Задание №1056
Найдите, не выполняя построения, координаты точки пересечения прямых:
1) 2x − 3y = 8 и 7x − 5y = −5;
2) 9x + y = 3 и 8x + 3y = −10.
Решение:
1)
{ 2 x − 3 y = 8,
7 x − 5 y = − 5 ;
2x − 3y = 8
2x = 8 + 3y
`x = (8 + 3 y)/2`
x = 4 + 1,5y;
7(4 + 1,5y) − 5y = −5
28 + 10,5y − 5y = −5
5,5y = −5 − 28
5,5y = −33
y = −33 : 5,5
y = −6;
x = 4 + 1,5 * −6
x = 4 − 9
x = −5.
Точка пересечения прямых имеет координаты (−5;−6).
2)
{ 9 x + y = 3,
8 x + 3 y = − 10 ;
9x + y = 3
y = 3 − 9x,
8x + 3(3 − 9x) = −10
8x + 9 − 27x = −10
−19x = −10 − 9
−19x = −19
x = −19 : −19
x = 1;
9 * 1 + y = 3
y = 3 − 9
y = −6.
Точка пересечения прямых имеет координаты (1;−6).
Задание №1057
При каких значениях a и b график уравнения ax + by = 8 проходит через точки A(1;3) и B(2;−4)?
Решение:
ax + by = 8
A(1;3)
a + 3b = 8
B(2;−4)
2x − 4y = 8
{ a + 3 b = 8,
2 a − 4 b = 8 ;
a + 3b = 8
a = 8 − 3b,
2(8 − 3b) − 4b = 8
16 − 6b − 4b = 8
−10b = 8 − 16
−10b = −8
b = −8 : −10
b = 0,8;
a + 3b = 8
a + 3 * 0,8 = 8
a = 8 − 2,4
a = 5,6.
Ответ: при a = 5,6 и b = 0,8 график уравнения ax + by = 8 проходит через точки A(1;3) и B(2;−4).
Задание №1058
При каких значениях m и n график уравнения mx − ny = 6 проходит через точки С(2;−1) и D(−6;5)?
Решение:
mx − ny = 6
С(2;−1)
2m + n = 6
D(−6;5)
−6m − 5n = 6
{ 2 m + n = 6,
− 6 m − 5 n = 6 ;
2m + n = 6
n = 6 − 2m,
−6m − 5(6 − 2m) = 6
−6m − 30 + 10m = 6
4m = 6 + 30
4m = 36
m = 36 : 4
m = 9;
2 * 9 + n = 6
18 + n = 6
n = 6 − 18
n = −12.
Ответ: при m = 9 и n = −12 график уравнения mx − ny = 6 проходит через точки С(2;−1) и D(−6;5).
Задание №1059
Запишите уравнение прямой y = kx + b, проходящей через точки:
1) M(2;1) и K(−3;2);
2) P(−4;5) и Q(4;−3).
Решение:
1) y = kx + b
M(2;1)
1 = 2k + b
K(−3;2)
2 = −3k + b
{ 1 = 2 k + b,
2 = − 3 k + b ;
1 = 2k + b
b = 1 − 2k,
2 = −3k + 1 − 2k
−5k = 2 − 1
k = 1 : −5
k = −0,2;
b = 1 − 2 * (−0,2) = 1 + 0,4 = 1,4, следовательно уравнение имеет вид:
y = −0,2x + 1,4
2) y = kx + b
P(−4;5)
5 = −4k + b
Q(4;−3)
−3 = 4k + b
{ − 4 k + b = 5,
4 k + b = − 3 ;
−4k + b = 5
b = 5 + 4k,
4k + 5 + 4k = −3
8k = −3 − 5
k = −8 : 8
k = −1;
4 * (−1) + b = −3
−4 + b = −3
b = −3 + 4
b = 1, следовательно уравнение имеет вид:
y = −x + 1.
Задание №1060
Запишите уравнение прямой y = kx + b, проходящей через точки:
1) A(3;2) и B(−1;4);
2) C(−2;−3) и D(1;6).
Решение:
1) y = kx + b
A(3;2)
2 = 3k + b
B(−1;4)
4 = −k + b
{ 3 k + b = 2,
− k + b = 4 ;
3k + b = 2
b = 2 − 3k,
−k + 2 − 3k = 4
−4k = 4 − 2
k = 2 : −4
k = −0,5;
b = 2 − 3k = 2 − 3 * (−0,5) = 2 + 1,5 = 3,5, следовательно уравнение имеет вид:
y = −0,5x + 3,5
2) y = kx + b
C(−2;−3)
−3 = −2k + b
D(1;6)
6 = k + b
{ − 2 k + b = − 3,
k + b = 6 ;
k + b = 6
k = 6 − b,
−2(6 − b) + b = −3
−12 + 2b + b = −3
3b = −3 + 12
b = 9 : 3
b = 3,
k = 6 − b = 6 − 3 = 3, следовательно уравнение имеет вид:
y = 3x + 3
Задание №1061
Имеет ли решение система уравнений:
1)
2 x + y = 5,
{ 3 x − 4 y = 24,
x − 2 y = 9 ;
2)
2 x + 3 y = − 1,
{ 3 x + 5 y = 1,
5 x + 9 y = 5.
Решение:
1)
2 x + y = 5,
{ 3 x − 4 y = 24,
x − 2 y = 9 ;
Решим систему уравнений:
{ 2 x + y = 5
3 x − 4 y = 24
Чтобы исключить переменную y, умножим обе части первого уравнения на 4:
{ 8 x + 4 y = 20
3 x − 4 y = 24
8x + 4y + 3x − 4y = 20 + 24
11x = 44
x = 44 : 11
x = 4;
3 * 4 − 4y = 24
12 − 4y = 24
−4y = 24 − 12
y = 12 : −4
y = −3.
Подставим найденное решение (4;−3) в уравнение x − 2y = 9:
4 − 2 * (−3) = 9
4 + 6 = 9
10 ≠ 9, следовательно система уравнений не имеет решения.
2)
2 x + 3 y = − 1,
{ 3 x + 5 y = 1,
5 x + 9 y = 5.
Решим систему уравнений:
{ 2 x + 3 y = − 1,
3 x + 5 y = 1.
Чтобы исключить переменную x, умножим обе части первого уравнения на 3, а обе части второго уравнения на −2:
{ 6 x + 9 y = − 3,
− 6 x − 10 y = − 2.
6x + 9y − 6x − 10y = −3 − 2
−y = −5
y = 5;
6x + 9y = −3
6x + 9 * 5 = −3
6x = −3 − 45
x = −48 : 6
x = −8.
Подставим найденное решение (−8;5) в уравнение 5x + 9y = 5:
5 * (−8) + 9 * 5 = 5
−40 + 45 = 5
5 = 5, следовательно система имеет решение (−8;5).
Задание №1062
Решите систему уравнений:
1)
6 x + 5 y = 10,
{ 8 x − 5 y = 32,
3 x + 10 y = − 7 ;
2)
x − 2 y = 1,
{ 2 x + y = 7,
4 x + y = 14.
Решение:
1)
6 x + 5 y = 10,
{ 8 x − 5 y = 32,
3 x + 10 y = − 7 ;
{ 6 x + 5 y = 10
8 x − 5 y = 32
6x + 5y + 8x − 5y = 10 + 32
14x = 42
x = 42 : 14
x = 3;
6 * 3 + 5y = 10
18 + 5y = 10
5y = 10 − 18
y = −8 : 5
y = −1,6.
Подставим найденное решение (3;−1,6) в уравнение 3x + 10y = −7:
3 * 3 + 10 * (−6) = −7
9 − 16 = −7
−7 = −7.
Пара чисел (3;−1,6) − решение данной системы уравнений.
2)
x − 2 y = 1,
{ 2 x + y = 7,
4 x + y = 14 ;
{ x − 2 y = 1
2 x + y = 7
Чтобы исключить переменную y, умножим обе части второго уравнения на 2:
{ x − 2 y = 1
4 x + 2 y = 14
x − 2y + 4x + 2y = 1 + 14
5x = 15
x = 15 : 5
x = 3;
3 − 2y = 1
−2y = 1 − 3
y = −2 : −2
y = 1.
Подставим найденное решение (3;1) в уравнение 4x + y = 14:
4 * 3 + 1 = 14
12 + 1 = 14
13 ≠ 14, следовательно система уравнений не имеет решения.
Задание №1063
Запишите систему линейных уравнений с двумя переменными, графики которых изображены на рисунке 65.
Решение:
а) Красная прямая проходит через точки (4;0) и (0;4), тогда:
{ 4 k + b = 0
b = 4
4k + 4 = 0
4k = −4
k = −4 : 4
k = −1.
Следовательно прямая, проходящая через точки (4;0) и (0;4), принадлежит уравнению y = −x + 4.
Синяя прямая проходит через точки (2;0) и (0;−2), тогда:
{ 2 k + b = 0
b = − 2
2k − 2 = 0
2k = 2
k = 2 : 2
k = 1.
Следовательно прямая, проходящая через точки (2;0) и (0;−2), принадлежит уравнению y = x − 2.
Система линейных уравнений имеет вид:
{ x + y = 4
y − x = − 2
б) Красная прямая проходит через точки (3;0) и (0;2), тогда:
{ 3 k + b = 0
b = 2
3k + 2 = 0
3k = −2
`k = − 2/3`
Следовательно прямая, проходящая через точки (3;0) и (0;2), принадлежит уравнению
`y = − 2/3 x + 2`.
Синяя прямая проходит через точки (0;−1) и (−1,5;0), тогда:
{ − 1, 5 k + b = 0
b = − 1
−1,5k − 1 = 0
−1,5k = 1
`k = − 1/(1,5) = − 2/3`
Следовательно прямая, проходящая через точки (0;−1) и (−1,5;0), принадлежит уравнению
`y = − 2/3 x − 1`.
Система линейных уравнений имеет вид:
$\left\{\begin{array}{l}\frac23x+y=2\vert\ast3\\\frac23x+y=-1\vert\ast3\end{array}\right.$
{ 2 x + 3 y = 6
2 x + 3 y = − 3
в) Красная прямая проходит через точки (2;0) и (0;4), тогда:
{ 2 k + b = 0
b = 4
2k + 4 = 0
2k = −4
k = −4 : 2
k = −2
Следовательно прямая, проходящая через точки (2;0) и (0;4), принадлежит уравнению y = −2x + 4.
Синяя прямая проходит через точки (−3;0) и (1;2), тогда:
{ − 3 k + b = 0
k + b = 2
{ 3 k − b = 0
k + b = 2
3k − b + k + b = 2 + 0
4k = 2
k = 2 : 4 = 0,5;
0,5 + b = 2
b = 2 − 0,5
b = 1,5.
Следовательно прямая, проходящая через точки (−3;0) и (1;2), принадлежит уравнению y = 0,5x + 1,5.
Система линейных уравнений имеет вид:
{ y = − 2 x + 4
y = 0, 5 x + 1, 5
{ 2 x + y = 4
y − 0, 5 x = 1, 5
г) Красная прямая проходит через точки (0;3) и (−3;4), тогда:
{ b = 3
− 3 k + b = 4
−3k + 3 = 4
−3k = 4 − 3
`k = − 1/3`
Следовательно прямая, проходящая через точки (0;3) и (−3;4), принадлежит уравнению `y = − 1/3 x + 3`.
Синяя прямая проходит через точки (−2;0) и (−3;4), тогда:
{ − 2 k + b = 0
− 3 k + b = 4 | ∗ ( − 1 )
{ − 2 k + b = 0
3 k − b = − 4
−2k + b + 3k − b = −4 + 0
k = −4;
−2 * (−4) + b = 0
b = −8.
Следовательно прямая, проходящая через точки (−2;0) и (−3;4), принадлежит уравнению y = −4x − 8.
Система линейных уравнений имеет вид:
$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac13x+3\\y=-4x-8\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}\frac13x+y=3\\4x+y=-8\end{array}\right.$
