Задание 406

а) Когда цену товара увеличили на 30%, он стал стоить 52 р. Определите первоначальную стоимость товара.
б) Цена товара сначала выросла на 20%, а затем снизилась на 15%, после чего товар стал стоить 102 р. Какова была первоначальная стоимость товара?

Решение

а) Пусть x (р.) − первоначальная стоимость товара, тогда:
x + 0,3x = 1,3x (р.) − увеличенная стоимость товара.
Так как, товар стал стоить 52 рубля, то:
1,3x = 52
x = 52 : 1,3
x = 40 (р.) − первоначальная стоимость товара.
Ответ: 40 рублей.

б) Пусть x (р.) − первоначальная стоимость товара, тогда:
x + 0,2x = 1,2x (р.) − увеличенная стоимость товара;
1,2x − 0,15 * 1,2x = 1,2x − 0,18x = 1,02x (р.) − цена товара после снижения.
Так как, цена товара стала стоить 102 р.,то:
1,02x = 102
x = 102 : 1,02
x = 100 (р.) − первоначальная стоимость товара.
Ответ: 100 рублей.

Задание 407

Дима выиграл набор коллекционных марок; 1/5 этого набора он подарил брату, 1/6 − сестре, а остальные 19 марок оставил себе. Сколько марок было в наборе?

Решение

Арифметический способ.
Все марки равны 1, тогда:
1) $1-(\frac15+\frac16)=1-\frac{6+5}{30}=1-\frac{11}{30}=\frac{19}{30}$ (марок) − осталось у Димы;
2) $19:\frac{19}{30}=19\ast\frac{30}{19}=30$ (марок) − было в наборе.
Ответ: 30 марок.

Алгебраический способ.
Пусть x (марок) − было в наборе, тогда:
$\frac15x$ (марок) − Дима подарил брату;
$\frac16x$ (марок) − Дима подарил сестре.
Так как, у Димы осталось 19 марок, то:
$x-\frac15x-\frac16x=19$ |* 30
30x − 6x − 5x = 570
19x = 570
x = 570 : 19
x = 30 (марок) − было в наборе.
Ответ: 30 марок.

Задание 408

Из корзины отсыпали половину орехов, потом еще половину остатка, затем половину нового остатка и, наконец, половину следующего остатка. После этого в корзине осталось 10 орехов. Сколько орехов было в корзине первоначально?

Решение

Арифметический способ.
1) 10 * 2 = 20 (орехов) − последний остаток;
2) 20 * 2 = 40 (орехов) − предпоследний остаток;
3) 40 * 2 = 80 (орехов) − второй остаток;
4) 80 * 2 = 160 (орехов) − было в корзине первоначально.
Ответ: 160 орехов

Алгебраический способ:
Пусть x (орехов) − было в корзине первоначально, тогда:
$x-\frac12x=\frac12x$ (орехов) − осталось в корзине после первого раза;
$\frac12x-\frac12\ast\frac12x=\frac12x-\frac14x=\frac{2-1}4x=\frac14x$ (орехов) − осталось после второго раза;
$\frac14x-\frac12\ast\frac14x=\frac14x-\frac18x=\frac{2-1}8x=\frac18x$ (орехов) − осталось после третьего раза;
$\frac18x-\frac12\ast\frac18x=\frac18x-\frac1{16}x=\frac{2-1}{16}x=\frac1{16}x$ (орехов) − осталось после четвертого раза.
Так как, после четвертого раза осталось 10 орехов, то:
$\frac1{16}x=10$
$x=10:\frac1{16}$
x = 10 * 16
x = 160 (орехов) − было в корзине первоначально.
Ответ: 160 орехов.

Задание 409

Летела стая гусей, навстречу им летит один гусь и говорит: "Здравствуйте, сто гусей!" "Нас не сто гусей, − ответил ему вожак стаи, − если бы нас было столько, сколько теперь, да еще столько, да полстолько, да четверть столько, да еще ты, гусь, с нами, так тогда нас было бы сто гусей". Сколько было в стае гусей?

Решение

Пусть x (гусей) − было в стае, тогда:
$\frac12x$ − полстолько;
$\frac14x$ − четверть столько.
Так как, всего было сто гусей, то:
$x+x+\frac12x+\frac14x+1=100$ |* 4
4x + 4x + 2x + x + 4 = 400
11x = 400 − 4
11x = 396
x = 396 : 11
x = 36 (гусей) − было в стае.
Ответ: 36 гусей.

Задание 410

У Пифагора однажды спросили, сколько у него учеников. "Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны природы, седьмая часть упражняет силу духа. Добавьте еще к ним трех юношей, из коих Теон самый способный". Сколько было учеников у Пифагора?

Решение

Пусть x (учеников) − было у Пифагора, тогда:
$\frac12x$ (учеников) − изучает математику;
$\frac14x$ (учеников) − исследует тайны природы;
$\frac17x$ (учеников) − упражняет силу духа.
Так как, всего было x учеников, то:
$\frac12x+\frac14x+\frac17x+3=x$ |* 28
14x + 7x + 4x + 84 = 28x
25x − 28x = −84
−3x = −84
x = 84 : 3
x = 28 (учеников) − у Пифагора.
Ответ: 28 учеников.

Задание 411

После того как путник прошел 3 версты и еще треть оставшегося пути, ему осталось пройти половину пути и еще 1 версту. Какой путь осталось пройти путнику?

Решение

Пусть x (верст) − длина всего пути, тогда:
$\frac13x$ (верст) − треть пути;
$\frac12x$ (верст) − половина пути.
Так как, весь путь равен x верст, то:
$3+\frac13(x-3)+\frac12x+1=x$ |* 6
18 + 2(x − 3) + 3x + 6 = 6x
18 + 2x − 6 + 3x + 6 = 6x
2x + 3x − 6x = −18
−x = −18
x = 18 (верст) − длина всего пути.
$\frac12\ast18+1=9+1=10$ (верст) − осталось пройти путнику.
Ответ: 10 верст

Задание 412

Трое мужчин пришли к парикмахеру. Побрив первого, парикмахер сказал: "Посмотри, сколько денег в ящике стола, положи еще столько же и возьми два рубля сдачи". То же сказал парикмахер и второму, и третьему. Когда они ушли, оказалось, то в ящике денег нет. Сколько денег было в ящике первоначально?

Решение

Пусть x (р.) − было в ящике первоначально, тогда:
x + x − 2 = 2x − 2 (р.) − стало в ящике после первого;
2x − 2 + 2x − 2 − 2 = 4x − 6 (р.) − стало в ящике после второго;
4x − 6 + 4x − 6 − 2 = 8x − 14 (р.) − стало в ящике после третьего.
Так как, денег в ящике не осталось, то:
8x − 14 = 0
8x = 14
x = 14 : 8
x = 1,75 (р.) = 1 р. 75 к. − было в ящике первоначально.
Ответ: 1 р. 75 к.