Ответы к параграфу 8.2. Свойства степени с целым показателем

Задание 585

а) По какому правилу умножают степени с целыми показателями одного и того же числа?
б) По какому правилу делят степени с целыми показателями одного и того же числа?
в) По какому правилу возводят в степень с целым показателем степень числа?
г) По какому правилу находят степень с целым показателем произведения двух чисел?
д) По какому правилу находят степень с целым показателем частного двух чисел?

Решение

а) При умножении степеней одного и того же числа показатели степеней складывают.

б) При делении степеней одного и того же числа показатели степеней вычитают.

в) При возведении степени числа в степень показатели степеней перемножают.

г) Степень произведения двух чисел равна произведению тех же степеней этих чисел.

д) Степень частного двух чисел равна частному тех же степеней этих чисел.

Задание 586

Представьте в виде степени с целым показателем:
а) $a^{-3} * b^{-3}$;
б) $7^2 * 2^{-3} * 7$.

Решение

а) $a^{-3} * b^{-3} = ab^{-3}$

б) $7^2 * 2^{-3} * 7 = 7^{2 + 1} * 2^{-3} = 7^3 * (\frac{1}{2})^3 = (7 * \frac{1}{2})^3 = (\frac{7}{2})^3 = (3\frac{1}{2})^3$

Задание 587

Представьте выражение в виде произведения степеней:
а) $(a^2b^{-5})^3$;
б) $(a^{-7}b^{2})^{-2}$;
в) $(a^{-3}b^{-5})^{-4}$.

Решение

а) $(a^2b^{-5})^3 = (a^2)^3 * (b^{-5})^3 = a^{2 * 3} * b^{-5 * 3} = a^6b^{-15}$

б) $(a^{-7}b^{2})^{-2} = (a^{-7})^{-2} * (b^2)^{-2} = a^{-7 * (-2)} * b^{2 * (-2)} = a^{14}b^{-4}$

в) $(a^{-3}b^{-5})^{-4} = (a^{-3})^{-4} * (b^{-5})^{-4} = a^{-3 * (-4)} * b^{-5 * (-4)} = a^{12}b^{20}$

Задание 588

Докажите, что если a ≠ 0 и m, n, k − целые числа, то:
а) $(a * b * c)^n = a^n * b^n * c^n$;
б) $a^m * a^n * a^k = a^{m + n + k}$;
в) $((a^m)^n)^k = a^{m * n * k}$.

Решение

а) $(a * b * c)^n = (a * b)^n * c^n = a^n * b^n * c^n$
утверждение доказано

б) $a^m * a^n * a^k = (a^m * a^n) * a^k = a^{m + n} * a^k = a^{m + n + k}$
утверждение доказано

в) $((a^m)^n)^k = (a^{mn})^k = a^{m * n * k}$
утверждение доказано

Задание 589

Запишите в виде степени с целым показателем, если a ≠ 0:
а) $2^3 * 2^4$;
б) $5 * 5^6$;
в) $4^3 * 4^2 * 4$;
г) $7^2 * 7 * 7^5$;
д) $3^6 * 3^7 * 3 * 3$;
е) $6^4 * 6^4 * 6^3 * 6^2$;
ж) $11^2 * 11^2 * 11^2$;
з) $9^3 * 9^6 * 9^2 * 9^4 * 9$.

Решение

а) $2^3 * 2^4 = 2^{3 + 4} = 2^7$

б) $5 * 5^6 = 5^{1 + 6} = 5^7$

в) $4^3 * 4^2 * 4 = 4^{3 + 2 + 1} = 4^{6}$

г) $7^2 * 7 * 7^5 = 7^{2 + 1 + 5} = 7^8$

д) $3^6 * 3^7 * 3 * 3 = 3^{6 + 7 + 1 + 1} = 3^{15}$

е) $6^4 * 6^4 * 6^3 * 6^2 = 6^{4 + 4 + 3 + 2} = 6^{13}$

ж) $11^2 * 11^2 * 11^2 = 11^{2 + 2 + 2} = 11^{6}$

з) $9^3 * 9^6 * 9^2 * 9^4 * 9 = 9^{3 + 6 + 2 + 4 + 1} = 9^{16}$

Задание 590

Запишите в виде степени с целым показателем, если a ≠ 0:
а) $a^5 * a^4$;
б) $a^3 * a^8$;
в) $a^{10} * a$;
г) $a * a^7$;
д) $a * a$;
е) $a * a^2 * a^3 * a^4$.

Решение

а) $a^5 * a^4 = a^{5 + 4} = a^9$

б) $a^3 * a^8 = a^{3 + 8} = a^{11}$

в) $a^{10} * a = a^{10 + 1} = a^{11}$

г) $a * a^7 = a^{1 + 7} = a^{8}$

д) $a * a = a^{1 + 1} = a^2$

е) $a * a^2 * a^3 * a^4 = a^{1 + 2 + 3 + 4} = a^{10}$

Задание 591

Запишите в виде степени с целым показателем, если a ≠ 0:
а) $2^5 : 2^4$;
б) $3^7 : 3^8$;
в) $5^9 : 5$;
г) $\frac{10^3}{10}$;
д) $\frac{5^7}{5^{13}}$;
е) $\frac{8^{12}}{8^{10}}$.

Решение

а) $2^5 : 2^4 = 2^{5 - 4} = 2^1$

б) $3^7 : 3^8 = 3^{7 - 8} = 3^{-1}$

в) $5^9 : 5 = 5^{9 - 1} = 5^8$

г) $\frac{10^3}{10} = 10^{3 - 1} = 10^2$

д) $\frac{5^7}{5^{13}} = 5^{7 - 13} = 5^{-6}$

е) $\frac{8^{12}}{8^{10}} = 8^{12 - 10} = 8^2$

Задание 592

Запишите в виде степени с целым показателем, если a ≠ 0:
а) $a^7 : a^3$;
б) $a^8 : a^{12}$;
в) $a^6 : a$;
г) $\frac{a^{12}}{a^4}$;
д) $\frac{a^{20}}{a^{22}}$;
е) $\frac{a^{20}}{a}$.

Решение

а) $a^7 : a^3 = a^{7 - 3} = a^{4}$

б) $a^8 : a^{12} = a^{8 - 12} = a^{-4}$

в) $a^6 : a = a^{6 - 1} = a^5$

г) $\frac{a^{12}}{a^4} = a^{12 - 4} = a^8$

д) $\frac{a^{20}}{a^{22}} = a^{20 - 22} = a^{-2}$

е) \frac{a^{20}}{a} = a^{20 − 1} = a^{19}$

Задание 593

Запишите в виде степени с целым показателем, если a ≠ 0:
а) $\frac{10^2}{12^2}$;
б) $\frac{4^3}{5^6}$;
в) $\frac{25^4}{7^8}$;
г) $\frac{(m^3)^4}{(a^4)^3}$;
д) $\frac{m^3m^5}{a^8}$;
е) $\frac{(n^6)^2}{a^{12}}$.

Решение

а) $\frac{10^2}{12^2} = (\frac{10}{12})^2$

б) $\frac{4^3}{5^6} = \frac{(2^2)^3}{5^6} = \frac{2^6}{5^6} = (\frac{2}{5})^6$

в) $\frac{25^4}{7^8} = \frac{(5^2)^4}{7^8} = \frac{5^8}{7^8} = (\frac{5}{7})^8$

г) $\frac{(m^3)^4}{(a^4)^3} = \frac{m^{12}}{a^{12}} = (\frac{m}{a})^{12}$

д) $\frac{m^3m^5}{a^8} = \frac{m^{3 + 5}}{a^8} = \frac{m^{8}}{a^8} = (\frac{m}{a})^{8}$

е) $\frac{(n^6)^2}{a^{12}} = \frac{n^{6 * 2}}{a^{12}} = \frac{n^{12}}{a^{12}} = (\frac{n}{a})^{12}$

Задание 594

Сравните:
а) $3^4$ и $4^3$;
б) $2^4$ и $4^2$;
в) $10^{20}$ и $20^{10}$;
г) $100^{200}$ и $200^{100}$;
д) $1999^{2000}$ и $1998^{1999}$.

Решение

а) $3^4 = (3^2)^2 = 9^2$
$4^3 = (2^2)^3 = (2^3)^2 = 8^2$
$9^2 > 8^2$
$3^4 > 4^3$

б) $4^2 = (2^2)^2 = 2^4$
$2^4 = 2^4$
$2^4 = 4^2$

в) $10^{20} = (10^2)^{10} = 100^{10}$
$100^{10} > 20^{10}$
$10^{20} > 20^{10}$

г) $100^{200} = (100^2)^{100} = 10000^{100}$
$10000^{100} > 200^{100}$
$100^{200} > 200^{100}$

д) сравним основания степени: 1999 > 1998
сравним показатели степени: 2000 > 1999
$1999^{2000} > 1998^{1999}$

Задание 595

Представьте в виде степени с основанием a^2:
а) $(a^5)^2$;
б) $(a^3)^4$;
в) $(a^6)^7$.

Решение

а) $(a^5)^2 = (a^2)^5$

б) $(a^3)^4 = (a^4)^3 = ((a^2)^2)^3 = (a^2)^6$

в) $(a^6)^7 = ((a^2)^3)^7 = (a^2)^{21}$

Задание 596

Представьте $a^50$ в виде степени с основанием:
а) $a^5$;
б) $a^2$;
в) $a^{10}$.

Решение

а) $a^{50} = (a^5)^{10}$

б) $a^{50} = (a^2)^25$

в) $a^{50} = (a^{10})^5$

Задание 597

Представьте в виде квадрата:
а) $a^4$;
б) $a^{20}$;
в) $a^{50}$.

Решение

а) $a^4 = (a^2)^2$

б) $a^{20} = (a^{10})^2$

в) $a^{50} = (a^{25})^2$

Задание 598

Разложите на два множителя хотя бы одним способом:
а) $7^{10}$;
б) $a^{6}$;
в) $(cd)^{7}$.

Решение

а) $7^{10} = 7^{9} * 7$

б) $a^{6} = a^3 * a^3$

в) $(cd)^{7} = c^7 * d^7$

Задание 599

Разложите на три множителя хотя бы одним способом:
а) $5^{6}$;
б) $b^{5}$;
в) $(ab)^{4}$.

Решение

а) $5^{6} = 5 * 5^2 * 5^3$

б) $b^{5} = b^2 * b^2 * b$

в) $(ab)^{4} = a^2 * a^2 * b^4$