Задание 553
При каких значениях букв определено выражение:
а) $\frac{3}{x^2}$;
б) $\frac{x}{x^2 + y^2}$;
в) $\frac{xy - c}{m^2 - n^2}$;
г) $\frac{ab + c}{p^2 - q^2}$;
д) $\frac{a + b}{a^2 - b^2} + \frac{b}{a}$;
е) $\frac{xy - 5}{x + y} * \frac{x - y}{xy}$;
ж) $\frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{a - b}$?
Решение
а) $\frac{3}{x^2}$
выражение определено при при всех значениях x ≠ 0.
б) $\frac{x}{x^2 + y^2}$
выражение определено при любых значениях переменных кроме x = y = 0.
в) $\frac{xy - c}{m^2 - n^2}$
выражение определено при любых значениях переменных, кроме m = n и m = −n.
г) $\frac{ab + c}{p^2 - q^2}$
выражение определено при любых значениях переменных, кроме p = q и p = −q.
д) $\frac{a + b}{a^2 - b^2} + \frac{b}{a} = \frac{a + b}{(a - b)(a + b)} + \frac{b}{a} = \frac{1}{a - b} + \frac{b}{a}$
выражение определено при любых значениях переменных, кроме a = b и a ≠ 0.
е) $\frac{xy - 5}{x + y} * \frac{x - y}{xy}$
выражение определено при любых значениях переменных, кроме x = −y и при x ≠ 0, y ≠ 0.
ж) $\frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{a - b} = \frac{b - a}{ab} * \frac{1}{a - b} = -\frac{1}{ab}$
выражение определено при любых значениях переменных, при a ≠ 0, b ≠ 0.
Задание 554
Какие из данных алгебраических дробей ни при каких числовых значениях x не принимают целых значений:
$\frac{1}{x}$;
$\frac{1 - x}{1 + x}$;
$\frac{1}{x^2 + 4}$;
$\frac{9}{x^3 - 1}$?
Решение
$\frac{1}{x}$
при x = 1:
$\frac{1}{1} = 1$ − целое значение.
$\frac{1 - x}{1 + x}$
при x = 0:
$\frac{1 - 0}{1 + 0} = \frac{1}{1} = 1$ − целое значение.
$\frac{1}{x^2 + 4}$ − ни при каких числовых значениях x не принимает целых значений, так как всегда $x^2 + 4 ≥ 4$
$\frac{9}{x^3 - 1}$
при x = 0:
$\frac{9}{0 - 1} = \frac{9}{-1} = -9$ − целое значение.
Ответ: $\frac{1}{x^2 + 4}$
Задание 555
При каких числовых значениях букв данные дроби равны нулю и при каких не определены:
$\frac{3x}{x - 2}$;
$\frac{m - 38}{m}$;
$\frac{2p - 8}{p - 3}$;
$\frac{a + 13}{2 - 3a}$?
Решение
$\frac{3x}{x - 2}$
3x = 0
x = 0
x − 2 ≠ 0
x ≠ 2
При x = 0 данная дробь равна 0.
При x = 2 данная дробь не определена.
$\frac{m - 38}{m}$
m − 38 = 0
m = 38
m ≠ 0
При m = 38 данная дробь равна 0.
При m = 0 данная дробь не определена.
$\frac{2p - 8}{p - 3}$
2p − 8 = 0
2p = 8
p = 4
p − 3 ≠ 0
p ≠ 3
При p = 4 данная дробь равна 0.
При p = 3 данная дробь не определена.
$\frac{a + 13}{2 - 3a}$
a + 13 = 0
a = −13
2 − 3a ≠ 0
−3a ≠ −2
$a ≠ \frac{2}{3}$
При a = −13 данная дробь равна 0.
При $a = \frac{2}{3}$ данная дробь не определена.
Задание 556
Вычислите значение выражения:
а) $\frac{a + b}{a^2 - b^2} + a + \frac{b}{a}$ при a = 3, b = 4;
б) $\frac{ab}{a^2 + b^2} - a^2$ при a = −3, b = 4;
в) $\frac{xy - 5}{x + y} * \frac{x + y}{x - y}$ при x = 0, y = −3.
Решение
а) $\frac{a + b}{a^2 - b^2} + a + \frac{b}{a} = \frac{a + b}{(a - b)(a + b)} + a + \frac{b}{a} = \frac{1}{a - b} + a + \frac{b}{a}$
при a = 3, b = 4:
$\frac{1}{3 - 4} + 3 + \frac{4}{3} = \frac{1}{-1} + 3 + 1\frac{1}{3} = -1 + 4\frac{1}{3} = 3\frac{1}{3}$
б) $\frac{ab}{a^2 + b^2} - a^2$
при a = −3, b = 4:
$\frac{-3 * 4}{(-3)^2 + 4^2} - (-3)^2 = \frac{-12}{9 + 16} - 9 = -\frac{12}{25} - 9 = -9\frac{12}{25}$
в) $\frac{xy - 5}{x + y} * \frac{x + y}{x - y} = \frac{xy - 5}{1} * \frac{1}{x - y}$
при x = 0, y = −3:
$\frac{0 * (-3) - 5}{1} * \frac{1}{0 - (-3)} = -5 * \frac{1}{3} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$
Задание 557
Упростите выражение и вычислите его значение:
а) $\frac{3m^2 + 6mn + 3n^2}{6n^2 - 6m^2}$ при m = 0,5, $n = \frac{2}{3}$;
б) $\frac{2c^2 - 2b^2}{4b^2 - 8bc + 4c^2}$ при b = 0,25, $c = \frac{1}{3}$;
в) $\frac{4xy}{y^2 - x^2} : (\frac{1}{y^2 - x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2})$ при x = 0,35, y = 7,65;
г) $\frac{x^2 + 25}{(x - 5)^3} + \frac{10x}{(5 - x)^3}$ при x = 5,125.
Решение
а) $\frac{3m^2 + 6mn + 3n^2}{6n^2 - 6m^2} = \frac{3(m^2 + 2mn + n^2)}{6(n^2 - m^2)} = \frac{(m + n)^2}{2(n - m)(n + m)} = \frac{m + n}{2(n - m)}$
при m = 0,5, $n = \frac{2}{3}$:
$\frac{0,5 + \frac{2}{3}}{2(\frac{2}{3} - 0,5)} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}{2(\frac{2}{3} - \frac{1}{2})} = \frac{\frac{3}{6} + \frac{4}{6}}{2(\frac{4}{6} - \frac{3}{6})} = \frac{\frac{7}{6}}{2 * \frac{1}{6}} = \frac{7}{6} * 3 = \frac{7}{2} = 3,5$
б) $\frac{2c^2 - 2b^2}{4b^2 - 8bc + 4c^2} = \frac{2(c^2 - b^2)}{4(b^2 - 2bc + c^2)} = \frac{(c - b)(c + b)}{2(b - c)^2} = \frac{(c - b)(c + b)}{2(c - b)^2} = \frac{c + b}{2(c - b)}$
при b = 0,25, $c = \frac{1}{3}$:
$\frac{\frac{1}{3} + 0,25}{2(\frac{1}{3} - 0,25)} = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{2(\frac{1}{3} - \frac{1}{4})} = \frac{\frac{4}{12} + \frac{3}{12}}{2(\frac{4}{12} - \frac{3}{12})} = \frac{\frac{7}{12}}{2 * \frac{1}{12}} = \frac{\frac{7}{12}}{\frac{1}{6}} = \frac{7}{12} * 6 = \frac{7}{2} = 3,5$
в) $\frac{4xy}{y^2 - x^2} : (\frac{1}{y^2 - x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2}) = \frac{4xy}{(y - x)(y + x)} : (\frac{1}{(y - x)(y + x)} + \frac{1}{(x + y)^2}) = \frac{4xy}{(y - x)(y + x)} : \frac{x + y + y - x}{(y - x)(y + x)^2} = \frac{4xy}{(y - x)(y + x)} : \frac{2y}{(y - x)(y + x)^2} = \frac{4xy}{(y - x)(y + x)} * \frac{(y - x)(y + x)^2}{2y} = \frac{2x}{1} * \frac{y + x}{1} = 2x(y + x)$
при x = 0,35, y = 7,65:
2 * 0,35 * (7,65 + 0,35) = 0,7 * 8 = 5,6
г) $\frac{x^2 + 25}{(x - 5)^3} + \frac{10x}{(5 - x)^3} = \frac{x^2 + 25}{(x - 5)^3} - \frac{10x}{(x - 5)^3} = \frac{x^2 + 25 - 10x}{(x - 5)^3} = \frac{(x - 5)^2}{(x - 5)^3} = \frac{1}{x - 5}$
при x = 5,125:
$\frac{1}{5,125 - 5} = \frac{1}{0,125} = \frac{1000}{125} = 8$
Задание 558
При каких целых значениях x значение дроби:
а) $\frac{3}{x}$;
б) $\frac{3x + 5}{x + 1}$;
в) $\frac{5}{x}$;
г) $\frac{3}{x - 1}$;
д) $\frac{x + 2}{x + 1}$;
е) $\frac{4x + 9}{x + 2}$
является целым числом?
Решение
а) Только при x = 1, −1, 3, −3 значение дроби $\frac{3}{x}$ целое число.
б) Так как $\frac{3x + 5}{x + 1} = \frac{3(x + 1) + 2}{x + 1} = \frac{3(x + 1)}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} = 3 + \frac{2}{x + 1}$, то значение выражения целое только при x = −3, −2, 0, 1.
в) Только при x = −5, −1, 1, 5 значение дроби $\frac{5}{x}$ целое число.
г) Только при x = −2, 0, 2, 4 значение дроби $\frac{3}{x - 1}$ целое число.
д) Так как $\frac{x + 2}{x + 1} = \frac{(x + 1) + 1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}$, то значение выражения целое только при x = −2, 0.
е) Так как $\frac{4x + 9}{x + 2} = \frac{4(x + 2) + 1}{x + 2} = \frac{4(x + 2)}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$, то значение выражения целое только при x = −3, −1.
