ГЛАВА 1. Действительные числа. ГДЗ к §1. Натуральные числа. Ответы к теме 1.1. Натуральные числа и действия с ними
Задание 1
Какие числа называют натуральными? Является ли 0 натуральным числом?
Ответ
Числа 1, 2, 3, 4, 5, ... называют натуральными или целыми положительными числами. Нуль не считают натуральным числом.
Задание 2
Каким числом является сумма натуральных чисел?
Ответ
Сумма натуральных чисел является натуральными числом.
Задание 3
В каком случае разность натуральных чисел есть натуральное число?
Ответ
Разность натуральных чисел является натуральным число только в том случае, если уменьшаемое больше вычитаемого.
Например, 8 − 5 = 3.
Если уменьшаемое меньше вычитаемого или равно ему, то разность натуральных чисел не является натуральным числом.
Задание 4
Каким числом является произведение натуральных чисел?
Ответ
Произведение натуральных чисел является натуральным числом.
Задание 5
Всегда ли выполнимо деление натуральных чисел нацело?
Ответ
Деление натуральных чисел нацело не всегда выполнимо, например: 2 : 4.
Задание 6
На какие натуральные числа делится нацело любое натуральное число?
Ответ
Любое натуральное число делится нацело на 1 и на само себя.
Задание 7
Делятся ли нацело на 7 числа: 12, 27, 42, 126?
Ответы
12 − не делится нацело на 7;
27 − не делится нацело на 7;
42 − делится нацело на 7 (42 : 7 = 6);
126 − делится нацело на 7.
Задание 8
Сформулируйте признак делимости на:
а) 10;
б) 5;
в) 2;
г) 3;
д) 9.
Ответы
а) Число делится на 10, если оно оканчивается цифрой 0.
б) Число делится на 5, если оно оканчивается цифрой 0 или 5.
в) Число делится на 2, если оно оканчивается четной цифрой.
г) Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
д) Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Задание 9
Делятся ли нацело на 15 числа: 30, 105, 215, 360?
Решение
Число 30 делится нацело на 15, так как 15 = 3 * 5.
По признакам делимости:
число 30 делится на 3, так сумма его цифр делится на 3 (3 + 0 = 3);
число 30 делится на 5, так как оно оканчивается на 0.
Число 105 делится нацело на 15, так как 15 = 3 * 5.
По признакам делимости:
число 105 делится на 3, так сумма его цифр делится на 3 (1 + 0 + 5 = 6);
число 105 делится на 5, так как оно оканчивается на 5.
Число 215 не делится нацело на 15, так как 15 = 3 * 5.
По признакам делимости:
число 215 не делится на 3, так сумма его цифр не делится на 3 (2 + 1 + 5 = 8).
Число 360 делится нацело на 15, так как 15 = 3 * 5.
По признакам делимости:
число 360 делится на 3, так сумма его цифр делится на 3 (3 + 6 + 0 = 9);
число 360 делится на 5, так как оно оканчивается на 0.
Задание 10
Делятся ли нацело на 18 числа: 189, 252, 456, 1998, 1999?
Решение
Число 189 не делится нацело на 18, так как 18 = 2 * 9.
По признакам делимости:
число 189 не делится на 2, так как оно не оканчивается четной цифрой.
Число 252 делится нацело на 18, так как 18 = 2 * 9.
По признакам делимости:
число 252 делится на 2, так оно оканчивается на четное число;
число 252 делится на 9, так как сумма его цифр делится на 9 (2 + 5 + 2 = 9).
Число 456 не делится нацело на 18, так как 18 = 2 * 9.
По признакам делимости:
число 456 не делится на 9, так как сумма его цифр не делится на 9 (4 + 5 + 6 = 15).
Число 1998 делится нацело на 18, так как 18 = 2 * 9.
По признакам делимости:
число 1998 делится на 2, так оно оканчивается на четное число;
число 1998 делится на 9, так как сумма его цифр делится на 9 (1 + 9 + 9 + 8 = 27).
Число 1999 не делится нацело на 18, так как 18 = 2 * 9.
По признакам делимости:
число 1999 не делится на 9, так как сумма его цифр не делится на 9 (1 + 9 + 9 + 9 = 28).
Задание 11
Какие из чисел 3124, 3582, 3528, 31212 делятся на 4?
Решение
Число делится на 4, если последние его две цифры образуют число, которое делится на 4.
Тогда:
3124 − делится на 4, так как 24 : 4 = 6;
3582 − не делится на 4, так как 82 не делится на 4;
3528 − делится на 4, так как 28 : 4 = 7;
31212 − делится на 4, так как 12 : 4 = 3.
Задание 12
Делятся ли нацело на 45 числа: 234, 900, 954, 5553, 3555?
Решение
Число 234 не делится нацело на 45, так как 45 = 5 * 9.
По признакам делимости:
число 234 не делится на 5, так оно не оканчивается ни на 0, ни на 5.
Число 900 делится нацело на 45, так как 45 = 5 * 9.
По признакам делимости:
число 900 делится на 5, так оно оканчивается на 0;
число 900 делится на 9, так как сумма его цифр делится на 9 (9 + 0 + 0 = 9).
Число 954 не делится нацело на 45, так как 45 = 5 * 9.
По признакам делимости:
число 954 не делится на 5, так оно не оканчивается ни на 0, ни на 5.
Число 5553 не делится нацело на 45, так как 45 = 5 * 9.
По признакам делимости:
число 5553 не делится на 5, так оно не оканчивается ни на 0, ни на 5.
Число 3555 делится нацело на 45, так как 45 = 5 * 9.
По признакам делимости:
число 3555 делится на 5, так оно оканчивается на 0;
число 3555 делится на 9, так как сумма его цифр делится на 9 (3 + 5 + 5 + 5 = 18).
Задание 13
Какие из чисел 5425, 3530, 3550, 31275 делятся на 25?
Решение
Число делится на 25, если последние его две цифры образуют число, которое делится на 25.
Тогда:
число 5425 делится на 25, так как 25 : 25 = 1;
число 3530 не делится на 25, так как 30 не делится на 25;
число 3550 делится на 25, так как 50 : 25 = 2;
число 31275 делится на 25, так как 75 : 25 = 3.
Задание 14
Вычислите:
а) 7326 + 359;
б) 5321 − 985;
в) 424 * 27;
г) 15795 : 39;
д) 732 * 254 − 8145 : 45 + 314253.
Решение
а) 7326 + 359 = 7685
+7326
359
7685
б) 5321 − 985 = 4336
−5321
985
4336
в) 424 * 27 = 11448
× 424
27
2968
848
11448
г) 15795 : 39 = 405
_15795 |39
156 |405
_195
195
0
д) 732 * 254 − 8145 : 45 + 314253 = 185928 − 181 + 314253 = 185747 + 314253 = 500000
1)
× 732
254
2928
3660
1464
185928
2)
_8145 |45
45 |181
_364
360
_45
45
0
3)
−185928
181
185747
4)
+185747
314253
500000
Задание 15
Вычислите:
а) 329 * 759 + 329 * 41;
б) 724 * 928 − 724 * 128;
в) 398 * 801 − 398;
г) 854 * 399 + 854.
Решение
а) 329 * 759 + 329 * 41 = 329 * (759 + 41) = 329 * 800 = 263200
×329
800
263200
б) 724 * 928 − 724 * 128 = 724 * (928 − 128) = 724 * 800 = 579200
×724
800
579200
в) 398 * 801 − 398 = 398 * (801 − 1) = 398 * 800 = 318400
×398
800
318400
г) 854 * 399 + 854 = 854 * (399 + 1) = 854 * 400 = 341600
×854
400
341600
Задание 16
Объясните, не выполняя всех вычислений, почему:
а) 357 * 828 + 357 * 936 делится на 357;
б) 425 * 723 − 315 * 723 делится на 3; на 5; на 15.
Решение
а) 357 * 828 + 357 * 936 = 357 * (828 + 936) − делится на 357, так как один из множителей (357) делится на 357.
б) 425 * 723 − 315 * 723 = 723 * (425 − 315) = 723 * 110
делится на 3, так как один из множителей (723) делится на 3;
делится на 5, так как один из множителей (110) делится на 5;
делится на 15, так как один из множителей (723) делится на 3, а второй множитель (110) делится на 5.
