Задание №1067
Решите уравнение:
1) ( x + y )2 + ( x − 3 )2 = 0;
2) ( x + 2 y − 3 )2 + x2 − 4 x y + 4 y2 = 0;
3) | x − 3 y − 6 | + ( 9 x + 6 y − 32 )2 = 0;
4) x2 + y2 + 10 x − 12 y + 61 = 0;
5) 25 x2 + 10 y2 − 30 x y + 8 y + 16 = 0.
Решение:
1) ( x + y )2 + ( x − 3 )2 = 0
( x + y )2 = − ( x − 3 ) 2
( x + y )2 ⩾ 0 и ( x − 3 )2 ⩾ 0, тогда уравнение будет верно при:
( x + y )2 = 0 и ( x − 3 )2 = 0
( x − 3 )2 = 0
x − 3 = 0
x = 3;
( 3 + y )2 = 0
3 + y = 0
y = −3.
Ответ: (3;−3).
2) ( x + 2 y − 3 )2 + x2 − 4 x y + 4 y2 = 0
( x + 2 y − 3 )2 + ( x − 2 y ) 2
( x + 2 y − 3 )2 = − ( x − 2 y ) 2
( x + 2 y − 3 )2 ⩾ 0 и ( x − 2 y )2 ⩾ 0, тогда уравнение будет верно при:
( x + 2 y − 3 )2 = 0 и ( x − 2 y )2 = 0
{ x + 2 y − 3 = 0
x − 2 y = 0
x + 2y − 3 + x − 2y = 0
2x = 3
x = 3 : 2
x = 1,5;
1,5 − 2y = 0
−2y = −1,5
y = −1,5 : −2
y = 0,75.
Ответ: (1,5;0,75).
3) | x − 3 y − 6 | + ( 9 x + 6 y − 32 )2 = 0
| x − 3 y − 6 | = − ( 9 x + 6 y − 32 ) 2
| x − 3 y − 6 | ⩾ 0 и ( 9 x + 6 y − 32 )2 ⩾ 0, тогда уравнение будет верно при:
| x − 3 y − 6 | = 0 и ( 9 x + 6 y − 32 )2 = 0
{ x − 3 y − 6 = 0 | ∗ 2
9 x + 6 y − 32 = 0
{ 2 x − 6 y − 12 = 0
9 x + 6 y − 32 = 0
2x − 6y − 12 + 9x + 6y − 32 = 0
11x = 44
x = 44 : 11
x = 4;
4 − 3y − 6 = 0
−3y = 6 − 4
y = − 2/3
Ответ: ( 4 ; − 2/3 ).
4) x2 + y2 + 10 x − 12 y + 61 = 0
x2 + y2 + 10 x − 12 y + 25 + 36 = 0
( x2 + 10 x + 25 ) + ( y2 − 12 y + 36 ) = 0
( x + 5 )2 + ( y − 6 )2 = 0
( x + 5 )2 = − ( y − 6 ) 2
( x + 5 )2 ⩾ 0 и ( y − 6 )2 ⩾ 0, тогда уравнение будет верно при:
( x + 5 )2 = 0 и ( y − 6 )2 = 0
x + 5 = 0
x = −5;
y − 6 = 0
y = 6.
Ответ: (−5;6).
5) 25 x2 + 10 y2 − 30 x y + 8 y + 16 = 0
25 x2 + 9 y2 + y2 − 30 x y + 8 y + 16 = 0
( 25 x2 − 30 x y + 9 y2 ) + ( y2 + 8 y + 16 ) = 0
( 5 x − 3 y )2 + ( y + 4 )2 = 0
( 5 x − 3 y )2 ⩾ 0 и ( y + 4 )2 ⩾ 0, тогда уравнение будет верно при:
( 5 x − 3 y )2 = 0 и ( y + 4 )2 = 0
y + 4 = 0
y = −4;
5x − 3 * (−4) = 0
5x = −12
x = −12 : 5
x = −2,4.
Ответ: (−2,4;−4).
Задание №1068
Решите уравнение:
1) ( x − 2 y )2 + ( y − 5 )2 = 0;
2) ( 4 x + 2 y − 5 )2 + | 4 x − 6 y + 7 | = 0;
3) 50 x2 + 4 y2 − 28 x y + 16 x + 64 = 0.
Решение:
1) ( x − 2 y )2 + ( y − 5 )2 = 0
( x − 2 y )2 = − ( y − 5 ) 2
( x − 2 y )2 ⩾ 0 и ( y − 5 )2 ⩾ 0, тогда уравнение будет верно при:
( x − 2 y )2 = 0 и ( y − 5 )2 = 0
y − 5 = 0
y = 5;
x − 2 * 5 = 0
x = 10.
Ответ: (10;5).
2) ( 4 x + 2 y − 5 )2 + | 4 x − 6 y + 7 | = 0
( 4 x + 2 y − 5 )2 = − | 4 x − 6 y + 7 |
( 4 x + 2 y − 5 )2 ⩾ 0 и ( 4 x − 6 y + 7 )2 ⩾ 0, тогда уравнение будет верно при:
( 4 x + 2 y − 5 )2 = 0 и ( 4 x − 6 y + 7 )2 = 0
{ 4 x + 2 y − 5 = 0 | ∗ − 1
4 x − 6 y + 7 = 0
{ − 4 x − 2 y + 5 = 0
4 x − 6 y + 7 = 0
−4x − 2y + 5 + 4x − 6y + 7 = 0
−8y = −12
y = −12 : −8
y = 1,5;
4x + 2 * 1,5 − 5 = 0
4x + 3 − 5 = 0
4x = 5 − 3
x = 2 : 4
x = 0,5.
Ответ: (0,5;1,5).
3) 50 x2 + 4 y2 − 28 x y + 16 x + 64 = 0
49 x2 + x2 + 4 y2 − 28 x y + 16 x + 64 = 0
( 49 x2 − 28 x y + 4 y2 ) + ( x2 + 16 x + 64 ) = 0
( 7 x − 2 y )2 + ( x + 8 )2 = 0
( 7 x − 2 y )2 = − ( x + 8 ) 2
( 7 x − 2 y )2 ⩾ 0 и ( x + 8 )2 ⩾ 0, тогда уравнение будет верно при:
( 7 x − 2 y )2 = 0 и ( x + 8 )2 = 0
x + 8 = 0
x = −8;
7 * (−8) − 2y = 0
−56 − 2y = 0
−2y = 56
y = 56 : (−2)
y = −28.
Ответ: (−8;−28).
Задание №1069
Решите систему уравнений:
1) $\left\{\begin{array}{l}\frac2x+\frac5y=15,\\\frac3x+\frac8y=23;\end{array}\right.$
2) $\left\{\begin{array}{l}\frac5{2x-3y}+\frac{10}{3x-2y}=3,\\\frac{20}{3x-2y}-\frac{15}{2x-3y}=1.\end{array}\right.$
Решение:
1) $\left\{\begin{array}{l}\frac2x+\frac5y=15\vert\ast xy,\\\frac3x+\frac8y=23\vert\ast xy;\end{array}\right.$
{ 2 y + 5 x = 15 x y | ∗ 3,
3 y + 8 x = 23 x y | ∗ − 2 ;
{ 6 y + 15 x = 45 x y ,
− 6 y − 16 x = − 46 x y ;
6y + 15x − 6y − 16x = −xy
−x = −xy
x = xy
x − xy = 0
x(y − 1) = 0
x ≠ 0, так как на 0 делить нельзя.
y − 1 = 0
y = 1.
2 * 1 + 5x = 15x * 1
2 + 5x = 15x
15x − 5x = 2
10x = 2
x = 2 : 10
x = 0,2.
Ответ: (0,2;1).
2) $\left\{\begin{array}{l}\frac5{2x-3y}+\frac{10}{3x-2y}=3\vert\ast(2x-3y)(3x-2y),\\\frac{20}{3x-2y}-\frac{15}{2x-3y}=1\vert\ast(2x-3y)(3x-2y).\end{array}\right.$
{ 5 ( 3 x − 2 y ) + 10 ( 2 x − 3 y ) = 3 ∗ ( 2 x − 3 y ) ( 3 x − 2 y ),
20 ( 2 x − 3 y ) − 15 ( 3 x − 2 y ) = ( 2 x − 3 y ) ( 3 x − 2 y ) .
{ 15 x − 10 y + 20 x − 30 y = 3 ∗ ( 6 x2 − 9 x y − 4 x y + 6 y2 ),
40 x − 60 y − 45 x + 30 y = 6 x2 − 9 x y − 4 x y + 6 y2 .
{ 35 x − 40 y = 3 ∗ ( 6 x2 − 13 x y + 6 y2 ),
− 5 x − 30 y = 6 x2 − 13 x y + 6 y2 .
{ 35 x − 40 y = 18 x2 − 39 x y + 18 y2,
− 5 x − 30 y = 6 x2 − 13 x y + 6 y2 .
{ − 18 x2 − 18 y2 + 39 x y + 35 x − 40 y = 0,
− 6 x2 − 6 y2 + 13 x y − 5 x − 30 y | ∗ ( − 3 ) .
{ − 18 x2 − 18 y2 + 39 x y + 35 x − 40 y = 0,
18 x2 + 18 y2 − 39 x y + 15 x + 90 y .
−18x2 − 18y2 + 39xy + 35x − 40y + 18x2 + 18y2 − 39xy + 15x + 90y = 0
35x + 15x − 40y + 90y = 0
50x + 50y = 0
50x = −50y
x = −y.
−5 * (−y) − 30y = 6(−y)^2 − 13 * (−y) * y + 6y^2
5y − 30y = 6y^2 + 13y^2 + 6y^2
−25y = 25y^2
−25y − 25y^2 = 0
−25y(1 + y) = 0
−25y = 0
y1 = 0
x = −y
x = 0, пара чисел (0;0) не может быть решением данной систему уравнений, так как при данных значениях знаменатели членов уравнений будут равны нулю, что невозможно;
1 + y = 0
y2 = − 1.
x = −y
x = −(−1)
x = 1.
Ответ: (1;−1).
Задание №1070
Решите систему уравнений:
1) $\left\{\begin{array}{l}\frac1x-\frac7y=6,\\\frac2x+\frac3y=46;\end{array}\right.$
2) $\left\{\begin{array}{l}\frac9{x+4y}-\frac6{5x-y}=-2,\\\frac3{x+4y}+\frac{18}{5x-y}=1.\end{array}\right.$
Решение:
1) $\left\{\begin{array}{l}\frac1x-\frac7y=6\vert\ast xy,\\\frac2x+\frac3y=46\vert\ast xy;\end{array}\right.$
{ y − 7 x = 6 x y | ∗ ( − 2 ),
2 y + 3 x = 46 x y ;
{ − 2 y + 14 x = − 12 x y,
2 y + 3 x = 46 x y ;
−2y + 14x + 2y + 3x = −12xy + 46xy
17x = 34xy
17x − 34xy = 0
17x(1 − 2y) = 0
17x = 0
x ≠ 0, так как при x = 0 знаменатели членов уравнений будут равны нулю, что невозможно.
1 − 2y = 0
−2y = −1
y = −1 : −2
y = 0,5;
2 * 0,5 + 3x = 46x * 0,5
1 + 3x = 23x
23x − 3x = 1
20x = 1
x = 1 : 20
x = 0,05.
Ответ: (0,05;0,5)
2) $\left\{\begin{array}{l}\frac9{x+4y}-\frac6{5x-y}=-2\vert\ast(x+4y)(5x-y),\\\frac3{x+4y}+\frac{18}{5x-y}=1\vert\ast(x+4y)(5x-y).\end{array}\right.$
{ 9 ( 5 x − y ) − 6 ( x + 4 y ) = − 2 ( x + 4 y ) ( 5 x − y ),
3 ( 5 x − y ) + 18 ( x + 4 y ) = ( x + 4 y ) ( 5 x − y ) .
{ 45 x − 9 y − 6 x − 24 y = − 2 ( 5 x2 + 20 x y − x y − 4 y2 ),
15 x − 3 y + 18 x + 72 y = 5 x2 + 20 x y − x y − 4 y2 .
{ 39 x − 33 y = − 2 ( 5 x2 + 19 x y − 4 y2 ),
33 x + 69 y = 5 x2 + 19 x y − 4 y2 .
{ 39 x − 33 y = − 10 x2 − 38 x y + 8 y2,
33 x + 69 y = 5 x2 + 19 x y − 4 y2 .
{ 39 x − 33 y + 10 x2 + 38 x y − 8 y2 = 0,
33 x + 69 y − 5 x2 − 19 x y + 4 y2 = 0 | ∗ 2.
{ 39 x − 33 y + 10 x2 + 38 x y − 8 y2 = 0,
66 x + 138 y − 10 x2 − 38 x y + 8 y2 = 0.
39x − 33y + 10x2 + 38xy − 8y2 + 66x + 138y − 10x2 − 38xy + 8y2 = 0
39x − 33y + 66x + 138y = 0
105x + 105y = 0
105x = −105y
x = −y
33 * (−y) + 69y − 5 * (−y)2 − 19 * (−y) * y + 4y2 = 0
−33y + 69y − 5y2 + 19y2 + 4y2 = 0
18y2 + 36y = 0
18y(y + 2) = 0
18y = 0
y1 = 0
x = −y
x = 0, пара чисел (0;0) не может быть решением данной систему уравнений, так как при данных значениях знаменатели членов уравнений будут равны нулю, что невозможно;
y + 2 = 0
y2 = − 2.
x = −y
x = −(−2)
x = 2.
Ответ: (2;−2).
Задание №1071
Найдите значение выражения:
1) ( a2 + 1 )2 + ( a − 1 ) ( a2 + 1 ) − a 2, если a = −2;
2) ( a − 1 ) ( a2 + 1 ) ( a + 1 ) − ( a2 + 1 ) 2, если a = 1/2.
Решение:
1) ( a2 + 1 )2 + ( a − 1 ) ( a2 + 1 ) − a2 = ( a2 + 1 ) ( a2 + 1 + a − 1 ) − a2 = ( a2 + 1 ) ( a2 + a ) − a2 = a4 + a3 + a2 + a − a2 = a4 + a3 + a = ( − 2 )4 + ( − 2 )3 + ( − 2 ) = 16 − 8 − 2 = 6
2) ( a − 1 ) ( a2 + 1 ) ( a + 1 ) − ( a2 + 1 )2 = ( a2 − 1 ) ( a2 + 1 ) − ( a2 + 1 )2 = ( a2 + 1 ) ( a2 − 1 − a2 − 1 ) = − 2 ( a2 + 1 ) = − 2 ( ( 1/2 )2 + 1 ) = − 2 ( 1/4 + 1 ) = − 2 ∗ 5/4 = − 5/2 = − 2, 5
Задание №1072
На математической олимпиаде участникам было предложено решить 12 задач. За каждую правильно решенную задачу начисляли 5 баллов, а за нерешенную − снимали 3 балла. Сколько задач решил правильно ученик, получивший всего 36 баллов?
Решение:
Пусть x задач правильно решил ученик, тогда:
12 − x задач не правильно решил ученик;
5x баллов получил ученик за правильные задачи;
3(12 − x) баллов списали с ученика за неправильные задачи.
Так как всего ученик получил 36 баллов, то:
5x − 3(12 − x) = 36
5x − 36 + 3x = 36
5x + 3x = 36 + 36
8x = 72
x = 72 : 8
x = 9 задач правильно решил ученик.
Задание №1073
(Задача из немецкого фольклора.) За какое время лев, волк и собака могут съесть трех овец, если лев один может съесть овцу за 1 ч, волк − за 3 ч, а собака − за 6 ч?
Решение:
Лев один может съесть одну овцу за 1 ч;
1/3 овцы может съесть волк за 1 ч;
1/6 овцы может съесть собака за 1 ч;
`1 + 1/3 + 1/6 = (6 + 2 + 1)/6 = 9/6 = 1,5` овцы съедают совместно хищники за 1 ч;
3 : 1,5 = 2 ч потребуется хищникам, чтобы совместно съесть 3 овцы.
Задание №1074
Докажите, что разность квадратов двух произвольных натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 3, кратна 3.
Решение:
Пусть 3n + 1 первое число, 3n − 1 второе число, тогда:
( 3 n + 1 )2 − ( 3 n − 1 )2 = 9 n2 + 6 n + 1 − 9 n2 + 6 n − 1 = 12 n = 3 ∗ 4 n, следовательно разность квадратов двух произвольных натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 3, кратна 3.
Задание №1075
В саду деревьев больше, чем 90, но меньше, чем 100. Треть всех деревьев − яблони, а четверть всех деревьев − сливы. Сколько деревьев в саду?
Решение:
Пусть всего деревьев в саду равно 1, тогда:
1/3 − яблони;
1/4 − сливы.
90 < НОК(3;4) < 100
90 < 96 < 100, следовательно всего в саду 96 деревьев.
