Задание №1076
Какое из выражений принимает только отрицательные значения при любом значении x:
1) − x2 − 4 x + 6;
2) − x2 + 16 x − 64;
3) − x2 + 8 x − 18?
Решение:
1) − x2 − 4 x + 6 = − x2 − 4 x + 10 − 4 = − ( x2 + 4 x + 4 ) + 10 = − ( x + 2 )2 + 10, не подходит условию, так как при ( x + 2 )2 < 0 значение выражения будет принимать положительные значения.
2) − x2 + 16 x − 64 = − ( x2 − 16 x + 64 ) = − ( x − 8 ) 2, не подходит условию, так как при x = 8 значение выражения будет равно 0.
3) − x2 + 8 x − 18 = − x2 + 8 x − 16 − 2 = − ( x2 − 8 x + 16 ) = − ( x − 4 )2 − 2, следовательно данное выражение принимает только отрицательные значения при любом значении x.
Задание №1077
Клетки таблицы размером 101 × 101 заполнены числами так, что произведение чисел в каждом столбце является отрицательным. Может ли оказаться, что количество строк, произведение чисел в которых положительно, равно 51?
Решение:
Так как произведение чисел в каждом из 101 столбцов – отрицательное число, то отрицательным является и произведение всех чисел таблицы, потому что это произведение нечётного количества отрицательных множителей.
Если предположить, что произведение чисел в каждой из 51 строки – положительное число, а в каждой из оставшихся 50 строк – отрицательное число, то получим, что произведение всех чисел таблицы – число положительное. Таким образом, приходим к противоречию.
Ответ: не может.
