Задание №1050
Решите систему уравнений методом сложения:
1) { 5 x + y = 7,
7 x − 4 y = − 1 ;
2) { 6 x − 5 y = 23,
2 x − 7 y = 13 ;
3) { 5 x − 2 y = 16,
8 x + 3 y = 38 ;
4) { 5 x − 4 y = 10,
2 x − 3 y = − 3 ;
5) { 4 a + 6 b = 9,
3 a − 5 b = 2 ;
6) { 9 m − 13 n = 22,
2 m + 3 n = − 1.
Решение:
1) { 5 x + y = 7,
7 x − 4 y = − 1 ;
Чтобы исключить переменную y, умножим обе части первого уравнения на 4:
{ 20 x + 4 y = 28,
7 x − 4 y = − 1 ;
20x + 4y + 7x − 4y = 28 − 1
27x = 27
x = 27 : 27
x = 1;
7 * 1 − 4y = −1
−4y = −1 − 7
−4y = −8
y = −8 : −4
y = 2.
Пара чисел (1;2) − решение данной системы уравнений.
2) { 6 x − 5 y = 23,
2 x − 7 y = 13 ;
Чтобы исключить переменную x, умножим обе части второго уравнения на −3:
{ 6 x − 5 y = 23,
− 6 x + 21 y = − 39 ;
6x − 5y − 6x + 21y = 23 − 39
16y = −16
y = −16 : 16
y = −1,
6x − 5 * (−1) = 23
6x = 23 − 5
x = 18 : 6
x = 3.
Пара чисел (3;−1) − решение данной системы уравнений.
3) { 5 x − 2 y = 16,
8 x + 3 y = 38 ;
Чтобы исключить переменную y, умножим обе части первого уравнения на 3, а второго на 2:
{ 15 x − 6 y = 48,
16 x + 6 y = 76 ;
15x − 6y + 16x + 6y = 48 + 76
31x = 124
x = 124 : 31
x = 4;
15 * 4 − 6y = 48
60 − 6y = 48
−6y = 48 − 60
y = −12 : −6
y = 2.
Пара чисел (4;2) − решение данной системы уравнений.
4) { 5 x − 4 y = 10,
2 x − 3 y = − 3 ;
Чтобы исключить переменную y, умножим обе части первого уравнения на 3, а второго на −4:
{ 15 x − 12 y = 30,
− 8 x + 12 y = 12 ;
15x − 12y − 8x + 12y = 30 + 12
7x = 42
x = 42 : 7
x = 6;
−8 * 6 + 12y = 12
−48 + 12y = 12
12y = 12 + 48
y = 60 : 12
y = 5.
Пара чисел (6;5) − решение данной системы уравнений.
5) { 4 a + 6 b = 9,
3 a − 5 b = 2 ;
Чтобы исключить переменную b, умножим обе части первого уравнения на 5, а второго на 6:
{ 20 a + 30 b = 45,
18 a − 30 b = 12 ;
20a + 30b + 18a − 30b = 45 + 12
38a = 57
a = 57 : 38
a = 1,5;
18 * 1,5 − 30b = 12
27 − 30b = 12
−30b = 12 − 27
−30b = −15
b = −15 : −30
b = 0,5.
Пара чисел (1,5;0,5) − решение данной системы уравнений.
6) { 9 m − 13 n = 22,
2 m + 3 n = − 1.
Чтобы исключить переменную m, умножим обе части второго уравнения на −4,5:
{ 9 m − 13 n = 22,
− 9 m − 13, 5 n = 4, 5.
9m − 13n − 9m − 13,5n = 22 + 4,5
−26,5n = 26,5
n = 26,5 : −26,5
n = −1,
9m − 13 * (−1) = 22
9m = 22 − 13
9m = 9
m = 9 : 9
m = 1
Пара чисел (1;−1) − решение данной системы уравнений.
Задание №1051
Решите систему уравнений:
1) { 2 ( 4 x − 5 ) − 3 ( 3 + 4 y ) = 5,
7 ( 6 y − 1 ) − ( 4 + 3 x ) = 21 y − 86 ;
2) { − 2 ( 2 x + 1 ) + 2, 5 = 3 ( y + 2 ) − 8 x,
8 − 5 ( 4 − x ) = 6 y − ( 5 − x ) ;
3) $\left\{\begin{array}{l}\frac x2-\frac y3=3,\\\frac{3x}4+\frac{5y}6=4;\end{array}\right.$
4) $\left\{\begin{array}{l}\frac{x+2}6-\frac{y-3}{15}=1,\\\frac{x+2,5}9-\frac{y+3}6=\frac13.\end{array}\right.$
Решение:
1) { 2 ( 4 x − 5 ) − 3 ( 3 + 4 y ) = 5,
7 ( 6 y − 1 ) − ( 4 + 3 x ) = 21 y − 86 ;
{ 8 x − 10 − 9 − 12 y = 5,
42 y − 7 − 4 − 3 x − 21 y = − 86 ;
{ 8 x − 12 y = 5 + 10 + 9,
21 y − 3 x = − 86 + 7 + 4 ;
{ 8 x − 12 y = 24,
21 y − 3 x = − 75 ;
Чтобы исключить переменную x, поделим обе части первого уравнения на 4, а обе части второго уравнения умножим на 2 3:
{ 2 x − 3 y = 6,
14 y − 2 x = − 50 ;
2x − 3y + 14y − 2x = 6 − 50
11y = −44
y = −44 : 11
y = −4;
2x − 3 * (−4) = 6
2x + 12 = 6
2x = 6 − 12
2x = −6
x = −6 : 2
x = −3.
Пара чисел (−3;−4) − решение данной системы уравнений.
2) { − 2 ( 2 x + 1 ) + 2, 5 = 3 ( y + 2 ) − 8 x,
8 − 5 ( 4 − x ) = 6 y − ( 5 − x ) ;
{ − 4 x − 2 + 2, 5 = 3 y + 6 − 8 x,
8 − 20 + 5 x = 6 y − 5 + x ;
{ − 4 x + 8 x − 3 y = 6 + 2 − 2, 5,
5 x − x − 6 y = − 5 − 8 + 20 ;
{ 4 x − 3 y = 5, 5,
4 x − 6 y = 7 ;
Чтобы исключить переменную x, умножим обе части первого уравнения на −1:
{ − 4 x + 3 y = − 5, 5,
4 x − 6 y = 7 ;
4x − 6y − 4x + 3y = 7 − 5,5
−3y = 1,5
y = 1,5 : −3
y = −0,5;
4x − 6 * (−0,5) = 7
4x + 3 = 7
4x = 7 − 3
x = 4 : 4
x = 1.
Пара чисел (1;−0,5) − решение данной системы уравнений.
3) $\left\{\begin{array}{l}\frac x2-\frac y3=3,\\\frac{3x}4+\frac{5y}6=4;\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}\frac{3x-2y}6=3,\\\frac{9x+10y}{12}=4;\end{array}\right.$
{ 3 x − 2 y = 18,
9 x + 10 y = 48 ;
Чтобы исключить переменную x, умножим обе части первого уравнения на −3:
{ − 9 x + 6 y = − 54,
9 x + 10 y = 48 ;
−9x + 6y + 9x + 10y = −54 + 48
16y = −6
`y = − 6/16 = − 3/8 = − 0, 375`;
9 x + 10 ∗ ( − 0, 375 ) = 48
9x − 3,75 = 48
9x = 48 + 3,75
x = 51,75 : 9
x = 5,75.
Пара чисел (5,75;−0,375) − решение данной системы уравнений.
4) $\left\{\begin{array}{l}\frac{x+2}6-\frac{y-3}{15}=1,\\\frac{x+2,5}9-\frac{y+3}6=\frac13.\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}\frac{5(x+2)-2(y-3)}{30}=1,\\\frac{2(x+2,5)-3(y+3)}{18}=\frac13.\end{array}\right.$
{ 5 ( x + 2 ) − 2 ( y − 3 ) = 1 ∗ 30,
2 ( x + 2, 5 ) − 3 ( y + 3 ) = 1/3 ∗ 18.
{ 5 x + 10 − 2 y + 6 = 30,
2 x + 5 − 3 y − 9 = 6.
{ 5 x − 2 y = 30 − 10 − 6,
2 x − 3 y = 6 − 5 + 9.
{ 5 x − 2 y = 14,
2 x − 3 y = 10.
Чтобы исключить переменную y, умножим обе части первого уравнения на −3, а обе части второго уравнения на 2:
{ − 15 x + 6 y = − 42,
4 x − 6 y = 20.
−15x + 6y + 4x − 6y = −42 + 20
−11x = −22
x = −22 : −11
x = 2;
4 * 2 − 6y = 20
8 − 6y = 20
−6y = 20 − 8
−6y = 12
y = 12 : −6
y = −2.
Пара чисел (2;−2) − решение данной системы уравнений.
Задание №1052
Решите систему уравнений:
1) { 0, 2 x − 0, 3 ( 2 y + 1 ) = 1, 5,
3 ( x + 1 ) + 3 y = 2 y − 2 ;
2) $\left\{\begin{array}{l}\frac{15x-3y}4+\frac{3x+2y}6=3,\\\frac{3x+y}3-\frac{x-3y}2=6.\end{array}\right.$
Решение:
1) { 0, 2 x − 0, 3 ( 2 y + 1 ) = 1, 5,
3 ( x + 1 ) + 3 y = 2 y − 2 ;
{ 0, 2 x − 0, 6 y − 0, 3 = 1, 5,
3 x + 3 + 3 y = 2 y − 2 ;
{ 0, 2 x − 0, 6 y = 1, 5 + 0, 3,
3 x + 3 y − 2 y = − 2 − 3 ;
{ 0, 2 x − 0, 6 y = 1, 8,
3 x + y = − 5 ;
y = −5 − 3x,
0,2x − 0,6(−5 − 3x) = 1,8
0,2x + 3 + 1,8x = 1,8
2x = 1,8 − 3
x = −1,2 : 2
x = −0,6;
3 * (−0,6) + y = −5
−1,8 + y = −5
y = −5 + 1,8
y = −3,2.
Пара чисел (−0,6;−3,2) − решение данной системы уравнений.
2) $\left\{\begin{array}{l}\frac{15x-3y}4+\frac{3x+2y}6=3,\\\frac{3x+y}3-\frac{x-3y}2=6.\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{lc}\frac{3(15x-3y)+2(3x+2y)}{12}=3,&\\\frac{2(3x+y)-3(x-3y)}6=6.&\end{array}\right.$
{ 3 ( 15 x − 3 y ) + 2 ( 3 x + 2 y ) = 3 ∗ 12,
2 ( 3 x + y ) − 3 ( x − 3 y ) = 6 ∗ 6.
{ 45 x − 9 y + 6 x + 4 y = 36,
6 x + 2 y − 3 x + 9 y = 36.
{ 51 x − 5 y = 36,
3 x + 11 y = 36.
51x − 5y = 36
−5y = 36 − 51x
y = (36 − 51 x)/(− 5)
y = −7,2 + 10,2x
y = 10,2x − 7,2,
3x + 11(10,2x − 7,2) = 36
3x + 112,2x − 79,2 = 36
115,2x = 36 + 79,2
x = 115,2 : 115,2
x = 1;
y = 10,2 * 1 − 7,2
y = 10,2 − 7,2
y = 3.
Пара чисел (1;3) − решение данной системы уравнений.
Задание №1053
Найдите решение системы уравнений:
1) { ( x − 3 )2 − 4 y = ( x + 2 ) ( x + 1 ) − 6,
( x − 4 ) ( y + 6 ) = ( x + 3 ) ( y − 7 ) + 3 ;
2) { ( x − y ) ( x + y ) − x ( x + 10 ) = y ( 5 − y ) + 15,
( x + 1 )2 + ( y − 1 )2 = ( x + 4 )2 + ( y + 2 )2 − 18.
Решение:
1) { ( x − 3 )2 − 4 y = ( x + 2 ) ( x + 1 ) − 6,
( x − 4 ) ( y + 6 ) = ( x + 3 ) ( y − 7 ) + 3 ;
{ x2 − 6 x + 9 − 4 y = x2 + 2 x + x + 2 − 6,
x y − 4 y + 6 x − 24 = x y + 3 y − 7 x − 21 + 3 ;
{ x2 − x2 − 6 x − 2 x − x − 4 y = 2 − 6 − 9,
x y − x y − 4 y − 3 y + 6 x + 7 x = 24 − 21 + 3 ;
{ − 9 x − 4 y = − 13,
− 7 y + 13 x = 6 ;
Чтобы исключить переменную y, умножим обе части первого уравнения на 7, а обе части второго уравнения на −4:
{ − 63 x − 28 y = − 91,
28 y − 52 x = − 24 ;
−63x − 28y + 28y − 52x = −91 − 24
−115x = −115
x = −115 : −115
x = 1;
28y − 52 * 1 = −24
28y − 52 = −24
28y = −24 + 52
28y = 28
y = 28 : 28
y = 1.
Пара чисел (1;1) − решение данной системы уравнений.
2) { ( x − y ) ( x + y ) − x ( x + 10 ) = y ( 5 − y ) + 15,
( x + 1 )2 + ( y − 1 )2 = ( x + 4 )2 + ( y + 2 )2 − 18.
{ x2 − y2 − x2 − 10 x = 5 y − y2 + 15,
x2 + 2 x + 1 + y2 − 2 y + 1 = x2 + 8 x + 16 + y2 + 4 y + 4 − 18.
{ x2 − x2 − y2 + y2 − 10 x − 5 y = 15,
x2 − x2 + y2 − y2 + 2 x − 8 x − 2 y − 4 y = 16 + 4 − 18 − 1 − 1.
{ − 10 x − 5 y = 15,
− 6 x − 6 y = 0.
−6x − 6y = 0
−6x = 6y
x = 6y : −6
x = −y;
−10 * (−y) − 5y = 15
10y − 5y = 15
5y = 15
y = 15 : 5
y = 3;
−6x − 6 * 3 = 0
−6x − 18 = 0
−6x = 18
x = 18 : −6
x = −3.
Пара чисел (−3;3) − решение данной системы уравнений.
Задание №1054
Найдите решение системы уравнений:
1) { ( 2 x + 1 )2 − ( 2 x − y ) ( 2 x + y ) = ( y + 8 ) ( y − 10 ),
4 x ( x − 5 ) − ( 2 x − 3 ) ( 2 x − 9 ) = 6 y − 104 ;
2) { ( x − 2 ) ( x2 + 2 x + 4 ) − x ( x − 4 ) ( x + 4 ) = 20 − 20 y,
( 3 x − 2 ) ( 4 y + 5 ) = 2 y ( 6 x − 1 ) − 58.
Решение:
1) { ( 2 x + 1 )2 − ( 2 x − y ) ( 2 x + y ) = ( y + 8 ) ( y − 10 ),
4 x ( x − 5 ) − ( 2 x − 3 ) ( 2 x − 9 ) = 6 y − 104 ;
{ 4 x2 + 4 x + 1 − 4 x2 + 2 x y − 2 x y + y2 = y2 + 8 y − 10 y − 80,
4 x2 − 20 x − 4 x2 + 6 x + 18 x − 27 = 6 y − 104 ;
{ 4 x2 − 4 x2 + y2 − y2 + 2 x y − 2 x y + 4 x − 8 y + 10 y = − 1 − 80,
4 x2 − 4 x2 − 20 x + 6 x + 18 x − 6 y = 27 − 104 ;
{ 4 x + 2 y = − 81,
4 x − 6 y = − 77 ;
Чтобы исключить переменную x, умножим обе части второго уравнения на −1:
{ 4 x + 2 y = − 81,
− 4 x + 6 y = 77 ;
4x + 2y − 4x + 6y = 77 − 81
8y = −4
y = −4 : 8
y = −0,5;
4x + 2 * (−0,5) = −81
4x − 1 = −81
4x = −81 + 1
x = −80 : 4
x = −20;
4 * (−20) + 2y = −81
−80 + 2y = −81
2y = −81 + 80
2y = −1
y = −1 : 2
y = −0,5.
Пара чисел (−20;−0,5) − решение данной системы уравнений.
2) { ( x − 2 ) ( x2 + 2 x + 4 ) − x ( x − 4 ) ( x + 4 ) = 20 − 20 y,
( 3 x − 2 ) ( 4 y + 5 ) = 2 y ( 6 x − 1 ) − 58.
{ x3 − 8 − x ( x2 − 16 ) = 20 − 20 y,
12 x y − 8 y + 15 x − 10 = 12 x y − 2 y − 58.
{ x3 − x3 + 16 x + 20 y = 20 + 8,
12 x y − 12 x y − 8 y + 2 y + 15 x = 10 − 58.
{ 16 x + 20 y = 28,
15 x − 6 y = − 48.
Чтобы исключить переменную y, поделим обе части первого уравнения на 10, а обе части второго уравнения поделим на 3:
{ 1, 6 x + 2 y = 2, 8,
5 x − 2 y = − 16.
1,6x + 2y + 5x − 2y = 2,8 − 16
6,6x = −13,2
x = −13,2 : 6,6
x = −2;
5 * (−2) − 2y = −16
−2y = −16 + 10
y = −6 : −2
y = 3.
Пара чисел (−2;3) − решение данной системы уравнений.
Задание №1055
Найдите, не выполняя построения, координаты точки пересечения прямых:
1) y = 2 − 3x и 2x + 3y = 7;
2) 5x + 6y = −20 и 2x + 9y = 25.
Решение:
1)
{ y = 2 − 3 x,
2 x + 3 y = 7 ;
2x + 3(2 − 3x) = 7
2x + 6 − 9x = 7
−7x = 7 − 6
x = − 1 7;
`y = 2 − 3 ∗ (− 1/7) = 2 + 3/7 = 2 3/7`.
Точка пересечения прямых имеет координаты ( − 1/7 ; `2 3/7` ).
2)
{ 5 x + 6 y = − 20,
2 x + 9 y = 25 ;
Чтобы исключить переменную y, умножим обе части первого уравнения на −3, а второго на 2:
{ − 15 x − 18 y = 60,
4 x + 18 y = 50 ;
−15x − 18y + 4x + 18y = 60 + 50
−11x = 110
x = 110 : −11
x = −10;
4 * (−10) + 18y = 50
−40 + 18y = 50
18y = 50 + 40
y = 90 : 18
y = 5.
Точка пересечения прямых имеет координаты (−10;5).
