Ответы к параграфу 4.5 Некоторые неалгоритмические приемы решения уравнений

Задание 413

Найдите натуральный корень уравнения:
а) x(x − 1) = 6;
б) x$^2$+x=12.

Решение

а) x(x − 1) = 6
x и (x − 1) − последовательные числа, их произведение равно 6. Т.к. это числа натуральные, то это могут быть числа 3 и 2, значит x = 3.
Проверка:
3(3 − 1) = 6
3 * 2 = 6
6 = 6

б) $x^2+x=12$
$x^2+x=x\ast x+x=x(x+1)$, тогда:
x(x + 1) = 12
x и (x + 1) − последовательные числа, их произведение равно 12. Т.к. это числа натуральные, то это могут быть числа 3 и 4, значит x = 3.
Проверка:
$3^2+3=12$
9 + 3 = 12
12 = 12

Задание 414

Найдите все целые корни уравнения:
а) x(x + 2) = 35;
б) x$^2$ + x = 6.

Решение

x(x + 2) = 35
Нужно найти два числа, отличающиеся на 2 единицы, произведение которых равно 35. Запишем делители числа 35: 1, 5, 7, 35. Условию удовлетворяют числа 5 и 7, т.к. корни должны быть, то также корнями могут быть числа −5 и −7. Значит x = 5 и x = 7.
Проверка:
x = 5
x(x + 2) = 35
5(5 + 2) = 35
5 * 7 = 35
35 = 35

x = −7
x(x + 2) = 35
−7(−7 + 2) = 35
−7 * (−5) = 35
35 = 35

б) x$^2$+x=6
x$^2$+x=x∗x+x=x(x+1), значит:
x(x + 1) = 6
x и x + 1 − последовательные числа, их произведение равно 6, т.к. это числа натуральные, то это могут быть числа 2 и 3. Т.к. корни должны быть целыми, то корнями также могут быть числа −2 и −3. Значит x = 2 и x = −3.
Проверка:
x = 2
x$^2$+x=6
2$^2$+2=6
4 + 2 = 6
6 = 6

x = −3
x$^2$+x=6
(−3)$^2$+(−3)=6
9 − 3 = 6
6 = 6

Задание 415

Найдите целые корни уравнения
(x−1)$^2$+x$^2$=25

Решение

(x−1)$^2$+x$^2$=25
9 + 16 = 25, значит:
3$^2$+4$^2$=25
или
(−4)$^2$+(−3)$^2$=25
Ответ: x = 4 и x = −3

Задание 416

Один из корней уравнения 6/x−1 + 6/x + 6/x+1 = 11 натуральный. Найдите его перебором.

Решение

$\frac6{x-1}+\frac6x+\frac6{x+1}=11$
Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому:
x ≠ 1, так как:
x − 1 = 1 − 1 = 0
Пусть x = 2, тогда:
$\frac6{2-1}+\frac62+\frac6{2+1}=11$
$\frac61+3+\frac63=11$
6 + 3 + 2 = 11
11 = 11
Ответ: x = 2

Задание 417

Периметр прямоугольника, стороны которого выражены целым число сантиметров, равен 28 см. Может ли его площадь быть равной 33 см2?40 см2?

Решение

Пусть x (см) − длина прямоугольника, y (см) − ширина прямоугольника, тогда:
2(x + y) (см) − периметр прямоугольника, значит:
2(x + y) = 28
x + y = 28 : 2
x + y = 14
x = 14 − y
y = 14 − x

проверим, может ли быть xy = 33
Делители числа 33: 1, 3, 11, 33.
x * (14 − x) = 33
x = 1
1 * (14 − 1) = 33
13 ≠ 33 − неверно.
x = 3
3 * (14 − 3) = 33
3 * 11 = 33
33 = 33 − верно

проверим может ли быть xy = 40
Делители числа 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.
x * (14 − x) = 40
x = 1
1 * (14 − 1) = 40
13 ≠ 40 − неверно.
x = 2
2 * (14 − 2) = 40
2 * 12 = 40
24 ≠ 40 − неверно.
x = 4
4 * (14 − 4) = 40
4 * 10 = 40
40 = 40 − верно.
Ответ:
площадь прямоугольника может быть 33 см, его стороны 3 см и 11 см;
площадь прямоугольника может быть 40 см, его стороны 4 см и 10 см.

Задание 418

В школе был проведен шахматный турнир, в котором каждый участник сыграл с каждым другим одну партию. Сколько шахматистов участвовало в турнире, если всего было сыграно 28 партий?

Решение

Пусть x (шахматистов) − участвовало, тогда:
x − 1 (партию) − сыграл каждый из них.
Так, как в каждой партии участвует 2 шахматиста, то:
x(x − 1) = 28 * 2
x(x − 1) = 56
делители числа 56: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56.
Числа x и x − 1 последовательные натуральные числа, этому условию удовлетворяют числа 7 и 8.
56 = 8 * 7
Ответ: 8 шахматистов.