Ответы к параграфу 7.6. Тождественное равенство рациональных выражений

Задание 562

Какое равенство двух рациональных выражений называют тождеством?

Решение

Любое верное равенство двух рациональных выражений является тождеством.

Задание 563

Приведите пример верного равенства для многочленов относительно x. Является ли это равенство тождеством?

Решение

Пример:
8x + 7 = 7 + 8x
Данное равенство является тождеством.

Задание 564

Приведите пример верного равенства двух выражений относительно x, левая часть которого определена для всех x, отличных от 0 и 1, а правая − для всех x, отличных от 0. Является ли это равенство тождеством?

Решение

$\frac{5x + 9}{x(x - 1)} = \frac{5}{x}$ − не является тождеством.

Задание 565

При каких значениях букв определены обе части равенства:
а) a + b = b + a;
б) ab + ac = a(b + c);
в) $\frac{a}{b} = \frac{1}{b} * a$;
г) $\frac{1}{ab} = \frac{1}{a} * \frac{1}{b}$;
д) $\frac{(x + y)^2}{x + y} = x + y$;
е) $x - y = \frac{x^2 - y^2}{x + y}$;
ж) $\frac{m^3 + m}{m^2 + 1} = m$;
з) $m^2 - m + 1 = \frac{m^3 + 1}{m + 1}$;
и) $\frac{a + b}{a^2 - b^2} = \frac{1}{a - b}$;
к) $\frac{a}{a - b} - \frac{b}{a + b} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$?
Являются ли эти равенства тождествами?

Решение

а) a + b = b + a
Обе части равенства определены при любых значениях букв. Является тождеством.

б) ab + ac = a(b + c)
Обе части равенства определены при любых значениях букв. Является тождеством.

в) \frac{a}{b} = \frac{1}{b} * a$
Обе части равенства определены при любых значениях a и при b ≠ 0. Является тождеством.

г) $\frac{1}{ab} = \frac{1}{a} * \frac{1}{b}$
Обе части равенства определены при a ≠ 0 и при b ≠ 0. Является тождеством.

д) $\frac{(x + y)^2}{x + y} = x + y$
Обе части равенства определены при x ≠ −y. Является тождеством.

е) $x - y = \frac{x^2 - y^2}{x + y}$
Обе части равенства определены при x ≠ −y. Является тождеством.

ж) $\frac{m^3 + m}{m^2 + 1} = m$
Обе части равенства определены при любых значениях m. Является тождеством.

з) $m^2 - m + 1 = \frac{m^3 + 1}{m + 1}$
Обе части равенства определены при m ≠ −1. Является тождеством. Является тождеством.

и) $\frac{a + b}{a^2 - b^2} = \frac{1}{a - b}$
Обе части равенства определены при a ≠ b. Является тождеством.

к) $\frac{a}{a - b} - \frac{b}{a + b} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$
Обе части равенства определены при a ≠ −b, a ≠ b. Является тождеством.