Ответы к параграфу 8.
8.1. Понятие степени с целым показателем
Задание 570
а) Что понимает под $a^0$, если a ≠ 0?
б) Что понимают под $a^{-m}$, если a ≠ 0 и m − натуральное число?
в) Что называют степенью с целым показателем?
г) Имеет ли смысл выражение: $0^5; 0^0; 0^{-5}$?
Решение
а) $a^0 = 1$ при a ≠ 0
б) $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$, если a ≠ 0 и m − натуральное число
в) Степенью с целым показателем называют выражение
$$ a^m = \begin{cases} \underbrace{a * a * ... * a}_{m-раз}, если\;m-натуральное\;число\;и\;m ≥ 2 &\\ a, если\;m = 1 &\\ 1, если\;m = 0 &\\ \frac{1}{a^{-m}}, если\;m-целое\;отрицательное\;число & \end{cases} $$
г) $0^5$ − имеет смысл,
$0^0$ − не имеет смысла,
$0^{-5}$ − не имеет смысла.
Задание 571
Вычислите:
а) $5^0$;
б) $(-\frac{1}{3})^0$;
в) $(-1,2)^0$;
г) $(-1)^0$.
Решение
а) $5^0 = 1$
б) $(-\frac{1}{3})^0 = 1$
в) $(-1,2)^0 = 1$
г) $(-1)^0 = 1$
Задание 572
Вычислите:
а) $\frac{2^4}{2^3}$;
б) $\frac{2^4}{2^4}$;
в) $\frac{2^4}{2^5}$;
г) $\frac{2^5}{2^7}$;
д) $\frac{3^5}{3^4}$;
е) $\frac{3^{100}}{3^{100}}$;
ж) $\frac{(-0,3)^4}{(-0,3)^5}$;
з) $\frac{0,2^7}{0,2^5}$.
Решение
а) $\frac{2^4}{2^3} = 2^{4 - 3} = 2^1 = 2$
б) $\frac{2^4}{2^4} = 2^{4 - 4} = 2^0 = 1$
в) $\frac{2^4}{2^5} = 2^{4 - 5} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$
г) $\frac{2^5}{2^7} = 2^{5 - 7} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$
д) $\frac{3^5}{3^4} = 3^{5 - 4} = 3^1 = 3$
е) $\frac{3^{100}}{3^{100}} = 3^{100 - 100} = 3^0 = 1$
ж) $\frac{(-0,3)^4}{(-0,3)^5} = -0,3^{4 - 5} = -0,3^{-1} = -\frac{1}{0,3} = -\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3}$
з) $\frac{0,2^7}{0,2^5} = 0,2^{7 - 5} = 0,2^2 = 0,04$
Задание 573
Определите, имеет ли смысл выражение. Если да, то вычислите его значение:
а) $(0,25 * 79 - 3,21 * 2\frac{1}{11})^0$;
б) $(0,48 * 5,2 - 4,8 * 0,52)^0$.
Решение
а) $(0,25 * 79 - 3,21 * 2\frac{1}{11})^0 = (\frac{1}{4} * \frac{79}{1} - \frac{321}{100} * \frac{23}{11})^0 = 1$ − имеет смысл
б) $(0,48 * 5,2 - 4,8 * 0,52)^0 = (4,8 * 0,52 - 4,8 * 0,52)^0 = 0^0$ − не имеет смысла
Задание 574
Запишите в виде степени с целым показателем:
а) 2 * 2 * 2;
б) $2^3 * 2^5$;
в) $\frac{1}{3^2}$;
г) $\frac{1}{3}$;
д) $\frac{1}{3 * 3 * 3 * 3}$;
е) 5;
ж) $\frac{1}{16}$;
з) $\frac{1}{25}$;
и) $2^3 : 2^3$;
к) $\frac{9^7}{9^5}$;
л) $\frac{0,5^6}{0,5^7}$;
м) $(-\frac{1}{5})^3 : (-\frac{1}{5})^7$.
Решение
а) $2 * 2 * 2 = 2^3$
б) $2^3 * 2^5 = 2^{3 + 5} = 2^8$
в) $\frac{1}{3^2} = 3^{-2}$
г) $\frac{1}{3} = 3^{-1}$
д) $\frac{1}{3 * 3 * 3 * 3} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$
е) 5 = 5^1
ж) $\frac{1}{16} = \frac{1}{4^2} = 4^{-2}$
з) $\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$
и) $2^3 : 2^3 = 2^{3 - 3} = 2^0$
к) $\frac{9^7}{9^5} = 9^{7 - 5} = 9^2$
л) $\frac{0,5^6}{0,5^7} = 0,5^{6 - 7} = 0,5^{-1}$
м) $(-\frac{1}{5})^3 : (-\frac{1}{5})^7 = (-\frac{1}{5})^{3 - 7} = (-\frac{1}{5})^{-4}$
