Ответы к теме 1.4. Разложение натуральных чисел на множители

Задание 46

Что называют делителем натурального числа? Назовите делители числа 12.

Решение

Делителем натурального числа является такое число, на которое это натуральное число делится без остатка.
Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Задание 47

Что называют простым делителем натурального числа? Назовите простые делители числа 12.

Решение

Простым делителем натурального числа называют его делитель, который является простым числом.
Простые делители числа 12: 2, 3.

Задание 48

Назовите все делители числа:
а) 17;
б) 45;
в) 113;
г) 476;
д) 32.

Решение

а) $ \begin{array}{r|l} 17 & 17\\ 1 & \end{array} $
делители числа 17: 1, 17.

б) $ \begin{array}{r|l} 45 & 3\\ 15 & 3\\ 5 & 5\\ 1 & \end{array} $
$3^2 = 9$
делители числа 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45.

в) $ \begin{array}{r|l} 113 & 113\\ 1 & \end{array} $
делители числа 113: 1, 113.

г) $ \begin{array}{r|l} 476 & 2\\ 238 & 2\\ 119 & 7\\ 17 & 17\\ 1 & \end{array} $
$2^2 = 4$
2 * 7 = 14
$2^2 * 7 = 28$
2 * 17 = 34
$2^2 * 17 = 68$
делители числа 476: 1, 2, 4, 7, 14, 17, 28, 34, 68, 119, 238, 476.

д) $ \begin{array}{r|l} 32 & 2\\ 16 & 2\\ 8 & 2\\ 4 & 2\\ 2 & 2\\ 1 & \end{array} $
делители числа 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Задание 49

Найдите все простые делители числа:
а) 19;
б) 54;
в) 112;
г) 232.

Решение

а) $ \begin{array}{r|l} 19 & 19\\ 1 & \end{array} $
19 = 1 * 19
Простые делители числа 19: 19.

б) $ \begin{array}{r|l} 54 & 2\\ 27 & 3\\ 9 & 3\\ 3 & 3\\ 1 & \end{array} $
$54 = 2 * 3 * 3 * 3 = 2 * 3^3$
Простые делители числа 54: 2, 3.

в) $ \begin{array}{r|l} 112 & 2\\ 56 & 2\\ 28 & 2\\ 14 & 2\\ 7 & 7\\ 1 & \end{array} $
$112 = 2 * 2 * 2 * 2 * 7 = 2^4 * 7$
Простые делители числа 112: 2, 7.

г) $ \begin{array}{r|l} 232 & 2\\ 116 & 2\\ 58 & 2\\ 29 & 29\\ 1 & \end{array} $
$112 = 2 * 2 * 2 * 29 = 2^3 * 29$
Простые делители числа 232: 2, 29.

Задание 50

Напишите пять натуральных чисел, не имеющих других простых делителей, кроме 2 и 5, и пять натуральных чисел, не обладающих этим свойством.

Решение

Пять натуральных чисел, не имеющих других простых делителей, кроме 2 и 5:
2 * 5 = 10;
$2^2 * 5 = 4 * 5 = 20$;
$2^3 * 5 = 8 * 5 = 40$;
$2^4 * 5 = 16 * 5 = 80$;
$2^5 * 5 = 32 * 5 = 160$.
Ответ: 10, 20, 40, 80, 160.

Пять натуральных чисел, имеющие другие простые делители, кроме 2 и 5:
2 * 3 * 5 = 6 * 5 = 30;
$2^2 * 3 * 5 = 4 * 3 * 5 = 12 * 5 = 60$;
$2^3 * 3 * 5 = 8 * 3 * 5 = 24 * 5 = 120$;
$2^4 * 3 * 5 = 16 * 3 * 5 = 48 * 5 = 240$;
$2^5 * 3 * 5 = 32 * 3 * 5 = 96 * 5 = 480$.
Ответ: 30, 60, 120, 240, 480.

Задание 51

Приведите примеры натуральных чисел, имеющих делители 3 и 4. Какие делители, кроме указанных, имеют выбранные натуральные числа?

Решение

Натуральные числа, имеющие делители 3 и 4: 12, 24, 36.
число 12 имеет иные делители: 2, 6, 12;
число 24 имеет иные делители: 2, 6, 8, 12, 24;
число 36 имеет иные делители: 2, 6, 9, 12, 36.

Задание 52

Приведите примеры натуральных чисел, не имеющих других простых делителей, кроме 3 и 5.

Решение

Примеры натуральных чисел, не имеющих других простых делителей, кроме 3 и 5:
3 * 5 = 15;
$3^2 * 5 = 9 * 5 = 45$;
$3 * 5^2 = 2 * 25 = 75$.
Ответ: 15, 45, 75.

Задание 53

Найдите все делители чисел:
2, 6, 12, 28, 48, 100.

Решение

$ \begin{array}{r|l} 2 & 2\\ 1 & \end{array} $
делители числа 2: 1, 2.

$ \begin{array}{r|l} 6 & 2\\ 3 & 3\\ 1 & \end{array} $
делители числа 6: 1, 2, 3, 6.

$ \begin{array}{r|l} 12 & 2\\ 6 & 2\\ 3 & 3\\ 1 & \end{array} $
$2^2 = 4$
делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

$ \begin{array}{r|l} 28 & 2\\ 14 & 2\\ 7 & 7\\ 1 & \end{array} $
$2^2 = 4$
делители числа 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28.

Задание 54

Найдите все простые делители чисел:
а) 4, 9, 15, 10, 24;
б) 46, 50, 58, 99, 128;
в) 196, 254, 400, 625, 10000;
г) 7, 77, 777, 7777, 77777.

Решение

а) $ \begin{array}{r|l} 4 & 2\\ 2 & 2\\ 1 & \end{array} $
$4 = 2^2$
простые делители числа 4: 2.

$ \begin{array}{r|l} 9 & 3\\ 3 & 3\\ 1 & \end{array} $
$9 = 3^2$
простые делители числа 9: 3.

$ \begin{array}{r|l} 15 & 3\\ 5 & 5\\ 1 & \end{array} $
$15 = 3 * 5$
простые делители числа 15: 3, 5.

$ \begin{array}{r|l} 10 & 2\\ 5 & 5\\ 1 & \end{array} $
$10 = 2 * 5$
простые делители числа 10: 2, 5.

$ \begin{array}{r|l} 24 & 2\\ 12 & 2\\ 6 & 2\\ 3 & 3\\ 1 & \end{array} $
$24 = 2^3 * 3$
простые делители числа 24: 2, 3.

б) $ \begin{array}{r|l} 46 & 2\\ 23 & 23\\ 1 & \end{array} $
46 = 2 * 23
простые делители числа 46: 2, 23.

$ \begin{array}{r|l} 50 & 2\\ 25 & 5\\ 5 & 5\\ 1 & \end{array} $
$50 = 2 * 5^2$
простые делители числа 50: 2, 5.

$ \begin{array}{r|l} 58 & 2\\ 29 & 29\\ 1 & \end{array} $
58 = 2 * 29
простые делители числа 58: 2, 29.

$ \begin{array}{r|l} 99 & 3\\ 33 & 3\\ 11 & 11\\ 1 & \end{array} $
$99 = 3^2 * 11$
простые делители числа 99: 3, 11.

$ \begin{array}{r|l} 128 & 2\\ 64 & 2\\ 32 & 2\\ 16 & 2\\ 8 & 2\\ 4 & 2\\ 2 & 2\\ 1 & \end{array} $
$128 = 2^7$
простые делители числа 128: 2.

в) $ \begin{array}{r|l} 196 & 2\\ 98 & 2\\ 49 & 7\\ 7 & 7\\ 1 & \end{array} $
$196 = 2^2 * 7^2$
простые делители числа 196: 2, 7.

$ \begin{array}{r|l} 254 & 2\\ 127 & 127\\ 1 & \end{array} $
254 = 2 * 127
простые делители числа 254: 2, 127.

$ \begin{array}{r|l} 400 & 2\\ 200 & 2\\ 100 & 2\\ 50 & 2\\ 25 & 5\\ 5 & 5\\ 1 & \end{array} $
$400 = 2^4 * 5^2$
простые делители числа 400: 2, 5.

$ \begin{array}{r|l} 625 & 5\\ 125 & 5\\ 25 & 5\\ 5 & 5\\ 1 & \end{array} $
$625 = 5^4$
простые делители числа 625: 5.

$ \begin{array}{r|l} 10000 & 2\\ 5000 & 2\\ 2500 & 2\\ 1250 & 2\\ 625 & 5\\ 125 & 5\\ 25 & 5\\ 5 & 5\\ 1 & \end{array} $
$10000 = 2^4 * 5^4$
простые делители числа 10000: 2, 5.

г) $ \begin{array}{r|l} 7 & 7\\ 1 & \end{array} $
7 = 1 * 7
простые делители числа 7: 7.

$ \begin{array}{r|l} 77 & 7\\ 11 & 11\\ 1 & \end{array} $
77 = 7 * 11
простые делители числа 77: 7, 11.

$ \begin{array}{r|l} 777 & 3\\ 259 & 7\\ 37 & 37\\ 1 & \end{array} $
777 = 3 * 7 * 37
простые делители числа 777: 3, 7, 37.

$ \begin{array}{r|l} 7777 & 7\\ 1111 & 11\\ 101 & 101\\ 1 & \end{array} $
7777 = 7 * 11 * 101
простые делители числа 7777: 7, 11, 101.

$ \begin{array}{r|l} 77777 & 7\\ 11111 & 41\\ 271 & 271\\ 1 & \end{array} $
77777 = 7 * 41 * 271
простые делители числа 77777: 7, 41, 271.

Задание 55

Разложите на простые множители числа, т.е. запишите число в виде произведения степеней простых чисел:
а) 16, 18, 26;
б) 35, 48, 72;
в) 144, 210, 800;
г) 216, 343, 384;
д) 1024, 1728, 1575;
е) 9225, 1001, 1739.

Решение

а) $ \begin{array}{r|l} 16 & 2\\ 8 & 2\\ 4 & 2\\ 2 & 2\\ 1 & \end{array} $
$16 = 2^4$

$ \begin{array}{r|l} 18 & 2\\ 9 & 3\\ 3 & 3\\ 1 & \end{array} $
$18 = 2 * 3^2$

$ \begin{array}{r|l} 26 & 2\\ 13 & 13\\ 1 & \end{array} $
26 = 2 * 13

б) $ \begin{array}{r|l} 35 & 5\\ 7 & 7\\ 1 & \end{array} $
35 = 5 * 7

$ \begin{array}{r|l} 48 & 2\\ 24 & 2\\ 12 & 2\\ 6 & 2\\ 3 & 3\\ 1 & \end{array} $
$48 = 2^4 * 3$

$ \begin{array}{r|l} 72 & 2\\ 36 & 2\\ 18 & 2\\ 9 & 3\\ 3 & 3\\ 1 & \end{array} $
$72 = 2^3 * 3^2$

в) $ \begin{array}{r|l} 144 & 2\\ 72 & 2\\ 36 & 2\\ 18 & 2\\ 9 & 3\\ 3 & 3\\ 1 & \end{array} $
$144 = 2^4 * 3^2$

$ \begin{array}{r|l} 210 & 2\\ 105 & 3\\ 35 & 5\\ 7 & 7\\ 1 & \end{array} $
210 = 2 * 3 * 5 * 7

$ \begin{array}{r|l} 800 & 2\\ 400 & 2\\ 200 & 2\\ 100 & 2\\ 50 & 2\\ 25 & 5\\ 5 & 5\\ 1 & \end{array} $
$800 = 2^5 * 5^2$

г) $ \begin{array}{r|l} 216 & 2\\ 108 & 2\\ 54 & 2\\ 27 & 3\\ 9 & 3\\ 3 & 3\\ 1 & \end{array} $
$216 = 2^3 * 3^3$

$ \begin{array}{r|l} 343 & 7\\ 49 & 7\\ 7 & 7\\ 1 & \end{array} $
$343 = 7^3$

$ \begin{array}{r|l} 384 & 2\\ 192 & 2\\ 96 & 2\\ 48 & 2\\ 24 & 2\\ 12 & 2\\ 6 & 2\\ 3 & 3\\ 1 & \end{array} $
$384 = 2^7 * 3$

д) $ \begin{array}{r|l} 1024 & 2\\ 512 & 2\\ 256 & 2\\ 128 & 2\\ 64 & 2\\ 32 & 2\\ 16 & 2\\ 8 & 2\\ 4 & 2\\ 2 & 2\\ 1 & \end{array} $
$1024 = 2^{10}$

$ \begin{array}{r|l} 1728 & 2\\ 864 & 2\\ 432 & 2\\ 216 & 2\\ 108 & 2\\ 54 & 2\\ 27 & 3\\ 9 & 3\\ 3 & 3\\ 1 & \end{array} $
$1728 = 2^{6} * 3^3$

$ \begin{array}{r|l} 1575 & 3\\ 525 & 3\\ 175 & 5\\ 35 & 5\\ 7 & 7\\ 1 & \end{array} $
$1728 = 3^2 * 5^2 * 7$

е) $ \begin{array}{r|l} 9225 & 3\\ 3075 & 3\\ 1025 & 5\\ 205 & 5\\ 41 & 41\\ 1 & \end{array} $
$9225 = 3^2 * 5^2 * 41$

$ \begin{array}{r|l} 1001 & 7\\ 143 & 11\\ 13 & 13\\ 1 & \end{array} $
1001 = 7 * 11 * 13

$ \begin{array}{r|l} 1739 & 37\\ 47 & 47\\ 1 & \end{array} $
1739 = 37 * 47

Задание 56

Сколько чисел от 1 до 100:
а) делится на 2;
б) делится на 5;
в) делится на 2 и на 5;
г) не делится на 2 и на 5?

Решение

а) 100 : 2 = 50
Ответ: 50 чисел, делящихся на 2.

б) 100 : 5 = 20
Ответ: 20 чисел, делящихся на 5.

в) 100 : (2 * 5) = 100 : 10 = 10
Ответ: 10 чисел, делящихся на 2 и на 5.

г) 100 − 100 : (2 * 5) = 100 − 100 : 10 = 100 − 10 = 90
Ответ: 90 чисел, не делящихся на 2 и на 5.

Задание 57

Сколько чисел от 1 до 100 не делится ни на 2, ни на 3?

Решение

1) 100 : 2 = 50 (чисел) − делится на 2;
2) $100 : 3 = 33\frac{1}{3}$ − значит 33 числа делится на 3;
3) $100 : (2 * 3) = 100 : 6 = 16\frac{2}{3}$ − значит 16 чисел делятся и на 2 и на 3;
4) 100 − 50 − 33 + 16 = 50 − 33 + 16 = 17 + 16 = 33 (числа) − от 1 до 100 не делится ни на 2, ни на 3.
Ответ: 33 числа.

Рейтинг: 5 / 5

Звезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активнаЗвезда активна
 

© Копирование допустимо только с прямой активной ссылкой на страницу с оригиналом статьи.
При любых заболеваниях не занимайтесь диагностикой и лечением самостоятельно, необходимо обязательно обратиться к врачу - специалисту.
Изображения обложек учебной литературы приведены на страницах сайта исключительно в качестве иллюстративного материала (ст. 1274 п. 1 части четвертой Гражданского кодекса РФ)