Ответы к параграфу 4.4 Решение задач с помощью уравнений
Вопросы
1. По условию разобранной задачи составьте другое уравнение, обозначив буквой x исходное количество угля на втором складе, и решите задачу.
Решение
Пусть x (т) − угля было на втором складе, тогда:
1840 − x (т) − угля было на первом складе;
x + 120 (т) − угля стало на втором складе.
2(1840 − x) − 620 = x + 120
3680 − 2x − 620 = x + 120
−2x − x = 120 + 620 − 3680
−3x = −2940
x = 2940 : 3
x = 980 (т) − угля было на втором складе;
1840 − x = 1840 − 980 = 860 (т) − угля было на первом складе;
2 * 860 = 1320 (т) − угля стало на первом складе;
980 + 120 = 1100 (т) − угля стало на втором складе.
Ответ: 1320 т и 1100 т
Задание 381
а) Первое число на 27 больше второго, а их сумма равна 95. Найдите эти числа.
б) Одно из чисел втрое больше второго, а разность этих чисел равна 62. Найдите большее из этих чисел.
Решение
а) Пусть x − второе число, тогда:
x + 27 − первое число.
Так как, сумма чисел равна 95, то:
x + (x + 27) = 95
x + x + 27 = 95
2x = 95 − 27
2x = 68
x = 68 : 2
x = 34 − второе число;
x + 27 = 34 + 27 = 61 − первое число.
Ответ: 61 и 34
б) Пусть x − меньшее число, тогда:
3x − большее число.
Так как, разность чисел равна 62, то:
3x − x = 62
2x = 62
x = 62 : 2
x = 31 − меньшее число;
3x = 3 * 31 = 93 − большее число.
Ответ: 93.
Задание 382
а) Сумма трех слагаемых равна 80. Первое слагаемое в 2 раза больше второго, а второе слагаемое в 3 раза больше третьего. Найдите каждое слагаемое этой суммы.
б) Сумма трех чисел равна 192. Первое число в 5 раз меньше второго, а второе в 2 раза меньше третьего. Найдите каждое из чисел.
Решение
а) Пусть x − третье слагаемое, тогда:
3x − второе слагаемое;
2 * 3x = 6x − первое слагаемое.
Так как, сумма трех слагаемых равна 80, то:
6x + 3x + x = 80
10x = 80
x = 80 : 10
x = 8 − третье слагаемое;
3x = 3 * 8 = 24 − второе слагаемое;
6x = 6 * 8 = 48 − первое слагаемое.
Ответ: 48 + 24 + 8 = 80
б) Пусть x − первое число, тогда:
5x − второе число;
2 * 5x = 10x − третье число.
Так как, сумма трех чисел равна 192, то:
x + 5x + 10x = 192
16x = 192
x = 192 : 16
x = 12 − первое число;
5x = 5 * 12 = 60 − второе число;
10x = 10 * 12 = 120 − третье число.
Ответ: 12 + 60 + 120 = 192
Задание 383
(Старинная задача.) Трое подмастерьев хотели купить дом за 204 гульдена. На покупку первый дал втрое больше денег, чем второй, а второй дал вчетверо больше, чем третий. Сколько гульденов внес каждый из подмастерьев?
Решение
Пусть x (гульденов) − дал третий, тогда:
4x (гульденов) − дал второй;
3 * 4x = 12x (гульденов) − дал первый.
Так как, трое подмастерьев дали 204 гульдена, то:
x + 4x + 12x = 204
17x = 204
x = 204 : 17
x = 12 (гульденов) − дал третий;
4x = 4 * 12 = 48 (гульденов) − дал второй;
12x = 12 * 12 = 144 (гульденов) − дал первый.
Ответ: 144, 48 и 12 гульденов.
Задание 384
а) На дорогу от дома до работы и обратно у Андрея уходит 90 мин. Обратный путь занимает у него на 10 мин больше, чем путь на работу. Сколько минут Андрей добирается до работы и сколько минут он едет домой?
б) На выборах в городскую администрацию за двух кандидатов проголосовало 600 человек. Один из них получил на 120 голосов больше, чем другой. Сколько голосов получил каждый?
Решение
а) Арифметический способ:
1) 90 − 10 = 80 (мин) − уходило бы на дорогу, если бы и туда и обратно Андрей шел одинаковое время;
2) 80 : 2 = 40 (мин) − занимает путь на работу;
3) 40 + 10 = 50 (мин) − занимает путь домой.
Ответ: 40 мин на работу и 50 мин домой.
Алгебраический способ:
Пусть x (мин) − занимает путь на работу, тогда:
x + 10 (мин) − занимает путь домой.
Так как, на дорогу от дома до работы и обратно у Андрея уходит 90 мин, то:
x + (x + 10) = 90
x + x + 10 = 90
2x = 90 − 10
2x = 80
x = 80 : 2
x = 40 (мин) − занимает путь на работу;
x + 10 = 40 + 10 = 50 (мин) − занимает путь домой.
Ответ: 40 мин на работу и 50 мин домой.
б) Арифметический способ:
1) 600 − 120 = 480 (человек) − проголосовало бы, если бы каждый из кандидатов набрал одинаковое количество голосов;
2) 480 : 2 = 240 (голосов) − набрал проигравший кандидат;
3) 240 + 120 = 360 (голосов) − набрал победивший кандидат.
Ответ: 240 и 360 голосов.
Алгебраический способ:
Пусть x (голосов) − набрал проигравший кандидат, тогда:
x + 120 (голосов) − набрал победивший кандидат.
Так как, всего проголосовало 600 человек, то:
x + (x + 120) = 600
x + x + 120 = 600
2x = 600 − 120
2x = 480
x = 480 : 2
x = 240 (голосов) − набрал проигравший кандидат;
x + 120 = 240 + 120 = 360 (голосов) − набрал победивший кандидат.
Ответ: 240 и 360 голосов.
Задание 385
а) Бронза − это сплав олова и меди. Сколько олова и меди содержится в куске бронзы, масса которого 80 кг, если олово и медь входят в нее в отношении 3 : 17?
б) Сколько соли и сколько воды содержится в 200 г раствора соли, если соль и вода входят в него в отношении 1 : 4?
Решение
а) Арифметический способ:
1) 3 + 17 = 20 (частей) − всего;
2) 80 : 20 = 4 (кг) − приходится на одну часть;
3) 4 * 3 = 12 (кг) − олова в куске бронзы;
4) 4 * 17 = 68 (кг) − меди в куске бронзы.
Ответ: 12 кг олова и 68 кг меди.
Алгебраический способ:
Пусть x (кг) − приходится на одну часть, тогда:
3x (кг) − олова в куске бронзы;
17x (кг) − меди в куске бронзы.
Так как, масса куска бронзы 80 кг, то:
3x + 17x = 80
20x = 80
x = 80 : 20
x = 4 (кг) − приходится на одну часть;
3x = 3 * 4 = 12 (кг) − олова в куске бронзы;
17x = 17 * 4 = 68 (кг) − меди в куске бронзы.
Ответ: 12 кг олова и 68 кг меди.
б) Арифметический способ:
1) 1 + 4 = 5 (частей) − всего;
2) 200 : 5 = 40 (г) − приходится на одну часть;
3) 1 * 40 = 40 (г) − соли в растворе;
4) 4 * 40 = 160 (г) − воды в растворе.
Ответ: 40 г соли и 160 г воды
Алгебраический способ:
Пусть x (г) − приходится на одну часть, тогда:
x (г) − соли в растворе;
4x (г) − воды в растворе.
Так как, масса раствора 200 г, то:
x + 4x = 200
5x = 200
x = 200 : 5
x = 40 (г) − соли в растворе;
4x − 4 * 40 = 160 (г) − воды в растворе.
Ответ: 40 г соли и 160 г воды.
