч собственная скорость лодки, а y км/ч скорость течения, тогда:
x − y км/ч скорость лодки против течения;
x + y км/ч скорость лодки по течению;
3(x − y) км проплыла лодка против течения за 3 часа;
2,5(x + y) км проплыла лодка по течению за 2,5 часа;
3(x − y) + 2,5(x + y) = 98 км проплыла лодка всего.
5(x + y) км проплыла лодка по течению за 5 часов;
4(x − y) км проплыла лодка против течения за 4 часа;
5(x + y) − 4(x − y) = 36 км разность расстояний которое проплывает лодка по течению за 5 часов и против течения за 4 часа.
Составим систему уравнений:
{ 3 ( x − y ) + 2, 5 ( x + y ) = 98
5 ( x + y ) − 4 ( x − y ) = 36
{ 3 x − 3 y + 2, 5 x + 2, 5 y = 98
5 x + 5 y − 4 x + 4 y = 36
{ 5, 5 x − 0, 5 y = 98
x + 9 y = 36
x + 9y = 36
x = 36 − 9y
5,5(36 − 9y) − 0,5y = 98
198 − 49,5y − 0,5y = 98
−50y = 98 − 198
y = −100 : (−50)
y = 2 км/ч скорость течения реки;
x = 36 − 9 * 2 = 36 − 18 = 18 км/ч собственная скорость лодки.
Ответ: 18 км/ч и 2 км/ч.
Задание №1095
Катер за 5 ч движения по течению реки проходит на 70 км больше, чем за 3 ч движения против течения. Найдите скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если за 9 ч движения по озеру он проходит столько, сколько за 10 ч движения против течения реки.
Решение:
Пусть x км/ч скорость катера в стоячей воде, а y км/ч скорость течения реки, тогда:
x − y км/ч скорость катера против течения;
x + y км/ч скорость катера по течению;
5(x + y) проплыл катер по течению за 5 часов;
3(x − y) проплыл катер против течения за 3 часа;
5(x + y) − 3(x − y) = 70 разность расстояний которое проплывает катер по течению за 5 часов и против течения за 3 часа.
9x км проплывает катер в стоячей воде за 9 часов;
10(x − y) км проплывает катер против течения за 10 часов;
9x = 10(x − y) за 9 ч движения по озеру катер проходит столько, сколько за 10 ч движения против течения реки.
Составим систему уравнений:
{ 5 ( x + y ) − 3 ( x − y ) = 70
9 x = 10 ( x − y )
{ 5 x + 5 y − 3 x + 3 y = 70
9 x = 10 x − 10 y
{ 2 x + 8 y = 70
9 x − 10x = − 10 y
{ 2 x + 8 y = 70
x = 10 y
2 * 10y + 8y = 70
28y = 70
y = 70 : 28
y = 2,5 км/ч скорость течения реки;
x = 10 * 2,5 = 25 км/ч скорость катера в стоячей воде.
Ответ: 25 км/ч и 2,5 км/ч.
Задание №1096
(Задача из греческого фольклора.) Осел и мул идут рядом с грузом на спине. Осел жалуется на непосильную ношу, а мул отвечает "Чего ты жалуешься? Ведь если я возьму один твой мешок, то моя ноша станет в два раза тяжелее твоей. А если ты возьмешь один мой мешок, то твоя поклажа сравнится с моей". Скажите же, мудрые математики, сколько мешков нес осел и сколько нес мул?
Решение:
Пусть x мешков нес осел, а y мешков нес мул, тогда:
y + 1 мешков стало у мула;
x − 1 мешков осталось у осла;
y + 1 = 2(x − 1) ноша мула стала в два раза тяжелее ноши осла.
x + 1 мешков стало у осла;
y − 1 осталось у мула;
x + 1 = y − 1 мешков стало поровну.
Составим систему уравнений:
{ y + 1 = 2 ( x − 1 )
x + 1 = y − 1
{ y + 1 = 2 x − 2
x + 1 = y − 1
{ y − 2 x = − 3
x − y = − 2
y − 2x + x − y = −3 − 2
−x = −5
x = 5 мешков нес осел;
5 − y = −2
−y = −2 − 5
y = 7 мешков нес мул.
Ответ: 5 и 7 мешков.
Задание №1097
(Задача из индийского фольклора.) Один говорит другому: "Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя". Другой отвечает: "А если ты дашь мне 10 рупий, то я стану в 6 раз богаче тебя". Сколько денег было у каждого?
Решение:
Пусть x рупий было у одного, а y рупий у другого, тогда:
x + 100 рупий стало у первого;
y − 100 рупий стало у второго;
x + 100 = 2(y − 100) первый стал вдвое богаче второго.
x − 10 рупий осталось у первого;
y + 10 рупий стало у второго;
6(x − 10) = y + 10 второй стал богаче первого в 6 раз.
Составим систему уравнений:
{ x + 100 = 2 ( y − 100 )
6 ( x − 10 ) = y + 10
{ x + 100 = 2 y − 200
6 x − 60 = y + 10
{ x − 2 y = − 300
6 x − y = 70 | ∗ ( − 2 )
{ x − 2 y = − 300
− 12 x + 2 y = − 140
x − 2y − 12x + 2y = −300 − 140
−11x = −440
x = −440 : −11
x = 40 рупий было у одного;
40 − 2y = −300
−2y = −300 − 40
y = −340 : (−2)
y = 170 рупий было у другого.
Ответ: 40 рупий и 170 рупий.
Задание №1098
Сын 6 лет тому назад был в 4 раза младше отца, а через 12 лет он будет младше отца в 2 раза. Сколько лет отцу и сколько − сыну?
Решение:
Пусть х лет сыну, а y лет отцу, тогда:
x − 6 лет было сыну 6 лет назад;
y − 6 лет было отцу 6 лет назад;
4(x − 6) = y − 6 в 4 раза был младше отца сын 6 лет назад.
x + 12 лет будет сыну через 12 лет;
y + 12 лет будет отцу через 12 лет;
2(x + 12) = y + 12 в два раза младше отца будет сын через 12 лет.
Составим систему уравнений:
{ 4 ( x − 6 ) = y − 6
2 ( x + 12 ) = y + 12
{ 4 x − 24 = y − 6
2 x + 24 = y + 12
{ 4 x − y = 18
2 x − y = − 12 | ∗ ( − 1 )
{ 4 x − y = 18
− 2 x + y = 12
4x − y − 2x + y = 18 + 12
2x = 30
x = 30 : 2
x = 15 лет сыну;
−2 * 15 + y = 12
y = 30 + 12 = 42 года отцу.
Ответ: 42 года и 15 лет .
Задание №1099
Бабушка 6 лет тому назад была в 9 раз старше внучки, а 4 года тому назад − в 7 раз старше. Сколько лет бабушке и сколько − внучке?
Решение:
Пусть х лет бабушке, а y лет внучке, тогда:
x − 6 лет было бабушке 6 лет назад;
y − 6 лет было внучке 6 лет назад;
x − 6 = 9(y − 6) в 9 раз старше внучки была бабушка 6 лет назад.
x − 4 лет было бабушке 4 лет назад;
y − 4 лет было внучке 4 года назад;
x − 4 = 7(y − 4) в 7 раз старше внучки была бабушка 4 года назад.
Составим систему уравнений:
{ x − 6 = 9 ( y − 6 )
x − 4 = 7 ( y − 4 )
{ x − 6 = 9 y − 54
x − 4 = 7 y − 28
{ x − 9 y = − 48
x − 7 y = − 24 | ∗ ( − 1 )
{ x − 9 y = − 48
− x + 7 y = 24
x − 9y − x + 7y = −48 + 24
−2y = −24
y = −24 : −2
y = 12 лет внучке;
x − 7 * 12 = −24
x = −24 + 84 = 60 лет бабушке.
Ответ: 60 лет и 12 лет.
Задание №1100
Две мастерские должны были сшить 75 костюмов. Когда первая мастерская выполнила 60 % заказа, а вторая − 50%, то оказалось, что первая мастерская сшила на 12 костюмов больше, чем вторая. Сколько костюмов должна была сшить каждая мастерская?
Решение:
Пусть x костюмов должна была сшить первая мастерская, а y костюмов вторая мастерская, тогда:
x + y = 75 костюмов всего сшили обе мастерские;
0,6x костюмов сшила первая мастерская;
0,5y костюмов сшила вторая мастерская;
0,6x − 0,5y = 12 разность костюмов которые сшила первая мастерская и вторая мастерская.
Составим систему уравнений:
{ x + y = 75
0, 6 x − 0, 5 y = 12 | ∗ 2
{ x + y = 75
1, 2 x − y = 24
x + y + 1,2x − y = 24 + 75
2,2x = 99
x = 99 : 2,2
x = 45 костюмов должна была сшить первая мастерская;
45 + y = 75
y = 75 − 45 = 30 костюмов должна была сшить вторая мастерская.
Ответ: 45 и 30 костюмов.
