Задание 575

Вычислите:
а) $10^4; 10^3; 10^2; 10^1; 10^0; 10^{-1}; 10^{-2}; 10^{-3}; 10^{-4}$;
б) $2^5; 2^4; 2^3; 2^2; 2^1; 2^0; 2^{-1}; 2^{-2}; 2^{-3}; 2^{-4}; 2^{-5}$;
в) $(-3)^3; (-3)^2; (-3)^1; (-3)^0; (-3)^{-1}; (-3)^{-2}; (-3)^{-3}$.

Решение

а) $10^4 = 10000$;
$10^3 = 1000$;
$10^2 = 100$;
$10^1 = 10$;
$10^0 = 1$;
$10^{-1} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10} = 0,1$;
$10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$;
$10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0,001$;
$10^{-4} = \frac{1}{10^4} = \frac{1}{10000} = 0,0001$.

б) $2^5 = 32$;
$2^4 = 16$;
$2^3 = 8$;
$2^2 = 4$;
$2^1 = 2$;
$2^0 = 1$;
$2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$;
$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$;
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$;
$2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$;
$2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.

в) $(-3)^3 = -27$;
$(-3)^2 = 9$;
$(-3)^1 = -3$;
$(-3)^0 = 1$;
$(-3)^{-1} = \frac{1}{-3^1} = -\frac{1}{3}$;
$(-3)^{-2} = \frac{1}{-3^2} = \frac{1}{9}$;
$(-3)^{-3} = \frac{1}{-3^3} = -\frac{1}{27}$.

Задание 576

Вычислите:
а) $1^{-1}; -1^{1}; (-1)^{1}; (-1)^{-1}; -1^{-1}$;
б) $1^{-2}; -1^{2}; (-1)^{2}; (-1)^{-2}; -1^{-2}$;
в) $2^{-2}; -2^{2}; (-2)^{2}; (-2)^{-2}; -2^{-2}$.

Решение

а) $1^{-1} = \frac{1}{1^1} = \frac{1}{1} = 1$;
$-1^{1} = -1$;
$(-1)^{1} = -1$;
$(-1)^{-1} = \frac{1}{(-1)^1} = -\frac{1}{1} = -1$;
$-1^{-1} = -\frac{1}{1^1} = -\frac{1}{1} = -1$.

б) $1^{-2} = \frac{1}{1^2} = \frac{1}{1} = 1$;
$-1^{2} = -(1 * 1) = -1$;
$(-1)^{2} = -1 * (-1) = 1$;
$(-1)^{-2} = \frac{1}{(-1)^2} = \frac{1}{1} = 1$;
$-1^{-2} = -\frac{1}{1^2} = -\frac{1}{1} = -1$.

в) $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$;
$-2^{2} = -(2 * 2) = -4$;
$(-2)^{2} = -2 * (-2) = 4$;
$(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$;
$-2^{-2} = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}$.

Задание 577

Вычислите:
а) $-4^{-2}$;
б) $3^{-1}$;
в) $3^{-4}$;
г) $7,12^{0}$;
д) $5^{-1} + 4^{-1}$;
е) $(5 + 4)^{-1}$;
ж) $4^{-1} - 5^{-1}$;
з) $(3^{-1} - 5^{-1})^{-2}$;
и) $2^{-3} + 4^{-2}$;
к) $3^{-2} - 9^{-1}$;
л) $4^{2} * 2^{-3}$;
м) $3^{-4} : 9^{-2}$.

Решение

а) $-4^{-2} = -\frac{1}{4^2} = -\frac{1}{16}$

б) $3^{-1} = \frac{1}{3}$

в) $3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$

г) $7,12^{0} = 1$

д) $5^{-1} + 4^{-1} = \frac{1}{5} + \frac{1}{4} = \frac{4 + 5}{20} = \frac{9}{20}$

е) $(5 + 4)^{-1} = 9^{-1} = \frac{1}{9}$

ж) $4^{-1} - 5^{-1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5 - 4}{20} = \frac{1}{20}$

з) $(3^{-1} - 5^{-1})^{-2} = (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})^{-2} = (\frac{5 - 3}{15})^{-2} = (\frac{2}{15})^{-2} = (\frac{15}{2})^2 = \frac{225}{4} = 56\frac{1}{4}$

и) $2^{-3} + 4^{-2} = \frac{1}{2^3} + \frac{1}{4^2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{2 + 1}{16} = \frac{3}{16}$

к) $3^{-2} - 9^{-1} = \frac{1}{3^2} - \frac{1}{9} = \frac{1}{9} - \frac{1}{9} = 0$

л) $4^{2} * 2^{-3} = 16 * \frac{1}{2^3} = 16 * \frac{1}{8} = 2$

м) $3^{-4} : 9^{-2} = \frac{1}{3^4} : \frac{1}{9^2} = \frac{1}{81} : \frac{1}{81} = 1$

Задание 578

Проверьте равенство:
а) $(\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2$;
б) $(\frac{1}{2})^{-3} = (\frac{2}{1})^3$;
в) $(\frac{12}{31})^{-5} = (\frac{31}{12})^5$;
г) $(1\frac{2}{3})^{4} = (\frac{3}{5})^{-4}$.

Решение

а) $(\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2$
$(\frac{2}{3})^{-2} = \frac{1}{(\frac{2}{3})^2} = (\frac{3}{2})^2$
$(\frac{3}{2})^2 = (\frac{3}{2})^2$
равенство верно

б) $(\frac{1}{2})^{-3} = (\frac{2}{1})^3$
$(\frac{1}{2})^{-3} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^3} = (\frac{2}{1})^3$
$(\frac{2}{1})^3 = (\frac{2}{1})^3$
равенство верно

в) $(\frac{12}{31})^{-5} = (\frac{31}{12})^5$
$(\frac{12}{31})^{-5} = \frac{1}{(\frac{12}{31})^5} = (\frac{31}{12})^5$
$(\frac{31}{12})^5 = (\frac{31}{12})^5$
равенство верно

г) $(1\frac{2}{3})^{4} = (\frac{3}{5})^{-4}$
$(\frac{3}{5})^{-4} = \frac{1}{(\frac{3}{5})^4} = (\frac{5}{3})^4 = (1\frac{2}{3})^4$
$(1\frac{2}{3})^4 = (1\frac{2}{3})^4$
равенство верно

Задание 579

Докажите, что для чисел a ≠ 0, b ≠ 0, k − целого верно равенство:
$(\frac{a}{b})^{-k} = (\frac{b}{a})^k$.

Решение

$(\frac{a}{b})^{-k} = \frac{1}{(\frac{a}{b})^{k}} = 1 : (\frac{a}{b})^{k} = 1 * (\frac{b}{a})^k = (\frac{b}{a})^k$.
Значит, $(\frac{a}{b})^{-k} = (\frac{b}{a})^k$.
Утверждение доказано.

Задание 580

Сравните:
а) $5^{0}$ и $(-5)^0$;
б) $5^{-2}$ и $5^2$;
в) $(-2)^{3}$ и $(-2)^0$;
г) $-3^{2}$ и $(-3)^2$;
д) $(-2)^{4}$ и $2^{-4}$;
е) $-2^{4}$ и $2^{-4}$.

Решение

а) $5^{0}$ и $(-5)^0$
$5^{0} = 1$
$(-5)^0 = 1$
1 = 1
$5^{0} = (-5)^0$

б) $5^{-2}$ и $5^2$
$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$
$5^2 = 25$
$\frac{1}{25} < 25$
$5^{-2} < 5^2$

в) $(-2)^{3}$ и $(-2)^0$
$(-2)^{3} = -8$
$(-2)^0 = 1$
−8 < 1
$(-2)^{3} < (-2)^0$

г) $-3^{2}$ и $(-3)^2$
$-3^{2} = -9$
$(-3)^2 = 9$
−9 < 9
$-3^{2} < (-3)^2$

д) $(-2)^{4}$ и $2^{-4}$
$(-2)^{4} = 16$
$2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$
$16 > \frac{1}{16}$
$(-2)^{4} > 2^{-4}$

е) $-2^{4}$ и $2^{-4}$
$-2^{4} = -16$
$2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$
$-16 < \frac{1}{16}$
$-2^{4} < 2^{-4}$

Задание 581

Сравните:
а) $19^{-20}$ и $(\frac{1}{19})^{20}$;
б) $(\frac{2}{3})^5$ и $(\frac{3}{5})^{-5}$;
в) $(\frac{1}{3})^6$ и $3^{-6}$;
г) $1999^{2000}$ и $(\frac{1}{1999})^{-2000}$.

Решение

а) $19^{-20}$ и $(\frac{1}{19})^{20}$
$19^{-20} = \frac{1}{19^20} = (\frac{1}{19})^{20}$
$19^{-20} = (\frac{1}{19})^{20}$

б) $(\frac{2}{3})^5$ и $(\frac{3}{5})^{-5}$
$(\frac{3}{5})^{-5} = (\frac{5}{3})^{5}$
$(\frac{2}{3})^5 < (\frac{5}{3})^{5}$
$(\frac{2}{3})^5 < (\frac{3}{5})^{-5}$

в) $(\frac{1}{3})^6$ и $3^{-6}$
$3^{-6} = \frac{1}{3^6} = (\frac{1}{3})^6$
$(\frac{1}{3})^6 = 3^{-6}$

г) $1999^{2000}$ и $(\frac{1}{1999})^{-2000}$
$(\frac{1}{1999})^{-2000} = (\frac{1999}{1})^{2000} = 1999^{2000}$
$1999^{2000} = (\frac{1}{1999})^{-2000}$

Задание 582

Сравните с нулем:
а) $2^{-3}$;
б) $(-2)^{3}$;
в) $(-2)^{-3}$;
г) $-2^{3}$;
д) $2^{-4}$;
е) $(-2)^{4}$;
ж) $(-2)^{-4}$;
з) $-2^{4}$.

Решение

а) $2^{-3} = \frac{1}{2^3} > 0$

б) $(-2)^{3} = -8 < 0$

в) $(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{8} < 0$

г) $-2^{3} = -8 < 0$

д) $2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} > 0$

е) $(-2)^{4} = 16 > 0$

ж) $(-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^4} = \frac{1}{16} > 0$

з) $-2^{4} = -16 < 0$

Задание 583

Запишите в виде степени с целым показателем, если a ≠ 0:
а) $a^3 * a^4$;
б) $a^4 * a$;
в) $a^{13} : a^6$;
г) $a^{12} : a$;
д) $(a^4)^6$;
е) $(a^2)^5$;
ж) $a^7 * b^7$;
з) $a^4 * b^4$.

Решение

а) $a^3 * a^4 = a^{3 + 4} = a^7$

б) $a^4 * a = a^{4 + 1} = a^5$

в) $a^{13} : a^6 = a^{13 - 6} = a^7$

г) $a^{12} : a = a^{12 - 1} = a^{11}$

д) $(a^4)^6 = a^{4 * 6} = a^{24}$

е) $(a^2)^5 = a^{2 * 5} = a^{10}$

ж) $a^7 * b^7 = (ab)^7$

з) $a^4 * b^4 = (ab)^4$

Задание 584

Запишите в виде степени с целым показателем, если a ≠ 0:
а) $a^{5} : a^{6}$;
б) $a^{7} : a^{6}$;
в) $a^{4} : a$;
г) $a^{12} : a^{12}$;
д) $a^{-4} : a^{6}$;
е) $a^{4} : a^{-5}$;
ж) $a^{-11} : a^{-8}$;
з) $a^{-4} : a$;
и) $a^{6} : a^{5}$;
к) $a^{9} : a^{0}$;
л) $a^{-3} : a^{0}$;
м) $a^{0} : a^{-8}$.

Решение

а) $a^{5} : a^{6} = a^{5 - 6} = a^{-1}$

б) $a^{7} : a^{6} = a^{7 - 6} = a^{1}$

в) $a^{4} : a = a^{4 - 1} = a^3$

г) $a^{12} : a^{12} = a^{12 - 12} = a^0$

д) $a^{-4} : a^{6} = a^{-4 - 6} = a^{-10}$

е) $a^{4} : a^{-5} = a^{4 - (-5)} = a^{4 + 5} = a^{9}$

ж) $a^{-11} : a^{-8} = a^{-11 - (-8)} = a^{-11 + 8} = a^{-3}$

з) $a^{-4} : a = a^{-4 - 1} = a^{-5}$

и) $a^{6} : a^{5} = a^{6 - 5} = a^1$

к) $a^{9} : a^{0} = a^{9 - 0} = a^{9}$

л) $a^{-3} : a^{0} = a^{-3 - 0} = a^{-3}$

м) $a^{0} : a^{-8} = a^{0 - (-8)} = a^{0 + 8} = a^8$