Задание №1101
У Миши и Гали было вместе 1500 р. Когда Миша истратил
1/3 своих денег на приобретение математического справочника, а Галя − 1/6 своих денег на приобретение справочника по русскому языку, то оказалось, что Миша истратил на 50 р. больше, чем Галя. Сколько денег было у каждого из них сначала?
Решение:
Пусть x р. было у Миши, а y р. было у Гали, тогда:
x + y = 1500 р. было всего у Миши и у Гали.
`1/3 x` р. истратил Миша;
`1/6 y` р. истратила Галя;
`1/3 x − 1/6 y = 50` на 50 рублей Миша истратил больше Гали.
Составим систему уравнений:
$\left\{\begin{array}{l}x+y=1500\\\frac13x-\frac16y=50\vert\ast6\end{array}\right.$
{ x + y = 1500
2 x − y = 300
x + y + 2x − y = 1500 + 300
3x = 1800
x = 1800 : 3
x = 600 р. было у Миши;
600 + y = 1500
y = 1500 − 600 = 900 р. было у Гали.
Ответ: 600 р. и 900 р.
Задание №1102
Известно, что 4 кг огурцов и 3 кг помидоров стоили 720 р. После того, как огурцы подорожали на 50 %, а помидоры подешевели на 20 %, за 2 кг огурцов и 5 кг помидоров заплатили 750 р. Найдите первоначальную цену 1 кг огурцов и 1 кг помидоров.
Пусть x р. стоил 1 кг огурцов первоначально, а y р. стоил первоначально 1 кг помидоров, тогда:
4x рублей стоило 4 кг огурцов;
3y рублей стоило 3 кг помидоров;
4x + 3y = 720 рублей всего стоили овощи.
x + 0,5x рублей стал стоить 1 кг огурцов;
y − 0,2y рублей стал стоить 1 кг помидор;
2(x + 0,5x) рублей стали стоить 2 кг огурцов;
5(y − 0,2y) рублей стали стоить 5 кг помидоров;
2(x + 0,5x) + 5(y − 0,2y) = 750 рублей стали стоить овощи.
Составим систему уравнений:
{ 4x + 3y = 720
2(x + 0,5x) + 5(y − 0,2y) = 750
{ 4x + 3y = 720
2 ∗ 1, 5 x + 5 ∗ 0, 8 y = 750
{ 4 x + 3 y = 720 | ∗ 3
3 x + 4 y = 750 | ∗ ( − 4 )
{ 12 x + 9 y = 2160
− 12 x − 16 y = − 3000
12x + 9y − 12x − 16y = 2160 - 3000
−7y = −840
y = 120 р. стоил первоначально 1 кг помидоров;
4x + 3*120 = 720
4х = 360
х = 90 р. стоил первоначально 1 кг огурцов.
Ответ: 90 р. и 120 р.
Задание №1102 (учебник до 2019 года)
Известно, что 4 кг огурцов и 3 кг помидоров стоили 240 р. После того, как огурцы подорожали на 50 %, а помидоры подешевели на 20 %, за 2 кг огурцов и 5 кг помидоров заплатили 250 р. Найдите первоначальную цену 1 кг огурцов и 1 кг помидоров.
Решение:
Пусть x р. стоил 1 кг огурцов первоначально, а y р. стоил первоначально 1 кг помидоров, тогда:
4x рублей стоило 4 кг огурцов;
3y рублей стоило 3 кг помидоров;
4x + 3y = 240 рублей всего стоили овощи.
x + 0,5x рублей стал стоить 1 кг огурцов;
y − 0,2y рублей стал стоить 1 кг помидор;
2(x + 0,5x) рублей стали стоить 2 кг огурцов;
5(y − 0,2y) рублей стали стоить 5 кг помидор;
2(x + 0,5x) + 5(y − 0,2y) = 250 рублей стали стоить овощи.
Составим систему уравнений:
{ 4 x + 3 y = 240
2 ( x + 0, 5 x ) + 5 ( y − 0, 2 y ) = 250
{ 4 x + 3 y = 240
2 ∗ 1, 5 x + 5 ∗ 0, 8 y = 250
{ 4 x + 3 y = 240 | ∗ 3
3 x + 4 y = 250 | ∗ ( − 4 )
{ 12 x + 9 y = 720
− 12 x − 16 y = − 1000
12x + 9y − 12x − 16y = 720 − 1000
−7y = −280
y = −280 : −7
y = 40 р. стоил первоначально 1 кг помидоров;
4x + 3 * 40 = 240
4x = 240 − 120
x = 120 : 4
x = 30 р. стоил первоначально 1 кг огурцов.
Ответ: 30 р. и 40 р.
Задание №1103
Известно, что 2 банки краски и 3 банки олифы стоили 1280 р. После того, как краска подешевела на 30 %, а олифа подорожала на 20 %, за 6 банок краски и 5 банок олифы заплатили 2640 р. Найдите первоначальную цену одной банки краски и одной банки олифы.
Пусть x р. стоила первоначально 1 банка краски, а y р. стоила первоначально 1 банка олифы, тогда:
2x рублей стоили 2 банки краски;
3y рублей стоили 3 банки олифы;
2x + 3y = 1280 рублей стоили вместе 2 банки краски и 3 банки олифы.
x − 0,3x рублей стала стоить 1 банка краски;
y + 0,2y рублей стала стоить 1 банка олифы;
6(x − 0,3x) рублей стали стоить 6 банок краски;
5(y + 0,2y) рублей стали стоить 5 банок олифы;
6(x − 0,3x) + 5(y + 0,2y) = 2640 рублей стали стоить вместе 6 банок краски и 5 банок олифы.
Составим систему уравнений:
Составим систему уравнений:
{ 2 x + 3 y = 1280
6 ( x − 0, 3 x ) + 5 ( y + 0, 2 y ) = 2640
{ 2 x + 3 y = 1280
6 ∗ 0, 7 x + 5 ∗ 1, 2 y = 2640
{ 2 x + 3 y = 1280 | ∗ ( − 2 )
4, 2 x + 6 y = 2640
{ − 4 x − 6 y = − 2560
4, 2 x + 6 y = 2640
−4x − 6y + 4,2x + 6y = −2560 + 2640
0,2x = 80
x = 80 : 0,2
x = 400 р. стоила первоначально 1 банка краски;
2 * 400 + 3y = 1280
3y = 1280 − 800
y = 480 : 3
y = 160 р. стоила первоначально 1 банка олифы.
Ответ: 400 р. и 160 р.
Задание №1103 (учебник до 2019 года)
Известно, что 2 банки краски и 3 банки олифы стоили 320 р. После того, как краска подешевела на 30 %, а олифа подорожала на 20 %, за 6 банок краски и 5 банок олифы заплатили 660 р. Найдите первоначальную цену одной банки краски и одной банки олифы.
Решение:
Пусть x р. стоила первоначально 1 банка краски, а y р. стоила первоначально 1 банка олифы, тогда:
2x рублей стоили 2 банки краски;
3y рублей стоили 3 банки олифы;
2x + 3y = 320 рублей стоили вместе 2 банки краски и 3 банки олифы.
x − 0,3x рублей стала стоить 1 банка краски;
y + 0,2y рублей стала стоить 1 банка олифы;
6(x − 0,3x) рублей стали стоить 6 банок краски;
5(y + 0,2y) рублей стали стоить 5 банок олифы;
6(x − 0,3x) + 5(y + 0,2y) = 660 рублей стали стоить вместе 6 банок краски и 5 банок олифы.
Составим систему уравнений:
{ 2 x + 3 y = 320
6 ( x − 0, 3 x ) + 5 ( y + 0, 2 y ) = 660
{ 2 x + 3 y = 320
6 ∗ 0, 7 x + 5 ∗ 1, 2 y = 660
{ 2 x + 3 y = 320 | ∗ ( − 2 )
4, 2 x + 6 y = 660
{ − 4 x − 6 y = − 640
4, 2 x + 6 y = 660
−4x − 6y + 4,2x + 6y = −640 + 660
0,2x = 20
x = 20 : 0,2
x = 100 р. стоила первоначально 1 банка краски;
2 * 100 + 3y = 320
3y = 320 − 200
y = 120 : 3
y = 40 р. стоила первоначально 1 банка олифы.
Ответ: 100 р. и 40 р.
Задание №1104
Вкладчик положил в банк 105 000 р. на два разных счета. По первому из них банк выплачивает 4 % годовых, а по второму − 6 % годовых. Через год вкладчик получил по процентам 5100 р. Сколько рублей он положил на каждый счет?
Пусть x рублей положил вкладчик на первый счет, а y рублей на второй счет, тогда:
x + y = 105000 рублей всего положил вкладчик на счета.
0,04x рублей прибыли получил вкладчик с первого счета;
0,06y рублей прибыли получил вкладчик со второго счета;
0,04x + 0,06y = 5100 рублей прибыли получил вкладчик всего.
Составим систему уравнений:
{ x + y = 105000 | ∗ ( − 0, 04 )
0, 04 x + 0, 06 y = 5100
{ − 0, 04 x − 0, 04 y = − 4200
0, 04 x + 0, 06 y = 5100
−0,04x − 0,04y + 0,04x + 0,06y = −4200 + 5100
0,02y = 900
y = 900 : 0,02
y = 45000 рублей положил вкладчик на второй счет;
x + 45000 = 105000
x = 105000 − 45000
x = 60000 рублей положил вкладчик на первый счет.
Ответ: 60000 рублей и 45000 рублей.
Задание №1104 (до 2019 года)
Вкладчик положил в банк 21 000 р. на два разных счета. По первому из них банк выплачивает 4 % годовых, а по второму − 6 % годовых. Через год вкладчик получил по процентам 1020 р. Сколько рублей он положил на каждый счет?
Решение:
Пусть x рублей положил вкладчик на первый счет, а y рублей на второй счет, тогда:
x + y = 21000 рублей всего положил вкладчик на счета.
0,04x рублей прибыли получил вкладчик с первого счета;
0,06y рублей прибыли получил вкладчик со второго счета;
0,04x + 0,06y = 1020 рублей прибыли получил вкладчик всего.
Составим систему уравнений:
{ x + y = 21000 | ∗ ( − 0, 04 )
0, 04 x + 0, 06 y = 1020
{ − 0, 04 x − 0, 04 y = − 840
0, 04 x + 0, 06 y = 1020
−0,04x − 0,04y + 0,04x + 0,06y = −840 + 1020
0,02y = 180
y = 180 : 0,02
y = 9000 рублей положил вкладчик на второй счет;
x + 9000 = 21000
x = 21000 − 9000
x = 12000 рублей положил вкладчик на первый счет.
Ответ: 12000 рублей и 9000 рублей.
Задание №1105
Вкладчик положил в банк 90000 р. на два разных счета. По первому из них банк выплачивает 5% годовых, а по второму − 7% годовых. Через год вкладчик получил по первому вкладу на 180 р. процентных денег больше, чем по второму вкладу. Сколько рублей он положил на каждый счет?
Пусть x рублей положил вкладчик на первый счет, а y рублей на второй счет, тогда:
x + y = 90000 рублей всего положил вкладчик на счета.
0,05x рублей прибыли получил вкладчик с первого счета;
0,07y рублей прибыли получил вкладчик со второго счета;
0,05x − 0,07y = 180 рублей разность полученной прибыли с первого и второго вкладов.
Составим систему уравнений:
{ x + y = 90000 | ∗ 0, 07
0, 05 x − 0, 07 y = 180
{ 0, 07 x + 0, 07 y = 6300
0, 05 x − 0, 07 y = 180
0,07x + 0,07y + 0,05x − 0,07y = 6300 + 180
0,12x = 6480
x = 6480 : 0,12
x = 54000 рублей положил вкладчик на первый счет;
54000 + y = 90000
y = 90000 − 54000 = 36000 рублей положил вкладчик на второй счет.
Ответ: 54000 рублей и 36000 рублей.
Задание №1105 (учебник до 2019 года)
Вкладчик положил в банк 30000 р. на два разных счета. По первому из них банк выплачивает 5% годовых, а по второму − 7% годовых. Через год вкладчик получил по первому вкладу на 60 р. процентных денег больше, чем по второму вкладу. Сколько рублей он положил на каждый счет?
Решение:
Пусть x рублей положил вкладчик на первый счет, а y рублей на второй счет, тогда:
x + y = 30000 рублей всего положил вкладчик на счета.
0,05x рублей прибыли получил вкладчик с первого счета;
0,07y рублей прибыли получил вкладчик со второго счета;
0,05x − 0,07y = 60 рублей разность полученной прибыли с первого и второго вкладов.
Составим систему уравнений:
{ x + y = 30000 | ∗ 0, 07
0, 05 x − 0, 07 y = 60
{ 0, 07 x + 0, 07 y = 2100
0, 05 x − 0, 07 y = 60
0,07x + 0,07y + 0,05x − 0,07y = 2100 + 60
0,12x = 2160
x = 2160 : 0,12
x = 18000 рублей положил вкладчик на первый счет;
18000 + y = 30000
y = 30000 − 18000 = 12000 рублей положил вкладчик на второй счет.
Ответ: 18000 рублей и 12000 рублей.
Задание №1106
Известно, что 60% числа a на 2 больше, чем 70% числа b, а 50% числа b на 10 больше, чем 1/3 числа на a. Найдите числа a и b.
Решение:
$\left\{\begin{array}{l}0,6a-0,7b=2\\0,5b-\frac13a=10\vert\ast6\end{array}\right.$
{ 0, 6 a − 0, 7 b = 2
3 b − 2 a = 60 | ∗ 0, 3
{ 0, 6 a − 0, 7 b = 2
0, 9 b − 0, 6 a = 18
0,6a − 0,7b + 0,9b − 0,6a = 2 + 18
0,2b = 20
b = 20 : 0,2
b = 100;
3 * 100 − 2a = 60
−2a = 60 − 300
a = −240 : −2
a = 120.
Ответ:
a = 120;
b = 100.
Задание №1107
Известно, что 25% одного числа равно 20% другого числа, а 1/6 первого числа на 4 меньше 40% другого. Найдите данные числа.
Решение:
Пусть одно число равно a, а другое равно b, тогда:
$\left\{\begin{array}{l}0,25a=0,2b\\\frac16a+4=0,4b\vert\ast6\end{array}\right.$
{ 0, 25 a − 0, 2 b = 0
a + 24 = 2, 4 b
{ 0, 25 a − 0, 2 b = 0 | ∗ ( − 4 )
a − 2, 4 b = − 24
{ − a + 0, 8 b = 0
a − 2, 4 b = − 24
−a + 0,8b + a − 2,4b = −24
−1,6b = −24
b = −24 : −1,6
b = 15;
a + 24 = 2,4 * 15
a = 36 − 24
a = 12.
Ответ:
одно число равно 12, а другое 15.
Задание №1108
Имеется два сплава меди и цинка. Один сплав содержит 9%, а другой − 30% цинка. Сколько килограммов каждого сплава надо взять, чтобы получить сплав массой 300 кг, содержащий 23% цинка?
Решение:
Пусть x кг надо взять одного сплава и y кг другого, тогда:
x + y = 300 кг общей массы двух сплавов нужно взять.
0,09x кг цинка содержится в первом сплаве;
0,3y кг цинка содержится во втором сплаве;
0,09x + 0,3y = 300 * 0,23 кг цинка должно содержатся в новом сплаве.
Составим систему уравнений:
{ x + y = 300
0, 09 x + 0, 3 y = 300 ∗ 0, 23
{ x + y = 300 | ∗ ( − 0, 3 )
0, 09 x + 0, 3 y = 69
{ − 0, 3 x − 0, 3 y = − 90
0, 09 x + 0, 3 y = 69
−0,3x − 0,3y + 0,09x + 0,3y = −90 + 69
−0,21x = −21
x = −21 : −0,21
x = 100 кг надо взять одного сплава;
100 + y = 300
y = 300 − 100 = 200 кг надо взять другого сплава.
Ответ: 100 кг и 200 кг.
Задание №1109
Имеется два водно−солевых раствора. Первый раствор содержит 25%, а второй − 40% соли. Сколько килограммов каждого раствора надо взять, чтобы получить 50 кг раствора, содержащего 34% соли?
Решение:
Пусть x кг надо взять первого раствора и y кг другого, тогда:
x + y = 50 кг общей массы двух растворов нужно взять.
0,25x кг соли содержится в первом растворе;
0,4y кг соли содержится во втором растворе;
0,25x + 0,4y = 50 * 0,34 кг соли должно содержатся в новом растворе.
Составим систему уравнений:
{ x + y = 50
0, 25 x + 0, 4 y = 50 ∗ 0, 34
{ x + y = 50
0, 25 x + 0, 4 y = 17 | ∗ ( − 4 )
{ x + y = 50
− x − 1, 6 y = − 68
x + y − x − 1,6y = 50 − 68
−0,6y = −18
y = −18 : −0,6
y = 30 кг надо взять второго раствора;
x + 30 = 50
x = 50 − 30 = 20 кг надо взять первого раствора.
Ответ: 30 кг и 20 кг.
Задание №1110
Сумма цифр двузначного числа равна 15. Если поменять его цифры местами, то получим число, которое меньше данного на 9. Найдите данное число.
Решение:
Пусть
m n = 10 m + n − двузначное число, тогда:
n + m = 15 сумма его цифр.
n m = 10 n + m − поменяли цифры местами, тогда:
10m + n − (10n + m) = 9.
Составим систему уравнений:
{ n + m = 15
10 m + n − ( 10 n + m ) = 9
{ n + m = 15
10 m + n − 10 n − m = 9
{ n + m = 15
9 m − 9 n = 9 | : 9
{ n + m = 15
m − n = 1
n + m + m − n = 15 + 1
2m = 16
m = 16 : 2
m = 8;
8 − n = 1
−n = 1 − 8
n = 7, следовательно данное число 87.
Ответ: 87.
Задание №1111
Периметр прямоугольника равен 28 см. Если две противоположные стороны увеличить на 6 см, а две другие уменьшить на 2 см, то его площадь увеличится на 24 см2. Найдите стороны данного прямоугольника.
Решение:
Пусть x см одна сторона прямоугольника, а y см другая, тогда:
P = 2(x + y) = 28 см.
S = xy см2 площадь прямоугольника;
x + 6 см одна сторона прямоугольника после увеличения;
y − 2 cм другая сторона прямоугольника после уменьшения;
(x + 6)(y − 2) = xy + 24 см2 площадь прямоугольника после изменения длин его сторон.
Составим систему уравнений:
{ 2 ( x + y ) = 28
( x + 6 ) ( y − 2 ) = x y + 24
{ 2 x + 2 y = 28
x y + 6 y − 2 x − 12 = x y + 24
{ 2 x + 2 y = 28
x y − x y + 6 y − 2 x = 24 + 12
{ 2 x + 2 y = 28
6 y − 2 x = 36
2x + 2y + 6y − 2x = 28 + 36
8y = 64
y = 64 : 8
y = 8 см другая сторона прямоугольника;
2x + 2 * 8 = 28
2x = 28 − 16
x = 12 : 2
x = 6 см одна сторона прямоугольника.
Ответ: 6 см и 8 см.
